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(鎮(zhèn)海蛟川書院 浙江寧波 315201)

在各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，與“中點(diǎn)”相關(guān)的賽題比較常見，筆者鑒于相關(guān)賽題的典型性、代表性，故嘗試結(jié)合初中數(shù)學(xué)競賽試題歸納其中的典型賽題類型及其常規(guī)解答策略．由于“中點(diǎn)”問題廣泛存在于三角形、四邊形和圓中，同時(shí)與中位線相關(guān)的問題比較突出，故分與三角形相關(guān)、與中位線相關(guān)、與四邊形相關(guān)、與圓相關(guān)這4類加以分析，具體如下：

1 與三角形相關(guān)

1．1 與三角形的中線相關(guān)

例1如圖1，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，直線AC，BP相交于點(diǎn)Q，直線AB，CP相交于點(diǎn)R，已知AR=RB=CP，CQ=PQ，求∠BRC．

(2003年日本奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題)

證明延長CR到D，使DR=CR，得△BRD≌△ARC，則

BD=AC，∠ACE=∠BDP.

由CQ=PQ，得

∠QCP=∠CPQ，

又∠CPQ=∠BPR，從而

∠ACE=∠BDP=∠BPR，

于是

BP=BD=AC.

取CR上一點(diǎn)E，使RE=CP，得RP=CE，則△ACE≌△BPR，從而

AE=BR=AR=RE，

于是△ARE為等邊三角形，由∠ARE=60°，得∠BRC=120°．

圖1 圖2

小結(jié)本例解答中，AC=BP可根據(jù)梅內(nèi)勞斯定理考慮“直線CR截△ABQ”得到．不過，考慮到CR的中線屬性，“倍長中線”添加輔助線也很自然．

1．2 與三角形的重心相關(guān)

(2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

小結(jié)當(dāng)題設(shè)中有多個(gè)中點(diǎn)帶來的三角形的多條中線，通常會關(guān)注是否有三角形的“重心”，利用重心的相關(guān)性質(zhì)簡約求解．

1．3 與全等三角形相關(guān)

例3如圖3，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：FA=FD，且FA⊥FD．

(2013年四川省初中數(shù)學(xué)競賽初二決賽試題)

圖3

證明聯(lián)結(jié)AF并延長至點(diǎn)G，使FG=AF，聯(lián)結(jié)DG,EG，不難得到△AFB≌△GFE，從而

AB=GE，∠B=∠FEG.

由∠B+∠BAC+∠CAD+∠CDA+∠CDE+∠FED=360°及∠BAC=∠CDE=90°，得

∠B+∠CAD+∠CDA+∠FED=180°，

又∠C+∠CAD+∠CDA=180°，則

∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，

從而

△ACD≌△GED，

于是

AD=GD，∠ADC=∠GDE，

而

AF=GF，

故

AF⊥DF.

又∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°，則

∠ADC+∠GDC=∠ADG=90°，

故

DF=AF．

小結(jié)利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形完成中心對稱，借助180°的旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，進(jìn)而解決問題，此種方法是解決與中點(diǎn)相關(guān)問題的常用方法．實(shí)際上例1中“倍長中線”的方法是此種類型的特殊情形．

1．4 與等腰三角形相關(guān)

例4如圖4，已知在△ABC中，∠ACB=90°，邊AB上的高線CH與△ABC的2條內(nèi)角平分線AM,BN分別交于點(diǎn)P,Q，PM,QN的中點(diǎn)分別為E,F，求證：EF∥AB．

(2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)CE并延長交AB于點(diǎn)I，聯(lián)結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)G.由∠ABN=∠CBN及CH⊥AB，得

∠CQN= ∠BQH=90°-∠ABN=

90°-∠CBN=∠CNB，

從而

CQ=CN.

F是QN的中點(diǎn)，則

CF⊥QN，

又∠GBF=∠CBF，BF=BF，從而

△GBF≌△CBF，

故

GF=CF，

同理可得

IE=CE，

故

EF∥AB(GI)．

小結(jié)當(dāng)中點(diǎn)條件出現(xiàn)在三角形中時(shí)，通常會考慮所在三角形是否為特殊三角形.本例中的中點(diǎn)恰為等腰三角形的底邊中點(diǎn)，利用三線合一獲得更多的條件，在此基礎(chǔ)上利用全等三角形、三角形的中位線(在下一部分具體分析)得證．

圖4 圖5

1．5 與直角三角形相關(guān)

例5如圖5，在ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于點(diǎn)F，AF交BD于點(diǎn)E，若DE=2AB，則∠AED的大小是______．

(1998年“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題)

解取DE的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG，則

AG=DG=EG.

在Rt△ADE中，DE=2AG，又DE=2AB，于是

AG=AB.

若令∠AED=x，則在等腰△AGE中，

∠AGE=180°-2x，

在等腰△AGB中，

∠ABG=∠AGE=180°-2x.

