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(永興學(xué)校初中部 浙江富陽 311400)

在現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材體系中，幾乎不涉及數(shù)論的內(nèi)容和方法，但在競(jìng)賽和高中的自主招生中卻頻頻出現(xiàn)，這不是命題者的偏好，而是由數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性決定的.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)此的認(rèn)識(shí)，回答為什么初中數(shù)學(xué)中要融入數(shù)論的教學(xué)，以及如何融入數(shù)論教學(xué)，以期拋磚引玉.

1 必要性與可行性

數(shù)論作為數(shù)學(xué)古老而又重要的分支，且不論其在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)和信息技術(shù)中的廣泛應(yīng)用，就其內(nèi)容和方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性而言就是不可或缺的.在高中數(shù)列、排列組合、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中都要用到有關(guān)整數(shù)的知識(shí)，而有關(guān)的概念和基礎(chǔ)知識(shí)僅在小學(xué)時(shí)出現(xiàn)過，在整個(gè)初中階段從未涉及，這不利于后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此非常有必要在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入和補(bǔ)充一些必要的數(shù)論內(nèi)容.教學(xué)實(shí)踐表明只要教師有意地進(jìn)行滲透和補(bǔ)充，這是完全可行的，且能夠取得較好的效果.

2 主要的內(nèi)容

數(shù)論的內(nèi)容和方法都很豐富，但教學(xué)時(shí)間卻十分有限，選擇哪些內(nèi)容和方法來進(jìn)行教學(xué)就成了一個(gè)大問題.筆者建議，可以參考全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽大綱中所列舉的內(nèi)容：十進(jìn)制整數(shù)及表示方法；整除性，被2～5，8，9，11等數(shù)整除的判定；素?cái)?shù)和合數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)；奇數(shù)和偶數(shù)，奇偶性分析；帶余除法和利用余數(shù)分類；完全平方數(shù)；因數(shù)分解的表示法，約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算；簡(jiǎn)單的不定方程和高斯函數(shù)等.

3 教學(xué)策略

3.1 結(jié)合日常教學(xué)逐步滲透

結(jié)合現(xiàn)行的教材,適時(shí)地進(jìn)行滲透是非常必要的，比如在學(xué)習(xí)有理數(shù)或用字母表示數(shù)時(shí)，可以滲透奇數(shù)、偶數(shù)、余數(shù)、整數(shù)部分等概念(事實(shí)上，很多初中學(xué)生不知道奇數(shù)、偶數(shù)可以是負(fù)的，不知道-3除以5的余數(shù)是多少，錯(cuò)誤地認(rèn)為-2.1的整數(shù)部分是-2).在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，可以滲透一次不定方程的概念及相關(guān)性質(zhì)和求解的基本方法.在學(xué)習(xí)因式分解、一元二次方程時(shí)，可以滲透二次不定方程的概念和方法.下面通過具體的例子說明.

例1整數(shù)x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y=______或______.

(2010年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一試題)

分析本題只需將原方程作局部的因式分解，變形為

(2x+1)(2y+1)=167.

因?yàn)?67是質(zhì)數(shù)，所以

故x+y=83或x+y=-85.

此類問題可以在初一學(xué)習(xí)因式分解的應(yīng)用課中有所滲透：一方面可以提高學(xué)生恒等變形的能力；另一方面可以體驗(yàn)整數(shù)的離散性.

(2009年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二試題)

分析本題要用到的知識(shí)點(diǎn)是：凡是分母的質(zhì)因素僅含2或5的，化成小數(shù)后為有限小數(shù)；凡是分母的質(zhì)因素既不含2又不含5的，化成小數(shù)后為純循環(huán)小數(shù).這99個(gè)分?jǐn)?shù)中分母是2的x次方的有：2，4，…，64，共6個(gè)；5的x次方有：5，25，共2個(gè)；是10以及2和5但不是10和其他數(shù)的倍數(shù)的數(shù)有：10，20，…，100，共6個(gè)，因此分母能被2，5且只能被2，5整除的數(shù)共有6+2+6=14個(gè)，即能化為有限小數(shù)的有14個(gè)．分母含有2的共有100÷2=50個(gè)；分母含有5的共有100÷5=20個(gè)；分母同時(shí)含有2和5的共100÷10=10個(gè)，因此不含2和5的有99-50-20+10=39個(gè)，即純循環(huán)小數(shù)有39個(gè).

