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(通州區(qū)興仁中學(xué) 江蘇南通 226371)

筆者有幸執(zhí)教了一次初三中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的公開課，授課時對等邊三角形例題教學(xué)方法的探究受到當(dāng)時聽課專家的高度評價：“注重方法，智慧生成”．現(xiàn)結(jié)合筆者的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)剬W(xué)生解題方法形成的一點(diǎn)認(rèn)識與思考，以拋磚引玉．

1 問題再現(xiàn)與初解

已知：等邊△ABC的邊長為a．

圖1

探究2在等邊△ABC內(nèi)取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥CA,垂足分別為點(diǎn)D,E,F.

(1)如圖2，若點(diǎn)O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到2個正確結(jié)論(不必證明)：

(2)如圖3，若點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1和結(jié)論2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

圖2 圖3 圖4

課前批閱作業(yè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于探究1會證明，對于探究2中的問題(1)也容易理解，對于探究2問題(2)中的結(jié)論1，學(xué)生初始解法是這樣的(面積法)：如圖4，聯(lián)結(jié)AO,BO,CO，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=

而

故

對于問題(2)中的結(jié)論2，學(xué)生開始沒能做下去．課后詢問學(xué)生了解到他們也想到與探究1有關(guān)，可能會用到前面的結(jié)論，但就是不知道如何聯(lián)系起來.

2 教學(xué)片斷及評析

2.1 在數(shù)學(xué)方法形成前，為其鋪路引橋

課堂教學(xué)總是在“預(yù)設(shè)”與“生成”間交融進(jìn)行.學(xué)生從接觸探究(1)到解決探究(2)，特別是探究(2)的結(jié)論2，有一個較長的過程.這是由學(xué)生的認(rèn)知水平和問題本身的難度所決定的.教師要明了其間的巨大落差，給學(xué)生充分的思考與討論時間，在原有認(rèn)知和現(xiàn)存問題之間合理設(shè)置階梯，架設(shè)橋梁，幫助學(xué)生搭建解決問題的“腳手架”，讓學(xué)生“跳一跳，就能摘到桃子”，在“最近發(fā)展區(qū)”不斷完善自己的認(rèn)知水平，提升思維品質(zhì).

圖5

教學(xué)片斷1(基于作業(yè)批閱)

師：我們先復(fù)習(xí)這樣一個拓展問題：如圖5,在△ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,垂足分別為E,F,G，則DE+DF與CG有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

生1：DE+DF與CG的數(shù)量關(guān)系是DE+DF=CG.用面積法可以證明，聯(lián)結(jié)AD，根據(jù)S△ABD+S△ACD=S△ABC很快可以證明DE+DF=CG．

師：如果點(diǎn)D是等邊三角形一邊上的點(diǎn),其他條件不變，有同樣的結(jié)論嗎?

生(齊答)：當(dāng)然有！

師：如果點(diǎn)D是等邊三角形一邊上的點(diǎn),將CG這條高改為任意一邊上的高，其他條件不變，有類似的結(jié)論嗎?

生(稍作思考)：有！

師：請大家先獨(dú)立思考然后小組內(nèi)討論，看哪個小組能首先證明探究2中問題(2)的結(jié)論1.

學(xué)生思考、討論后,有學(xué)生回答.

圖6

生2：我們小組討論出方法了，如圖6，過點(diǎn)O作GH∥BC交邊AB,AC于點(diǎn)G,H，過點(diǎn)A作AM⊥BC垂足為點(diǎn)M，交GH于點(diǎn)N，顯然由上面的結(jié)論可得OD+OF=AN，從而

得證(轉(zhuǎn)化法1).

筆者通過批閱學(xué)生作業(yè)時發(fā)現(xiàn)學(xué)生能輕松解決探究1，但對探究2存在疑惑，教學(xué)時沒有急于直接向?qū)W生講解，而是“反其道而行之”，先引入了拓展問題，讓學(xué)生思考、討論、合作分析，發(fā)揮集體智慧，為解決探究2成功地鋪好道路，進(jìn)而引發(fā)了學(xué)生對探究2中問題(2)的結(jié)論1證明的思考.正如預(yù)設(shè)那樣，有了“轉(zhuǎn)化法1”，順利得到“智慧”的“生成”.

2.2 在數(shù)學(xué)方法形成時，將其化隱為顯

心理學(xué)研究表明，學(xué)生的認(rèn)知角度、數(shù)學(xué)方法的形成要經(jīng)歷潛意識階段、明朗階段、形成階段和深化階段.因此，學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)方法形成過程，實(shí)質(zhì)上就是在新舊知識的認(rèn)知沖突中探究與發(fā)現(xiàn)的過程.如果學(xué)生在此過程中未能突破，就迫切需要教師以典型的范例將其化隱為顯.教師要及時促進(jìn)學(xué)生對問題或其解答進(jìn)行加工，并引導(dǎo)學(xué)生對問題解答進(jìn)行自我解釋，從中抽取出數(shù)學(xué)方法.

教學(xué)片斷2

師：你覺得剛才解決問題的關(guān)鍵是什么?

