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(杭州文海實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江杭州 310018)

圓是各地中考和競(jìng)賽的重要知識(shí)之一，且遍布各種題型，既涉及計(jì)算、論證，又涉及探索以及操作題等，考查的知識(shí)點(diǎn)側(cè)重于與圓有關(guān)的角、計(jì)算等.近幾年的競(jìng)賽或中考試題中，與圓有關(guān)的試題在沿襲傳統(tǒng)的題型外，還加大了探索、創(chuàng)新的力度，特別是增加了與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題、圓與代數(shù)的綜合題等．

在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，除了要能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)外，還要注意與其他知識(shí)的聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．圓是數(shù)學(xué)中思想方法比較集中的知識(shí)點(diǎn)之一，如轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類思想、整體思想等．本文僅對(duì)近幾年全國(guó)各地區(qū)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽及中考中與圓有關(guān)的試題進(jìn)行分類研究，以供參考．

題型1與圓有關(guān)的角

圓心角、圓周角、弦切角以及它們的大小與所對(duì)(或所夾)弧的度數(shù)之間的關(guān)系是圓中最基本的數(shù)量關(guān)系，也是解決與角有關(guān)的幾何問題的重要知識(shí)點(diǎn)，是證明與圓有關(guān)結(jié)論的常用工具．

例1如圖1，在ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足∠ECD=∠ACB，AC的延長(zhǎng)線與△ABD的外接圓交于點(diǎn)F．證明：∠DFE=∠AFB.

(2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)試題)

解在ABCD中，AD∥BC,從而

∠ACB=∠DAF，∠BDC=∠ABD.

因?yàn)椤螦BD=∠AFD，∠ECD=∠ACB,所以

∠DAF=∠ECD，∠BDC=∠AFD,

于是

△DCE∽△FAD,

因此

由∠BAF=∠BDF，得

△ABF∽△DEF,

故

∠DFE=∠AFB.

點(diǎn)評(píng)本題圖形比較復(fù)雜，關(guān)鍵是根據(jù)圓中角的相等關(guān)系，并結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判定角的等量關(guān)系．圓中角的等量關(guān)系給解決圖形的相似或全等提供了條件．

圖1 圖2

題型2垂徑定理的應(yīng)用

圓是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)這一特征可以得到“垂徑定理”這一應(yīng)用非常廣泛的重要定理.利用垂徑定理可以解決有關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算、比例關(guān)系的證明以及其他與圓有關(guān)的綜合性問題．

例2如圖2，點(diǎn)A在半徑為20的⊙O上，以O(shè)A為一條對(duì)角線作矩形OBAC，設(shè)直線BC交⊙O于點(diǎn)D,E.若OC=12，則線段CE,BD的長(zhǎng)度差是______．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

從而

故CE-BD= (EM-CM)-(DM-BM)=

點(diǎn)評(píng)對(duì)于圓中有關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算或比較，垂徑定理是常用方法之一.應(yīng)用垂徑定理的關(guān)鍵在于有效利用弦、弦心距和圓的半徑(直徑)之間的關(guān)系，其中勾股定理以及直角三角形的其他性質(zhì)是解決此類問題的輔助工具之一．

題型3圓的切線

直線與圓的位置關(guān)系是圓的重點(diǎn)知識(shí)，尤其是直線與圓相切時(shí)更具大量有用信息.切線的判定與性質(zhì)、弦切角與圓周角的關(guān)系、切線長(zhǎng)定理、圓冪定理等都是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的常用知識(shí)．

圖3

(2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解設(shè)CE=4x，AE=y,則

DF=DE=3x,EF=6x.

聯(lián)結(jié)AD，BC,因?yàn)锳B為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以

∠EAF=90°,∠ACD=∠DAF.

又因?yàn)镈為Rt△AEF斜邊EF的中點(diǎn)，所以

DA=DE=DF，

從而

∠DAF=∠AFD，

于是

∠ACD=∠AFD，

因此

在Rt△AEF中，由勾股定理得

EF2=AE2+AF2，

即

36x2=y2+320.

設(shè)BE=z，由相交弦定理得

CE·DE=AE·BE，

即

yz=4x·3x=12x2，

從而y2+320=3yz.

(1)

由AD=DE，得

∠DAE=∠AED,

又∠DAE=∠BCE,∠AED=∠BEC,從而

∠BCE=∠BEC，

于是

BC=BE=z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得

AB2=AC2+BC2，

即

(y+z)2=320+z2，

從而y2+2yz=320.

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)，解得y=8,z=16,故

AB=AE+BE=24．

點(diǎn)評(píng)“切線與經(jīng)過切點(diǎn)的半徑垂直”這一性質(zhì)可以將切線與直角聯(lián)系起來，將圓的問題與直角三角形聯(lián)系起來．切線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和方程思想是本題的主要考查內(nèi)容．

題型4四點(diǎn)共圓

四點(diǎn)共圓有3個(gè)性質(zhì)：(1)共圓的4個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的2個(gè)三角形的頂角相等；(2)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角．這3個(gè)性質(zhì)提供了圓中角之間的數(shù)量關(guān)系，為解決與角有關(guān)的計(jì)算或證明提供了條件．

例4設(shè)△ABC的外心、垂心分別為O,H,若點(diǎn)B,C,H,O共圓，則對(duì)于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數(shù)．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解分3種情況討論：

(1)如圖4，若△ABC為銳角三角形，則

∠BHC=180°-∠A,∠BOC=2∠A.

由∠BHC=∠BOC，得

180°-∠A=2∠A,

于是

∠A=60°.

