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(浙江師范大學(xué)附屬永康中學(xué) 浙江永康 321300)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師與學(xué)生間的關(guān)系一直是理論思考與實(shí)踐探究的熱點(diǎn)話題之一.一個(gè)基本的共識是，教學(xué)是教與學(xué)的對話，教師和學(xué)生則是數(shù)學(xué)課堂的兩大主體.但這2個(gè)主體間的關(guān)系如何處理，還需在實(shí)踐中探索.

對此，浙江師范大學(xué)鄭逸農(nóng)教授提出了“非指示性”教學(xué)(簡稱“非指”教學(xué))的理念.它既不是以教師為中心的“指示性”教學(xué)，也不是以學(xué)生為中心的“非指導(dǎo)性”教學(xué)，而是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的一種教學(xué)理念.在教師幫助與引導(dǎo)下的學(xué)生自主成長是“非指”教學(xué)的基本理念.本文是在“非指”教學(xué)理念的指導(dǎo)下所開展的案例式的行動(dòng)研究，描述與分析了2014年3月開展的原始課和改進(jìn)課.

1 “因式分解”第一次實(shí)踐與分析

在第一次教學(xué)中設(shè)計(jì)了如下課堂教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.1 實(shí)例探索，激活經(jīng)驗(yàn)

先向?qū)W生展示一個(gè)女教工在“三八節(jié)”快樂舞步健身操比賽時(shí)的視頻.視頻顯示其方陣由36名女教師組成，舞步動(dòng)作整齊，隊(duì)形變化多樣.緊接著提出問題：36名女教師可以擺出怎樣的方陣？

教學(xué)中要求學(xué)生獨(dú)立思考后，教師請一位數(shù)學(xué)自信不足的學(xué)生向全班介紹，教師板書：36=2×18,36=3×12,36=4×9,36=6×6，回憶因數(shù)分解的概念.

1.2 簡便運(yùn)算，形成概念

在這一環(huán)節(jié)，逐個(gè)呈現(xiàn)了2個(gè)計(jì)算題：

(1)1 001×23-1 001×12；

(2)87×232-87×2×23×13+87×132.

并讓學(xué)生表述解題方法，體現(xiàn)簡便運(yùn)算的方法：

87×232-87×2×23×13+87×132=

87×(23-13)2.

進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生將上述規(guī)律用字母表示：

ab2-a×2×bc+ac2=a(b-c)2.

此時(shí)，教師引出課題：我們把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行了分解，對比因數(shù)分解，我們可以把它稱為因式分解(板書標(biāo)題).

1.3 自主學(xué)習(xí)，明晰概念

要求學(xué)生自主閱讀課本內(nèi)容，并獨(dú)立完成以下問題：

(1)觀察課本中表格：

左列:把( )變形為( ),稱其為( );

右列:把( )變形為( ),稱其為( ).

(2)什么是因式分解？關(guān)鍵詞是什么？

(3)整式的乘法和因式分解有何關(guān)系？

(4)完成課本上的“做一做”.

(5)判斷某個(gè)代數(shù)式的變形是不是因式分解，應(yīng)注意什么？

學(xué)生獨(dú)立思考，在動(dòng)筆中進(jìn)行.之后4人小組進(jìn)行交流，邊交流邊完善，形成小組最佳答案.教師隨機(jī)抽點(diǎn)一個(gè)代表向全班介紹，邊介紹邊評判和完善，形成班級最佳答案.教師在學(xué)生邊介紹時(shí)邊板書：一個(gè)多項(xiàng)式=(整式)×(整式)×(整式).

在講解“做一做”第1題中，讓學(xué)生上黑板寫出幾個(gè)因式分解的例子.若有錯(cuò)誤，則拿他們的例子講解因式分解應(yīng)注意的問題；若沒有錯(cuò)誤，則舉幾個(gè)易錯(cuò)的例子讓學(xué)生判斷.