又∠ABG=∠AED-∠BAF=x-15°，由180°-2x=x-15°，得x=65°．

小結(jié)同例4，考慮中點(diǎn)所在的三角形是否為特殊三角形.本例中點(diǎn)恰為直角三角形的斜邊中點(diǎn)，故考慮添加直角三角形的斜邊中線，進(jìn)而利用等腰三角形等知識求解．

2 與中位線相關(guān)

2．1 與三角形的中位線相關(guān)

( )

(2011年湖北省武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解作BF∥DE交AC于點(diǎn)F，又AD=BD，則

AE=EF.

從而

進(jìn)而

BC=FC，

故

BC+2AE=AC．

小結(jié)以獲得“2AE”為切入點(diǎn)添加平行線，間接獲得中位線，化“線段和差的證明”為“線段相等的證明”，進(jìn)而得證．

圖6 圖7

2．2 與直角三角形、三角形的中位線同時(shí)相關(guān)

例7如圖7，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在邊AC,AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE,CF交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O作OP⊥AC，OQ⊥AB，求證：DP=DQ．

(2008年江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明取OB中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)QM,DM，取OC的中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)PN,DN. 由QM,DN分別為△BOQ的斜邊中線、△BOC的中位線，得

易知OM∥DN，∠OMQ=2∠ABE，由PN,DM分別為△COP的斜邊中線、△BOC的中位線， 得

易知ON∥DM，∠ONP=2∠ACF，故四邊形OMDN為平行四邊形，得

∠OMD=∠OND.

又∠OMQ=∠ONP，從而

∠DMQ=∠PND，

于是

△DMQ≌△PND，

故

DP=DQ．

小結(jié)本例與2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試的第2題如出一轍，其逆命題與2010年四川省初二數(shù)學(xué)競賽初賽試題的第5大題類似，將條件“∠ABE=∠ACF”加強(qiáng)后與2010年湖北省黃岡市全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽試題第15題類似．

2．3 與梯形的中位線相關(guān)

例8如圖8，在六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB+DE=BC+EF，A1D1=B1E1，A1,B1,D1,E1分別是AB,BC,DE,EF的中點(diǎn)，求證：∠CDE=∠AFE．

(2008年北京市初中數(shù)學(xué)競賽初二復(fù)賽試題)

證明作ABPF，聯(lián)結(jié)DP，取其中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)B1M,E1M， 不難確定B1M,E1M分別為梯形BCDP，DEFP的中位線，則

同時(shí)

B1M∥CD，E1M∥DE，

于是

∠B1ME1=∠CDE.

同時(shí)

∠A1ND1=∠AFE，

又A1D1=B1E1，則

△A1ND1≌△B1ME1，

得

∠A1ND1=∠B1ME1，

故

∠CDE=∠AFE．

小結(jié)以題設(shè)“AB+DE=BC+EF、平行線、中點(diǎn)”等條件為切入點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形、梯形及其中位線，利用全等三角形使問題得以解決．

圖8 圖9

2．4 與三角形的中位線、梯形的中位線同時(shí)相關(guān)

例9如圖9，在△ABC中，BE,CD是角平分線，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，作PQ⊥BC，PM⊥AB，PN⊥AC，求證：PQ=PM+PN．

(2011年湖北省武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明作DF⊥AC，DH⊥BC，EG⊥AB，EI⊥BC.因?yàn)锽E,CD是△ABC的角平分線，所以

DF=DH，EG=EI.

不難確定PQ是梯形DHIE的中位線，同時(shí)PM,PN分別為△DEG、△DEF的中位線，于是

圖10

小結(jié)以“角平分線”為切入點(diǎn)添加4條垂線段，然后通過三角形、梯形的中位線的相關(guān)性質(zhì)使問題得以解決．另外，若條件“點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)”減弱為“點(diǎn)P為DE上的任意一點(diǎn)”，結(jié)論仍成立，此處不再贅述．

例10如圖10，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在平面上移動，始終保持EF∥AB，線段CF的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，則線段MN的長為______．

(2011年北京市初中數(shù)學(xué)競賽初二復(fù)賽試題)

解聯(lián)結(jié)CG，取CG的中點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)PM,PN，可知PM,PN分別為△CFG、梯形CDHG的中位線，得

小結(jié)在中點(diǎn)個(gè)數(shù)較多且不能直接利用的前提下，通過“連線段、取中點(diǎn)”構(gòu)造三角形和梯形的中位線,從而使問題得以解決．

3 與四邊形相關(guān)

3．1 與平行四邊形相關(guān)

例11如圖11，在五角星ABCDE中，已知AQ=QC，BR=RD，CR=RE，DS=SA，求證：BT=TP=PE．

(2006年北京市初中數(shù)學(xué)競賽初二復(fù)賽試題)