這里需要思考：將一個(gè)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時(shí)有哪些情況；怎樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)；怎樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)；為什么分?jǐn)?shù)化成小數(shù)要么有限要么循環(huán).這些問題都可以在學(xué)習(xí)有理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念時(shí)作為拓展問題讓學(xué)生去思考、討論和交流，可以幫助學(xué)生深入理解有理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念.

例3已知二次函數(shù)y=x2+qx+p的圖像與x軸交于不同的點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，且△ABC的面積S≤1．

(1)求q2-4p的取值范圍；

(2007年浙江省溫州中學(xué)自主招生試題)

分析(1)0

(2)由第(1)小題知，q2-4p=1,2,3,4.因?yàn)閝2被4除余數(shù)為0或1，所以q2-4p被4除的余數(shù)也為0或1，從而q2-4p=1,4．這2個(gè)方程中符合題意的整數(shù)解有

例3的第(1)小題為中考要求，第(2)小題為競(jìng)賽要求，平時(shí)的作業(yè)中有這樣的分層設(shè)計(jì)是非常好的，可以讓不同的學(xué)生有不同的發(fā)展.

3.2 利用數(shù)學(xué)課外活動(dòng)進(jìn)行專題探究

當(dāng)然僅在日常教學(xué)中滲透是不夠的，對(duì)數(shù)論問題有深入了解和學(xué)習(xí)還需要利用課外活動(dòng)時(shí)間，讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行專題探究，若有機(jī)會(huì)聽聽專家的講座那是最好的.比如：整除的判定、奇偶分析法、帶余除法和利用余數(shù)分類、完全平方數(shù)、不定方程、二次方程的整數(shù)根和高斯函數(shù)等作為專題探究是很必要的，可以從專題探究中歸納出一般方法.例如，二次方程的整數(shù)根的問題解法靈活多樣，可以通過典型例題來歸納提煉.

例4求所有正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax+4a=0只有整數(shù)根.

(1998年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

分析這是一個(gè)典型的二次方程整數(shù)根問題，本質(zhì)是二次不定方程.解決這類問題的常用方法可以通過這個(gè)例題歸納出來——首先由韋達(dá)定理可以得到a為整數(shù).

解法1根據(jù)求根公式，判別式Δ必為完全平方數(shù)，因此可設(shè)Δ=k2，即

a2-16a=k2(k∈N)，

從而

(a-8-k)(a-8+k)=64.

因?yàn)閍-8-k≤a-8+k，且a-8-k與a-8+k同奇偶(這里都為偶數(shù))，所以

故a=25或a=18或a=16，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意.

解法2本題涉及根與系數(shù)的關(guān)系，因此可以考慮用韋達(dá)定理.

設(shè)2個(gè)整數(shù)根為m,n(m≤n)，則

消去a得

mn-4m-4n=0,

從而

(m-4)(n-4)=16,

故a=25或a=18或a=16.

解法3考慮到參系數(shù)a是一次的，因而可以將它分離出來，得

因此，x-4為16的正約數(shù)：1,2,8，16,故a=25或a=18或a=16.

解法4將原方程直接局部因式分解，得

(x-4)(x-a+4)=-16，

可得a=25或a=18或a=16.

這4種解法在具體的問題中需要根據(jù)條件的特殊性(比如：參系數(shù)是有理數(shù)還是整數(shù)，方程有整根還是都是整根)靈活應(yīng)用，選擇合適的方法.

