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(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

“對應(yīng)”，又稱“對應(yīng)關(guān)系”，反映的是2個集合元素之間的關(guān)系，通過“對應(yīng)”可以將各種類別、各種范圍、各種層次的對象聯(lián)系起來，呈現(xiàn)出它們之間的若干屬性，通過這些屬性的研究使得各種對象之間互相結(jié)合、互相轉(zhuǎn)化．

“對應(yīng)”既是指2個集合的關(guān)系，更是一種重要的思想方法．從思想方法的角度來說，“對應(yīng)”指的是人們在解決某個范疇的數(shù)學(xué)問題時，通過尋找恰當?shù)膶?yīng)關(guān)系，把原問題轉(zhuǎn)化為另一個范疇的數(shù)學(xué)問題，再在這個范疇中求解，從而達到解決原問題的思維方法．

在數(shù)學(xué)競賽中，應(yīng)用“對應(yīng)”有利于提高學(xué)生觀察問題和分析問題的能力，在解題中也能起到四兩撥千斤的效果．下面從幾個定理出發(fā)，探討“對應(yīng)”在數(shù)學(xué)競賽中的一些應(yīng)用．

定理1定義f是從集合X到Y(jié)的一個映射，則

(1)如果f為單射，則card(X)≤card(Y)；

(2)如果f為滿射，則card(X)≥card(Y)；

(3)如果f為一一映射，則card(X)=card(Y)；

(4)若X和Y是2個有限集，f為m倍映射，則card(X)=mcard(Y)．

定理3在直角坐標系中，設(shè)A(a,b)，B(c,d)為2個格點，從A到B的連線由最小格點正方形的對角線首尾相聯(lián)結(jié)而成，而且任何平行于y軸的直線與這條連線最多只有一個交點，把這條連線叫做聯(lián)結(jié)A,B的折線，點A稱為這條折線的起點，點B稱為終點．

1 “對應(yīng)”：集合問題的“橋梁”

“對應(yīng)”反映的是2個集合元素之間的關(guān)系，通過“對應(yīng)”可以實現(xiàn)任何2個集合的溝通與聯(lián)系，這要求我們在解題時大膽構(gòu)造，造好“橋梁”．

例1已知集合S={1,2,3,…,2 000}，若S的41元子集中的所有元素之和能被5整除，則該子集稱為S的好子集，求S的好子集個數(shù)．

f(A)={a1+k,a2+k,…,a41+k}.

當aj+k>2 000時，用aj+k-2 000代替,容易證明f是一一映射，故

|S0|=|Sk| (1≤k≤4).

評注在本題中，將S的所有子集按照所有元素之和被5除的余數(shù)進行分類，通過構(gòu)造“對應(yīng)”，進而證明其為一一映射，發(fā)現(xiàn)|S0|=|Sk|(1≤k≤4)是關(guān)鍵．

例2設(shè)n為正整數(shù)，記Sn={1,2,…,2n}，定義Sn的2個子集：An={A?Sn|card(A)=n,A中的各元素之和為偶數(shù)}，Bn={B?Sn|card(B)=n,B中的各元素之和為奇數(shù)}，對每個n，求card(An)-card(Bn)．

card(An)-card(Bn)=0．

當n為偶數(shù)時，將1,2,3,…,2n分組：

(1,2n),(2,2n-1),…，(n,n+1).(1)

此時，對任意X?Sn,|X|=n-1,分組(1)中必有一組數(shù)據(jù)都不屬于X．例如1,2n?X,則X∪{1}與X∪{2n}分屬于An和Bn.這表明凡由上述方式構(gòu)成的An與Bn的元素具有相同的個數(shù)．

綜上所述，對正整數(shù)n，有

評注這里通過構(gòu)造映射，在An與Bn中的大部分元素之間建立起一一對應(yīng)，直接定出了card(An)-card(Bn)的值．當然也可以分別求出card(An)與card(Bn)的值，再求出card(An)-card(Bn)．

2 “對應(yīng)”：函數(shù)問題的“基石”