圖4 圖5

(2)如圖5，若△ABC為鈍角三角形，則

①當(dāng)∠A>90°時(shí)，∠BHC=180°-∠A，∠BOC=2(180°-∠A),由∠BHC+∠BOC=180°，得

3(180°-∠A)=180°，

于是

∠A=120°．

②當(dāng)∠A<90°時(shí)，不妨設(shè)∠B>90°，則

∠BHC=∠A，∠BOC=2∠A.

由∠BHC+∠BOC=180°，得

3∠A=180°，

于是

∠A=60°．

(3)若△ABC為直角三角形,則

①當(dāng)∠A=90°時(shí)，因?yàn)镺為邊BC的中點(diǎn)，B,C,H,O不可能共圓，所以∠A不可能等于90°.

②當(dāng)∠A<90°時(shí)，不妨設(shè)∠B=90°，此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，于是總有B,C,H,O共圓，因此∠A可以是滿足0°<∠A<90°的所有角．

綜上可得，∠A所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120°．

點(diǎn)評(píng)分類討論是本例的重要思想方法，分類之后圖形中根據(jù)四點(diǎn)共圓得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的基礎(chǔ)知識(shí)．

題型5三角形的內(nèi)切圓

例5在△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，過△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長(zhǎng)為______．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解如圖6，設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，邊BC上的高為ha，則

從而

因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以

于是

點(diǎn)評(píng)本題主要通過三角形面積的不同計(jì)算方法推導(dǎo)出三角形高與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，然后利用相似三角形的比例關(guān)系得到未知線段與已知線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而求解．

圖6 圖7

題型6圓與圓的位置關(guān)系

2個(gè)圓的位置關(guān)系問題一般都是通過輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化．圓的基本性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)在2個(gè)圓問題中的應(yīng)用極為廣泛，相切2個(gè)圓經(jīng)過切點(diǎn)的公共切線，相交2個(gè)圓的公共弦以及聯(lián)結(jié)2個(gè)圓心的直線是常用的輔助線．

例6如圖7，⊙O的直徑為AB，⊙O1過點(diǎn)O，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B,C為⊙O上的點(diǎn)，OC與⊙O1交于點(diǎn)D，且OD>CD．點(diǎn)E在OD上，且DC=DE，BE的延長(zhǎng)線與⊙O1交于點(diǎn)F，求證：△BOC∽△DO1F．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)BD.因?yàn)镺B為⊙O1的直徑，所以∠ODB=90°.又因?yàn)镈C=DE，所以△CBE是等腰三角形.

設(shè)BC與⊙O1交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OM，則∠OMB=90°．又OC=OB，從而

∠BOC= 2∠DOM=2∠DBC=

2∠DBF=∠DO1F,

而∠BOC,∠DO1F分別是等腰△BOC、等腰△DO1F的頂角，故△BOC∽△DO1F．

點(diǎn)評(píng)分別在2個(gè)圓中應(yīng)用圓周角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，盡可能地將角的等量關(guān)系挖掘出來，為證明三角形相似提供足夠的條件．

題型7與圓有關(guān)的比例線段

圓中有關(guān)等積式、等比式及混合等式等問題主要與圓的相交弦定理、切割線定理以及三角形的相似等知識(shí)相關(guān)．這類問題難度較大，在中考中不常出現(xiàn)，但在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中仍作為?？純?nèi)容出現(xiàn)．

例7如圖8，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點(diǎn)D.證明：AD2=BD·CD．

(2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)OA，OB，OC.因?yàn)镺A⊥AP，AD⊥OP，所以由射影定理,得

PA2=PD·PO，AD2=PD·OD.

由切割線定理,得

PA2=PB·PC,

從而

PB·PC=PD·PO,

于是點(diǎn)D,B,C,O共圓.

由∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，得

△PBD∽△COD，

從而

故

AD2=PD·OD=BD·CD.

點(diǎn)評(píng)要證明乘積式，一般將乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，然后將比例式中的4條線段組成相似三角形即可.如果線段不能組成三角形，就想辦法找等量關(guān)系，將其中的一條或幾條線段替換，再確定相似三角形．

圖8 圖9

題型8與圓有關(guān)的綜合題

圓作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在中考中也常常以綜合題的形式出現(xiàn).這類問題一般以圓為問題背景，綜合了幾何和代數(shù)的大量知識(shí)點(diǎn)，融合了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、方程函數(shù)等重要數(shù)學(xué)思想方法，全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

(1)求∠COB的度數(shù).

(2)求⊙O的半徑R.

(2012年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考試題)

解(1)因?yàn)锳E切⊙O于點(diǎn)E，所以

AE⊥CE.

由OB⊥AT，得

∠AEC=∠CBO=90°，

又∠BCO=∠ACE，從而

△AEC∽△OBC.

因?yàn)椤螦=30°，所以

∠COB=∠A=30°.

即

EC=AE·tan30°=3.

在△COB中，∠BOC=30°，即

從而

于是

又OC+EC=OM=R，得

整理得

R2+18R-115=0，

即

(R+23)(R-5)=0，

解得R=5或R=-23(舍去).故R=5.

圖10

(3)在EF的同一側(cè)，△COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，2個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F重合的三角形有6個(gè)(如圖10所示).

如圖9，延長(zhǎng)EO交圓O于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DF.因?yàn)镋F=5，直徑ED=10，所以∠FDE=30°，從而

則

點(diǎn)評(píng)本題綜合性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義．

與圓有關(guān)的競(jìng)賽題或中考題題型豐富，本文只就幾類問題舉一些典型例子來說明如何有效利用圓的基本性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的關(guān)系及性質(zhì)來充分挖掘問題條件與結(jié)論之間的關(guān)系，以達(dá)到解決問題的目的．