衛(wèi)福霞, 高先龍

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

隨著現(xiàn)代冷卻技術(shù)的逐漸成熟，人類已經(jīng)可以制備出不同類型的束縛勢，通過調(diào)節(jié)外部束縛勢使系統(tǒng)成為低維.在系統(tǒng)的z方向加一個比較平緩的勢場，而在xy方向加上比較強的勢場，使粒子在xy方向上的運動被限制在零點振動，這樣可制備準一維束縛量子氣體.一維量子氣體的許多物理性質(zhì)和現(xiàn)象是三維體系所不具有的.例如，一維體系具有Luttinger液體的性質(zhì)，而三維體系由Landau費米液體所描述.近幾年，對一維量子氣的研究已由玻色氣體擴大到費米子以及玻色費米混合系統(tǒng),例如：MIT和Rice大學研究組進行的非平衡費米氣體實驗[1]；Recati等[2]對束縛在細長諧振勢中雙組分費米氣體性質(zhì)的研究.在弱耦合和強耦合限制下，這些研究者把Luttinger哈密頓量和系統(tǒng)的微觀參數(shù)聯(lián)系起來[3]，從而描述氣體的低能性質(zhì).一維體系由于強關(guān)聯(lián)性質(zhì)的相互作用和Luttinger液體的性質(zhì)，其在冷原子體系中的實現(xiàn)對凝聚態(tài)物理中的相關(guān)研究具有十分重要的作用.

均勻體系Gaudin-Yang模型[4-5]的一維費米氣體可以精確求解，這為我們的研究提供了一些借鑒.冷原子實驗中往往還有一個諧振勢，從而使得體系是非均勻的.對于非均勻雙組分費米氣體的研究往往以局域密度近似(LDA)的平衡方程為基礎(chǔ)，用均勻體系的化學勢代替非均勻體系的化學勢，進而求出平衡系統(tǒng)的密度分布以及呼吸模頻率.由于局域密度近似是一個平均場結(jié)果，故求出的是近似解.而對于有限系統(tǒng)，LDA的近似結(jié)果需要作出檢驗，對于基于LDA的一些物理量的計算，也要從不同的角度予以檢驗.本文利用密度泛函理論(DFT)在某些參數(shù)范圍內(nèi)求出了更為準確的基態(tài)密度分布，并用該基態(tài)密度分布進一步求出呼吸模.

1 一維無極化費米氣體的物理模型

本文主要討論的是Gaudin-Yang連續(xù)模型，該模型由Gaudin[4]和Yang[5]分別提出,其中，文獻[4]求解的是吸引相互作用模型，而文獻[5]求解的是排斥相互作用模型.冷原子體系中一維自旋費米氣體的哈密頓量為

(1)

式(1)即為有束縛勢的非均勻Gaudin-Yang模型，不能解析求解.其中:N,g1D,ωz分別為總粒子數(shù)、相互作用和諧振勢頻率;N=N↑+N↓.為了計算呼吸模頻率，利用求和法則

(2)

(3)

略去二階項可得

(4)

令ε=-mωzΔωz，當Δωz很小時，則可得到

(5)

代入式(2)可得呼吸模頻率公式

(6)

(7)

相互作用常采用下列方式無量綱化:

(8)

在外勢的頻率上作微擾，可以研究集體激發(fā).集體激發(fā)不僅是超流原子氣體元激發(fā)的主要形式，也是玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)在低溫下的最基本的激發(fā)模式，它是描述相互作用多體系統(tǒng)在外加束縛勢中的集體振蕩行為.現(xiàn)在許多實驗都對超流原子氣體中的集體激發(fā)有研究，并且取得了很好的結(jié)果.在集體激發(fā)的研究中，振蕩頻率的研究是必不可少的，它對于了解凝聚體的基態(tài)、超流特性和熱力學性質(zhì)，揭示非均勻量子體系中原子間相互作用性質(zhì)和探索超冷量子氣體的超流特性均有重要意義.除此之外，無極化條件下，它可以用來檢驗實驗上是否獲得新的量子氣體和標度不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換[6-8].極化條件下，它可以用來標度不同的量子相[9-10].

2 研究方法

2.1 局域密度近似(LDA)方法

在諧振勢中，當外勢中存在大量費米子時，局域密度近似是一個比較準確的近似方法，結(jié)合均勻費米氣的Bethe-ansatz解，可以得到當N?1時系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)，利用局域密度近似并根據(jù)非均勻氣體的局域平衡條件可以確定化學勢，平衡條件為

2.2 密度泛函理論(DFT)方法

用LDA算出的是平均場結(jié)果是一個近似解.下面用DFT來精確求解基態(tài)密度分布.nGS(z)可以通過求解Kohn-Sham(KS)方程得到

(10)

|φα(z)|2.

(11)

3 數(shù)值結(jié)果

利用局域密度近似和密度泛函理論，借助式(9)～式(11)可得到無極化費米氣體在外勢中的密度分布情況.

圖1給出了諧振勢中雙組分費米氣體的密度分布nGS(z).它是以z/az為函數(shù)，其中相互作用強度分別為g1D=+2(見圖1(a))和 g1D=-2(見圖1(b)).均給出粒子總數(shù)N=20和50這2種情況.圖1列出了LDA(實線)和DFT(點線)的結(jié)果作為比較.圖1(a)是排斥相互作用的結(jié)果，圖1(b)是吸引相互作用的結(jié)果.由圖1中的密度分布結(jié)果可以看出，局域密度近似結(jié)果是一個光滑的曲線，是一種近似平均解，密度泛函理論結(jié)果反映了正確的Friedel振蕩，是精確的密度分布[11].當粒子數(shù)不是很大時(如N～100，為實驗中所用的粒子數(shù))，DFT給出的結(jié)果更為可靠，它正確反映了密度分布.對于吸引相互作用，密度分布的振蕩更為明顯，此振蕩行為對呼吸模的貢獻是不可忽略的.下面筆者將用更為精確的密度分布求出呼吸模并與LDA的結(jié)果作比較.

(a) (b)

圖2 諧振勢中雙組分費米氣體的呼吸模

4 結(jié) 論

基于Bethe-ansatz解的密度泛函和局域密度近似，求解了諧振勢中自旋雙組分費米氣體的呼吸模，可以得到如下結(jié)果：局域密度近似和密度泛函理論2種方法得到的密度分布有很大的不同，局域密度近似得到的密度分布的結(jié)果是光滑的曲線，是一種近似平均解，而密度泛函得到的是振蕩的曲線，是精確的密度分布，從而能夠精確地求解呼吸模.對于排斥相互作用，密度分布的微小振蕩使呼吸模結(jié)果略小于局域密度近似結(jié)果；對于弱吸引相互作用，密度分布更為振蕩，使呼吸模結(jié)果和局域密度近似的結(jié)果有較大的不同；對于強吸引相互作用，密度分布過于振蕩，從而使呼吸模結(jié)果發(fā)散，不再準確.

參考文獻：

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