生3：根據(jù)“等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到2腰的距離之和等于一腰上的高”和“等邊三角形3條高相等”添加了輔助線，將3條垂線段轉(zhuǎn)化成等邊三角形的高.

師：不錯！等邊三角形可以分解為特殊直角三角形，掌握這一性質(zhì)對解題很有幫助！

生5：我們在解決探究1時就已經(jīng)用了這一性質(zhì).

師：對！有沒有發(fā)現(xiàn)圖中有其他這樣的直角三角形？從中你能看出對結(jié)論有什么幫助嗎？請大家在小組內(nèi)討論，然后交流.

生6：利用這一性質(zhì)不僅可以證明結(jié)論1，而且可以證明結(jié)論2.

圖7

AD+BE+CF=

得證(轉(zhuǎn)化法2).

圖8

生7：將“過點(diǎn)G作GM⊥BC垂足為點(diǎn)M”改為“過點(diǎn)O作OM∥AB交BC于點(diǎn)M”(如圖8)，又得到另一證法(轉(zhuǎn)化法3)……

生8：過點(diǎn)O作其他平行線或垂線段還可以得到“轉(zhuǎn)化法4”……

(與“轉(zhuǎn)化法2”類似的一系列“轉(zhuǎn)化法”，這里不再贅述.)

學(xué)生想到“轉(zhuǎn)化法1”時，追問此方法的關(guān)鍵是什么；學(xué)生認(rèn)識到等邊三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，利用特殊直角三角形的性質(zhì)時，進(jìn)一步追問這一性質(zhì)對解決本題有何幫助，這樣學(xué)生對問題的認(rèn)識逐漸清晰，方法就逐漸明確化，進(jìn)而產(chǎn)生了“轉(zhuǎn)化法2、轉(zhuǎn)化法3、轉(zhuǎn)化法4”等一系列“轉(zhuǎn)化法”.這時絕大多數(shù)學(xué)生對問題的理解趨向深刻，能從更高的層次、更新的角度進(jìn)一步掌握、理解等邊三角形的有關(guān)知識技能.不僅有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，而且在解決問題過程中形成更高層次的數(shù)學(xué)思維能力.

2.3 在數(shù)學(xué)方法形成后，將其優(yōu)化提升

作為教師，首先不僅要明確本題不止一種解法，而且要清楚哪一種解法最適合；其次，在了解學(xué)生完成一種解法后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探求一題多解，并對方法作比較；第三，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，總結(jié)解題思路，提煉數(shù)學(xué)方法，揭示問題本質(zhì)，提升解題能力，進(jìn)而不斷生成智慧.

教學(xué)片斷3

師：不同的解法來自于深入的思考，還有其他證明方法嗎？

(學(xué)生沉默了一會.)

生9：我利用勾股定理得到AD2+OD2=AO2,BE2+OE2=BO2,CF2+OF2=CO2,但是下面好像不好做了，但是我覺得應(yīng)該行得通.

師：是一種好的思路！實(shí)際上你是想利用勾股定理把線段AD,BE,CF之和轉(zhuǎn)化為線段OD,OE,OF之和(如圖4)，可知

AD2+OD2=AO2=AF2+OF2,

BE2+OE2=BO2=BD2+OD2,

CF2+OF2=CO2=CE2+OE2,

上述3個式子相加后整理可得

生：果然行！

圖9

師：老師課前認(rèn)真查閱過許多資料，發(fā)現(xiàn)有一本雜志上用了“旋轉(zhuǎn)法”：如圖9，由旋轉(zhuǎn)的知識可以直觀地看出結(jié)論是成立的,大家認(rèn)為這一方法可行嗎？

生10：可以是可以的，但過程不容易書寫.

由BM=OG=GP,CH=BG可得

AP+BM+CH=AB.

再由

和

AD=AP+DP,BE=BM+ME,CF=CH+FH，

可得

圖10 圖11

又OF′=AD,OD′=BE,OE′=CF，從而

生：(驚嘆)還可以這樣！

師：請大家對這幾種方法做一下比較，哪種方法最優(yōu)？優(yōu)點(diǎn)在哪里？

筆者認(rèn)為“旋轉(zhuǎn)法”雖然欠妥但它能引起學(xué)生的頓悟.實(shí)際上，學(xué)生能立即發(fā)現(xiàn)“轉(zhuǎn)化法5”顯然優(yōu)于此法.利用勾股定理的方法步驟比較繁瑣且對計(jì)算的要求也高，利用結(jié)論1的方法很難想到，對少數(shù)尖子生可以引導(dǎo)其思考，體現(xiàn)了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，同時還開闊了學(xué)生的視野，拓展了學(xué)生的思維，又將知識融會貫通，使初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)達(dá)到了綜合、優(yōu)化、提升的目的.

通過對問題多種解法的思考、比較，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣將大大增加，思維能力將得到有效提升.通過解題后的反思，將會形成層次更高的經(jīng)驗(yàn)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)解決問題的最優(yōu)化作準(zhǔn)備.這樣，學(xué)生掌握的不僅是一道題的解法，而是其本質(zhì)；收獲的不僅是知識，更有興趣和智慧.