在高中數(shù)學(xué)中，映射、函數(shù)的概念是從“對應(yīng)”開始的，對一些函數(shù)的構(gòu)造性證明就是尋找“對應(yīng)”的例子．函數(shù)(曲線方程)與函數(shù)圖像(曲線)就是點與有序數(shù)對的對應(yīng)，這種對應(yīng)同時可以拓展到一般的數(shù)形結(jié)合，進而使得代數(shù)幾何化、幾何代數(shù)化成為常用的轉(zhuǎn)化方法．

例3分別構(gòu)造出這樣的函數(shù)f(x),g(x)，定義域為(0，1)，值域為[0，1]，且

(1)對于常數(shù)a∈[0,1],f(x)=a有且僅有一個根；

(2)對于常數(shù)a∈[0,1],g(x)=a有無窮多個根．

評注本題用到的是2個無窮集合之間的“對應(yīng)”，第(1)小題可以聯(lián)想到著名數(shù)學(xué)家希爾伯特的“無窮房間問題”，第(2)小題涉及到“多對一”、“無窮對一”映射．本題是復(fù)旦大學(xué)的自主招生試題，答案不唯一，要有相關(guān)函數(shù)的模型才能迅速解答．

例4設(shè)正實數(shù)a,b,c滿足

求a,b,c的值．

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖1

解如圖1，以點O為出發(fā)點，作長度為a,b,c的3條線段OA，OB，OC，使得∠AOB=90°,∠AOC=120°，那么∠COB=150°．由余弦定理知

于是∠CAB=90°．

過點O作OE⊥AC，OF⊥AB,設(shè)AE=m,OE=n，由∠ABO=∠OAE，得

(2)

(3)

3 “對應(yīng)”：計數(shù)問題的“利器”

前文提到的3個定理在計數(shù)問題中有著廣泛的應(yīng)用，一大批計數(shù)問題都可以通過“對應(yīng)”來轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為與之可構(gòu)造一一對應(yīng)的另一集合、轉(zhuǎn)化為不定方程解的組數(shù)、轉(zhuǎn)化為折線的條數(shù)等．

例5在世界杯足球賽前，F(xiàn)國教練為了考察A1,A2,…,A7這7名隊員，準備讓他們在3場訓(xùn)練比賽(每場90分鐘)都上場．假設(shè)在比賽的任何時刻，這些隊員中有且僅有一人在場上，并且A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，A5,A6,A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除．如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況？

(2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解設(shè)這7名隊員上場的時間為7k1,7k2,7k3,7k4,13k5,13k6,13k7分鐘，設(shè)7k1+7k2+7k3+7k4=7x,13x5+13k6+13k7=13y,則這7名隊員上場的每種時間分布情況與不定方程

7(k1+k2+k3+k4)+13(k5+k6+k7)=270

的一組正整數(shù)解{k1,k2,…,k7}之間可建立一一對應(yīng)．

對于不定方程7x+13y=270,由

解得

解方程組

42 244.

圖2 圖3

解設(shè)正三角形點陣的凸包為正△ABC，邊長為n-1．

如圖3，將AB,AC分別延長到點B′,C′，使得BB′=CC′=1．將B′C′分成n等份．

對正三角形點陣內(nèi)任一點X，過X作AB,AC的平行線，與B′C′的交點分別記為Xc,Xb．下面分2種情形討論：

評注當計數(shù)對象的特征不明顯或混亂復(fù)雜難以直接計數(shù)時，我們就設(shè)法去尋找一個便于計數(shù)的集合，本題將三角形對應(yīng)到邊B′C′上的有序點列，化難為易．

4 “對應(yīng)”：不等問題的“良方”

不等式證明或求解的方法很多，但也可以用“對應(yīng)”來解決.在定理1中，發(fā)現(xiàn)對于單射和滿射可以得到不等式，又比如可以對線段的長度、面積和體積的大小進行比較，這就引導(dǎo)我們?nèi)で笤瓎栴}與它們之間的“對應(yīng)”．

例7設(shè)n∈N,若在集合{1,2，…，2n-1}中至少有一個i，使得|xi-xi+1|=n，我們說集合{1,2，…，2n}的一個排列(x1,x2,…,x2n)具有性質(zhì)P．求證：對于任何n，具有性質(zhì)P的排列的個數(shù)多．

