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        飲馬問(wèn)題的拓展與應(yīng)用

        2014-08-07 06:26:44
        關(guān)鍵詞:飲馬對(duì)稱(chēng)點(diǎn)路程

        (杭州市公益中學(xué) 浙江杭州 310014)

        1 走進(jìn)數(shù)學(xué)故事

        唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭2句說(shuō):“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

        如圖1所示,詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的點(diǎn)A出發(fā),走到河邊飲馬后再到點(diǎn)B宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總路程最短?

        這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了,傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他,向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題:將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā),先到河邊飲馬,然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì),應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?

        從此,這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳開(kāi)來(lái)[1].

        對(duì)稱(chēng)性在初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用,利用對(duì)稱(chēng)性求最值的問(wèn)題伴隨著學(xué)生從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題進(jìn)行合理地探索,顯得迫切而必要.

        圖1 圖2

        2 探索數(shù)學(xué)本真

        如圖2所示,從點(diǎn)A出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長(zhǎng)線上,取A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,聯(lián)結(jié)A′B,與河岸線相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C就是飲馬的地方.將軍只要從點(diǎn)A出發(fā),沿直線走到點(diǎn)C,飲馬之后,再由點(diǎn)C沿直線走到點(diǎn)B,所走的路程就是最短的.如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C′飲馬,所走的路程就是AC′+C′B,但是

        AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=

        A′C+CB=AC+CB.

        可見(jiàn),在點(diǎn)C外任何一點(diǎn)C′飲馬,所走的路程都要遠(yuǎn)一些.由作法可知,河流l相當(dāng)于線段AA′的中垂線,因此AC=A′C.將軍走的路程是AC+BC,就等于A′C+BC,而由兩點(diǎn)之間線段最短知,當(dāng)點(diǎn)C為直線A′B與直線l的交點(diǎn)時(shí),AC+BC最短.

        當(dāng)然,若取點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,聯(lián)結(jié)AB′,結(jié)論亦然.

        初中階段的圖形變換包括對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換與相似變換,通過(guò)對(duì)稱(chēng)變換的探索,使學(xué)生掌握研究圖形變換的思想方法,實(shí)現(xiàn)思維遷移,達(dá)到舉一反三的目的.

        3 初步感知變式

        變式1如圖3所示,若點(diǎn)A到直線L的距離AC是3千米,點(diǎn)B到直線L的距離BD是1千米,并且點(diǎn)C,D的距離為4千米,在直線L上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,并求這個(gè)最小值.

        圖3

        變式2如圖4所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,x軸上的動(dòng)點(diǎn)M(x,0)到定點(diǎn)P(-8,1)和到Q(4,5)的距離分別為MP和MQ,當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí),求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

        圖4 圖5

        分析如圖5,作點(diǎn)P(-8,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′(-8,-1),當(dāng)M為直線P′Q與x軸的交點(diǎn)時(shí),MP+MQ的值最?。?/p>

        圖6 圖7

        飲馬問(wèn)題的核心是怎樣將原問(wèn)題化歸為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題.通過(guò)設(shè)置不同的問(wèn)題背景,在變式過(guò)程中讓學(xué)生感悟這種化歸思想,提升學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

        3 探索拓展應(yīng)用

        拓展1如果飲馬人從圖8中的點(diǎn)A出發(fā)到筆直的河岸l去飲馬,且沿河走一段路程a,然后再去B地,走什么樣的路線最短呢?

        圖8

        分析考慮到飲馬人必須在河邊走一段路程a,然后再去B地,可以先將點(diǎn)B平移至點(diǎn)E,再用“飲馬問(wèn)題”的模型來(lái)求解.

        如圖8,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,過(guò)點(diǎn)B作BE∥l,且BE=a,聯(lián)結(jié)A′E交l于點(diǎn)P,在l上截取PD=a,且點(diǎn)B,D在直線EP的同側(cè),采取的路線為A→P→D→B時(shí),總路程最短.

        例1如圖9所示,已知點(diǎn)A(3,4),B(-1,1),在x軸上另取2個(gè)點(diǎn)E,F(點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)),且EF=1.線段EF在x軸上平移,當(dāng)線段EF平移至何處時(shí),四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小?求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

        圖9 圖10

        拓展2如圖11所示,如果飲馬人從點(diǎn)A出發(fā),先到筆直的草地邊l1的某一處牧馬,再到筆直的河岸l2去飲馬,然后回到B處,走什么樣的路線最短?

        圖11

        分析本題實(shí)際上是“飲馬問(wèn)題”的組合,分別作點(diǎn)A關(guān)于l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,點(diǎn)B關(guān)于l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,就可找到最短的線路.聯(lián)結(jié)A′B′分別交直線l1,l2于點(diǎn)P,Q,聯(lián)結(jié)AP,PQ,BQ,采取的路線為A→P→Q→B時(shí),可使總路程最短.

        例2如圖12所示,∠AOB=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)P,PO=10,在角的2條邊上有點(diǎn)Q,R(均不同于點(diǎn)O),問(wèn)△PQR周長(zhǎng)的最小值是多少?此時(shí),∠QPR的度數(shù)是多少?

        圖12 圖13

        此時(shí),因?yàn)椤螼PQ=∠OP1Q=45°,∠OPR=∠OP1R=45°,所以∠QPR的度數(shù)為90°.

        拓展3如圖14所示,如果飲馬人從邊AC上的一點(diǎn)P出發(fā),先到筆直的草地邊AB的某一處牧馬,再到與草地邊AB垂直的筆直河岸BC去飲馬,然后回到P處,如何確定點(diǎn)P的位置,使得所走的路線最短?

        圖14 圖15

        分析如圖15,分別作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′,P″,聯(lián)結(jié)BP′,BP″,可證△ABP′≌△A′BP″,可得點(diǎn)P′,B,P″共線,因此折線P′D,DE,EP″的最短路程是P′P″.因?yàn)槠叫芯€之間垂線段最短,所以當(dāng)P′P″⊥AC′時(shí),P′P″最短.

        圖16

        例3如圖16所示,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點(diǎn),求DE+EF+FD的最小值.

        分析由拓展3的分析可知:DE+EF+FD的最小值為P′P″,而當(dāng)P′P″⊥AC′時(shí),P′P″的值最?。绢}中,由AB=3,BC=4可得

        飲馬問(wèn)題的拓展變式在中考、競(jìng)賽與提前招生試題中屢屢出現(xiàn).教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷拓展過(guò)程,對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、提高思維與探索能力不無(wú)裨益.當(dāng)然,我們也更加期待新的拓展與變式的出現(xiàn).

        4 總結(jié)歸納升華

        通過(guò)一系列的探索可知,將軍飲馬問(wèn)題的實(shí)質(zhì):(1)求最短路線問(wèn)題,通過(guò)幾何變換找對(duì)稱(chēng)圖形;(2)把點(diǎn)A,B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的2側(cè)的問(wèn)題,化折線為直線;(3)利用“兩點(diǎn)之間線段最短”與“平行線之間垂線段最短”加以解決.

        參 考 文 獻(xiàn)

        [1] 李柱南.飲馬問(wèn)題[J].湖南教育:數(shù)學(xué)教師,2008(6):46.

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