3.3 抓住核心的內(nèi)容和思想方法

數(shù)論研究的是整數(shù)的性質(zhì)，初中階段核心的內(nèi)容有整除性、利用余數(shù)分類、不定方程等.整數(shù)區(qū)別于有理數(shù)和實(shí)數(shù)的主要特點(diǎn)是整數(shù)具有離散性，因此解決整數(shù)問題的一個(gè)大的策略是通過一定的方式限定問題中整數(shù)的范圍，將問題中的整數(shù)限定在一個(gè)較小的范圍，然后通過逐個(gè)檢驗(yàn).

(2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

因此

得

n≤144.

這是一個(gè)典型的整數(shù)最值問題，常用的思路是對(duì)問題的整體情況進(jìn)行估計(jì)，找到變量的上界或下界，然后構(gòu)造出一個(gè)實(shí)例說明此最值能夠取得.這種先估計(jì)再構(gòu)造的方法是求這類離散量最值的常用方法.

例6已知正整數(shù)a,b,c滿足:1

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析設(shè)a,c的最大公約數(shù)為(a,c)=d，則

a=a1d，c=c1d，

這里a1,c1均為正整數(shù)且(a1,c1)=1，a1

b2=ac=d2a1c1，

d(a1+b1+c1)=111，

即

d(m2+n2+mn)=111.

注意到m2+n2+mn≥12+22+1×2=7，因此d=1或d=3.

若d=1，則m2+n2+mn=111，驗(yàn)算可知只有m=1,n=10滿足等式，此時(shí)a=1，不符合題意，故舍去；若d=3，則m2+n2+mn=37，驗(yàn)算可知只有m=3,n=4滿足等式，此時(shí)a=27,b=36,c=48，符合題意.因此，所求的b=36.

利用整除的性質(zhì)、分類討論、限定范圍等都是在處理整數(shù)問題時(shí)常用的思想方法.

3.4 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和積極性

數(shù)論的內(nèi)容往往方法獨(dú)特，學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到困難，教學(xué)中要注意激發(fā)學(xué)生的興趣和積極性，滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)史，介紹數(shù)學(xué)家的故事和研究成果，往往會(huì)有較好的效果.比如：華羅庚自學(xué)成才的故事、陳景潤(rùn)和哥德巴赫猜想、山東大學(xué)數(shù)學(xué)系王小云教授在密碼學(xué)上取得成就——10年破解世界五大著名密碼，為信息安全作出了杰出的貢獻(xiàn)等.這些精彩而傳奇的故事往往能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和增加學(xué)生在學(xué)習(xí)中克服困難的信心和勇氣.讓學(xué)生看到所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用價(jià)值也是激發(fā)學(xué)生興趣的好方法之一.比如，古希臘柏拉圖時(shí)候就知道確有5個(gè)正多面體存在，即正四面體、立方體、正八面體、正十二面體、正二十面體，那么為什么有且僅有這5種正多面體呢?課外活動(dòng)中可以介紹相關(guān)內(nèi)容，并讓學(xué)生積極思考、討論，如果學(xué)生覺得毫無思路，又有強(qiáng)烈求知的愿望，那么教師就可以介紹證明方法.現(xiàn)證明如下：

證明對(duì)于正多面體，假設(shè)它的各面都是正n邊形，而且每一個(gè)頂角處有r條邊相遇.這樣就有：

式(1)的右邊系數(shù)2是因?yàn)槊窟叧霈F(xiàn)在2個(gè)面中，式(2)的右邊系數(shù)2是因?yàn)槊窟呁ㄟ^2個(gè)頂角.把式(1)和式(2)代入歐拉公式中，得

(3)

顯然n≥3，r≥3，因?yàn)槎噙呅沃辽儆?條邊，而在每個(gè)頂角處也至少有3條邊相遇.但n>3，且r>3又是不可能的，若

學(xué)生會(huì)被這樣的證明所震撼，沒想到解決問題的工具是自己所熟悉的不定方程，感受到數(shù)論的應(yīng)用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)思維的魅力，從而獲得學(xué)習(xí)數(shù)論的興趣和動(dòng)力.