1.4 例題學(xué)習(xí)，鞏固概念

向?qū)W生呈現(xiàn)以下例題:

例1檢驗(yàn)下列因式分解是否正確：

①x2y-xy2=xy(x-y);

②2x2-1=(2x+1)(2x-1);

③x2+3x+2=(x+1)(x+2).

并思考：

(1)利用什么來檢驗(yàn)因式分解的正確性？

(2)由第②小題的解答，請寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解.

(3)根據(jù)例題，歸納解題書寫格式.

學(xué)生獨(dú)立思考，在動(dòng)筆中進(jìn)行.之后教師隨機(jī)抽點(diǎn)一個(gè)代表向全班介紹，邊介紹邊評判和完善，形成班級最佳答案.教師在學(xué)生邊介紹時(shí)邊板書，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范書寫步驟.

1.5 反饋檢測

為了進(jìn)一步讓學(xué)生明確判斷因式分解正確與否的方法，并能用因式分解進(jìn)行簡便計(jì)算，設(shè)置了以下檢測.

1.檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.

(1)x2+xy=x(x+y);

(2)a2-4b2=(a+b)(a-b);

(3)-x2+2x-1=-(x+1)2.

2.請對照上題(1)和(2)的式子用簡便方法計(jì)算下列各題：

(1)1012-992;

(2)872+87×13.

1.6 能力拓展，應(yīng)用概念

1.若x2+mx-n能分解成(x-1)(x+2)，則m=( )，n=( )；

2.993-99能被100整除嗎？為什么？

學(xué)生獨(dú)立思考，在動(dòng)筆中進(jìn)行.之后4人小組進(jìn)行交流，邊交流邊完善，各抒己見，改正不正確的做法，形成小組最佳答案.教師隨機(jī)抽點(diǎn)一名代表回答，讓學(xué)生自主分析對錯(cuò)，形成班級最佳答案.

1.7 概括小結(jié)

1.把( )化成( )的形式，叫做因式分解，有時(shí)也把這一過程叫( ).

2.因式分解和整式的乘法有( )關(guān)系，因此可以用( )來檢驗(yàn)因式分解的正確性.

3.我還會用( )來簡便計(jì)算.

這節(jié)課在設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中均強(qiáng)調(diào):教師利用任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，先個(gè)人獨(dú)立學(xué)習(xí)，后師生討論、交流、評價(jià)，以體現(xiàn)教師引導(dǎo)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)間的平衡.在教學(xué)中，盡管學(xué)生的學(xué)習(xí)主體已得到較好的體現(xiàn)，但在以下方面仍存在問題：首先，教學(xué)前2個(gè)環(huán)節(jié)，用了9分鐘時(shí)間，應(yīng)作刪減；其次，第3個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生觀察表格表述，結(jié)果由于表格較為復(fù)雜，學(xué)生很難理解，也表達(dá)不清楚，應(yīng)換種形式提問；第三，在“反饋檢測”中，讓學(xué)生對照前2個(gè)題目用簡便方法計(jì)算872+87×13和1012-992,學(xué)生缺少獨(dú)立探索的樂趣，應(yīng)刪去對照的2個(gè)因式分解的例子；第四，“能力拓展”中第2小題難度較大，最好放在學(xué)生學(xué)習(xí)了因式分解的方法以后，應(yīng)降低難度；第五，以填空的方式讓學(xué)生來總結(jié)，總結(jié)的是教師的思路，還不如請學(xué)生各抒己見，談?wù)勥@堂課的收獲，真正做到讓學(xué)生來總結(jié).針對以上不足，筆者對本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了修改，進(jìn)行第2次教學(xué)實(shí)踐.