證明聯(lián)結(jié)AE,AB，由AQ=QC,CR=RE，得

由DS=SA,BR=RD，得

則四邊形ABRE為平行四邊形，從而

于是

因此

小結(jié)以“三角形的中位線”為切入點(diǎn)獲得平行四邊形，后借助平行截割，使問題得以解決．

圖11 圖12

3．2 與中點(diǎn)四邊形相關(guān)

(2001年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明聯(lián)結(jié)BE，取其中點(diǎn)并記為點(diǎn)R，聯(lián)結(jié)MR,PN,NQ,QR,RP.由MR為△ABE的中位線，得

因?yàn)樗倪呅蜳NQR為四邊形BCDE的中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形，所以四邊形PNQR為平行四邊形，從而PQ,RN互相平分，故點(diǎn)R,L,N共線.由KL為△MNR的中位線，得

故

小結(jié)本例以題設(shè)中“中點(diǎn)”條件為切入點(diǎn)，由任意四邊形的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形構(gòu)造“中點(diǎn)四邊形”，后借助中位線等相關(guān)知識求解．

3．3 與一組對邊相等的四邊形相關(guān)

例13如圖13，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長BA至點(diǎn)E，延長DC至點(diǎn)F，使得AE=CF，G,H,M分別為BD,AC,EF的中點(diǎn)，若點(diǎn)G,H,M共線，求證：AB=CD．

(2007年湖北省武漢市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明取AF的中點(diǎn)S，BC的中點(diǎn)T，聯(lián)結(jié)GT,HT,HS,SM，得

于是

HS=SM，

從而

∠SHM=∠SMH.

從而

GT∥HS，HT∥SM，

于是

∠TGH=∠SMH=∠THG，

因此

GT=TH，

故

AB=CD．

圖13 圖14

小結(jié)“一組對邊相等”的四邊形是競賽中常涉及的四邊形，本例結(jié)合“中點(diǎn)”條件，通過取中點(diǎn)、連線段——構(gòu)造中位線，利用中位線帶來的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系使問題得以解決.特別地，對于此類賽題，有時(shí)需要先聯(lián)結(jié)對角線，再取其中點(diǎn)．更多與“一組對邊相等的四邊形”的相關(guān)問題可參見文獻(xiàn)[1]．

4 與圓相關(guān)

4．1 與弦中點(diǎn)相關(guān)

例14如圖14，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AF⊥BC，G是BF的中點(diǎn)，求證：AC=2OG．

(2008年湖北省黃岡市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

同時(shí)

故

AC=2OG．

小結(jié)本例是與圓相關(guān)的經(jīng)典問題，證明的方法很多．通過構(gòu)建坐標(biāo)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)和兩點(diǎn)間的距離公式證明本例，條理清晰自然．典型的解答方法再如：如圖14，聯(lián)結(jié)FO并延長交⊙O于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD,BD，先證明BD=AC，AD∥BC．

4．2 與弧中點(diǎn)相關(guān)

(2005年天津市初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明作DE⊥AC，顯然，

AD2-CD2=(AE2+DE2)-(CE2+DE2)=

AE2-CE2=(AE+CE)(AE-CE)=

AC(AE-CE).

作DF⊥BC，聯(lián)結(jié)BD，易得

AD=BD，∠DAE=∠DBF，

由∠AED=∠BFD=90°，得

△AED≌△BFD，

則

AE=BF，DE=DF.

又∠AED=∠BFD=90°，CD為△AED和△BFD的公共邊，從而

△AED≌△BFD，

則

CE=CF，

于是

AE-CE=BF-CF=BC.

小結(jié)事實(shí)上，本例中的“AE-CE=BC”可依據(jù)阿基米德折弦定理直接得到．解答與弧中點(diǎn)相關(guān)的問題，?？紤]圓心角定理、圓周角定理等工具，也常涉及阿基米德折弦定理，如2003年山西省太原市初中數(shù)學(xué)競賽第6題，實(shí)際上是探究阿基米德折弦定理的逆定理．另外，當(dāng)圖15中的點(diǎn)B,C重合時(shí)，阿基米德折弦定理退化為垂徑定理．

圖15 圖16

4．3 其他相關(guān)

例16如圖16，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P．問:EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論．

(2003年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明延長AD，BC交于點(diǎn)F，由OA=OB,OC∥AF，得CB=CF，易證DE∥BF，則

故

EP=PD．

小結(jié)在本例的解答方法中，由中點(diǎn)帶來的線段相等條件除了用于等量代換外，也成為本例中添加輔助線的切入點(diǎn)．

如上所述，筆者將與“中點(diǎn)”相關(guān)的典型賽題進(jìn)行了梳理與解答，給出了常用策略，不過文中的許多賽題都具備一題多解的特點(diǎn)，鑒于篇幅，不作展開．另外，筆者分類論述的初衷是：結(jié)合與“中點(diǎn)”相關(guān)賽題的解答，構(gòu)建與“中點(diǎn)”相關(guān)的問題模型，不止于“條件反射”式的解題．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 沈文選．一組對邊相等的四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用[J].中等數(shù)學(xué),2013(1):5-9.