(第30屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

分析令A(yù)和B分別表示具有性質(zhì)P和不具有性質(zhì)P的所有排列的集合，C表示恰有一個i∈{1，2，…，2n-1}，使得|xi-xi+1|=n的所有排列的集合．顯然，C是A的真子集，由此可見，若能證明card(B)≤card(C)，問題就解決了．

為證明card(B)≤card(C)，在B與C之間建立一個對應(yīng)如下：對任何y=(y1,y2,…,y2n)∈B，顯然有|y1-y2|≠n，因此存在k>2，使得|yk-y1|=n．令排列對應(yīng)于

f(y)={y2,y3,…,yk-1,y1,yk,yk+1,…,y2n}，

這就是給出了一個由B到C的映射．不難證明這個映射是單射，于是

card(B)≤card(C)

評注本題不要求建立雙射，只要是單射就可以了，這顯然可用于集合元素個數(shù)的估計．

圖4

評注本題通過觀察題設(shè)條件蘊涵的幾何意義，構(gòu)造一個幾何圖形，將三角和幾何實現(xiàn)了對應(yīng)，使欲證不等式一目了然．

5 “對應(yīng)”：數(shù)列問題的“奇兵”

數(shù)列中的對應(yīng)其實也是比較常見的，解題的手段是通過構(gòu)造一個與原數(shù)列有對應(yīng)關(guān)系的新數(shù)列，并通過研究這個數(shù)列來探討原數(shù)列的性質(zhì)．

例9在數(shù)列1,9,81，…，92 000中刪去最高位數(shù)字是9的項，余下的數(shù)列有多少項？

解若數(shù)列中某項的首位數(shù)字是9，則前一項首位數(shù)字為1，且相鄰2項位數(shù)相同．反之，若數(shù)列中相鄰2項位數(shù)相同，則這2個數(shù)的首位數(shù)字必是一個為1另一個為9．刪去最高位數(shù)字是9的項，相當于在每對位數(shù)相同的項中刪去1項．余下數(shù)列中每個數(shù)的位數(shù)恰好為1,2,3，…，t，共有t項，其中t為92 000的位數(shù)．易知

t= [lg92 000]+1=[4 000×lg3]+1=

[4 000×0.477 12]+1=1 909．

評注本題很難求出最高位數(shù)字是9的那些項，也沒有必要求出，考慮到這些項與首位數(shù)字是1的項的對應(yīng)關(guān)系，問題便迎刃而解．

例10設(shè)an為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1,2,…．

解記各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字都是1或2的所有自然數(shù)的集合為Sn，并記card(Sn)=fn，則f1=1,f2=2，且當n≥3時,

fn=fn-1+fn-2．

作映射：f:M→M′(其中M∈Sn，全體M′的集合為Tn)如下：現(xiàn)將M的數(shù)字中自左到右的第一個2與它后鄰的數(shù)字相加，其和作為一位數(shù)字；然后再把余下數(shù)字中第一個2與它后鄰的數(shù)字相加，所得的和作為下一個數(shù)字；依次類推，直到?jīng)]有數(shù)再相加為止，所得的新自然數(shù)M′除最后一位可能為2之外，其余各位數(shù)字均為1,3,4．易知f是Sn到Tn的雙射，從而

card(Sn)=card(Tn)+card(Tn-2)=fn，

且fn=fn-1+fn-2(n≥3)．

(4)

另一方面，對于任一數(shù)字和為2n、各位數(shù)字均為1或2的自然數(shù)M，必存在正整數(shù)k，使得下列的2條之一成立：

(1)M的前k位數(shù)字之和為n；

(2)M的前k位數(shù)字之和為n-1，第k+1位數(shù)字為2，

(5)

由式(4)，式(5)可知

(6)

評注本題有眾多的解法，而巧妙運用對應(yīng)方法，流暢、快捷地解決問題，不失為一種好方法．

數(shù)學(xué)中的“對應(yīng)”無處不在，數(shù)學(xué)的解題實質(zhì)上就是把一個問題不斷轉(zhuǎn)化為另一個與之對應(yīng)的較易解決的問題．可以說，數(shù)學(xué)解題始終貫穿著對應(yīng)思想，充分運用對應(yīng)思想可以使解題游刃有余．問題間的“對應(yīng)”有的較為明顯，有的深藏其中，需要我們?nèi)ゼ毿奶角?、深入挖掘、大膽?gòu)造．