2 基于“非指”的“因式分解”第2次實(shí)踐與分析

在第2次教學(xué)中，我們設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

2.1 最強(qiáng)大腦，誰與爭鋒

圖1

例2一座公園建筑的示意圖如圖1所示，環(huán)形綠化帶的外圓半徑為6.35 m，內(nèi)圓半徑為3.65 m，則這個(gè)環(huán)形綠化帶的面積是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考，教師抽點(diǎn)一位數(shù)學(xué)學(xué)困生問：“環(huán)形綠化帶的面積能直接求嗎？”

生：不能！

師：可以用什么方法求？

生：用大圓面積減去小圓面積：π×6.352-π×3.652.

師：你能用5秒鐘時(shí)間計(jì)算出它的結(jié)果嗎？

生：不能！

師：我能用5秒鐘時(shí)間計(jì)算出它的結(jié)果！不相信？學(xué)習(xí)了今天的內(nèi)容你們也可以!

(設(shè)計(jì)意圖：用實(shí)際問題激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而自覺地投入到本堂課的學(xué)習(xí)中.)

2.2 自主學(xué)習(xí)，認(rèn)識因式分解

圖2

完成第1次教學(xué)實(shí)踐中的第3個(gè)環(huán)節(jié)(刪除了其中的第1小問)，在此基礎(chǔ)上直接給出反饋檢測1：

檢測1如圖2，把左、右2邊相等的代數(shù)式用線連接起來,并寫出相應(yīng)的因式分解.

學(xué)生完成后，隨機(jī)抽點(diǎn)一位學(xué)生回答，并讓不懂的學(xué)生發(fā)表自己的疑惑，給予相應(yīng)的指導(dǎo).

2.3 例題歸納，檢驗(yàn)因式分解的正確性

完成第1次教學(xué)實(shí)踐中的環(huán)節(jié)3，在此基礎(chǔ)上直接給出反饋檢測2:

檢測2檢驗(yàn)下列因式分解是否正確.

(1)x2+xy=x(x+y);

(2)a2-4b2=(a+b)(a-b);

(3)-x2+2x-1=-(x+1)2.

2.4 學(xué)以致用，體驗(yàn)因式分解的作用

1.簡便運(yùn)算

(1)872+87×13;

(2)1012-992.

2.一座公園建筑的示意圖如圖3所示，環(huán)形綠化帶的外圓半徑為6.35 m，內(nèi)圓半徑為3.65 m，則這個(gè)環(huán)形綠化帶的面積是多少？

圖3

2.5 總結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？有什么疑問？

(設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自由發(fā)言交流，加深對本節(jié)課的理解.對提出的疑問，可以請其他學(xué)生發(fā)表看法或教師及時(shí)有效提示補(bǔ)充，這區(qū)別于傳統(tǒng)填鴨式的教學(xué)，學(xué)生對于自己提出的問題會聽得更認(rèn)真，體現(xiàn)了鄭教授的“非指”理念.)

在第2次教學(xué)實(shí)踐中，對第1次課堂教學(xué)的問題進(jìn)行了完善.如用“最強(qiáng)大腦，誰與爭鋒”來替換前2個(gè)環(huán)節(jié)，使教學(xué)更加簡潔與有效；在“自主學(xué)習(xí)”中，直接簡單明確地讓學(xué)生說出因式分解的概念和關(guān)鍵詞，避免了學(xué)生的誤解；每個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)“反饋檢測”，充分了解學(xué)生的掌握情況；“學(xué)以致用”用2個(gè)方面體驗(yàn)因式分解的作用，首尾呼應(yīng)；總結(jié)讓學(xué)生各抒己見，真正做到讓學(xué)生來總結(jié)，效果較好.

通過“因式分解”的2次實(shí)際教學(xué)嘗試，教師引導(dǎo)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的“非指”教學(xué)理念是有效的，而且值得推崇.在“非指”教學(xué)理念下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師用任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)；在每個(gè)環(huán)節(jié)中，通過反饋檢測及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，并通過自我反思、師生交流、生生交流深化理解.

鳴謝：本課例從最初的設(shè)計(jì)到實(shí)施，再到成文都得到了浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院唐恒鈞博士和鄭逸農(nóng)教授的指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝！