鄧學晶，亓玉成，林 倩，鄒德高

(1.中國石油大學儲運與建筑工程學院,山東青島266580；2.大連理工大學水利工程學院,遼寧大連116024)

地震誘發(fā)巖體邊坡失穩(wěn)是嚴重的自然災害。隨機源和功能函數(shù)是巖體可靠性分析的兩個關鍵問題。地震動被作為隨機源的方式主要有3種：將地震動的某個特征參數(shù)(如峰值加速度等)看作隨機變量,基于地震危險性分析和擬靜力方法計算可靠度[1-2]；將地震動假設為平穩(wěn)隨機過程,基于隨機有限元等方法建立工程巖體的動力方程求解可靠度；將地震動作為非平穩(wěn)隨機過程,采用虛擬激勵或攝動法等計算穩(wěn)定可靠度[3-4]。前兩種方法不能反映地震動的客觀隨機性；虛擬激勵或攝動法用于求解高非線性的工程巖體地震可靠度分析,還有許多有待解決的問題。巖體失穩(wěn)的狀態(tài)函數(shù)應根據(jù)巖體的變形機制和主要破壞模式并結合上部結構的功能要求來確定。很多近似方法用以解決計算困難或迭代不收斂問題,如 FORM、SORM、響應面法,Monte-Carlo方法等[5-6]。這些方法還可以用來求解動力可靠度問題[7]。筆者基于非平穩(wěn)的隨機地震動模型快速合成地震動,并以巖體結構面的水平等效加速度代表地震荷載水平,考察結構面的滑移狀態(tài),進行滑移概率計算和可靠度分析。

1 工程巖體結構面滑移狀態(tài)方程

在確定性分析中,一般認為地震作用下巖體失穩(wěn)與某些參數(shù)的響應值過大有關,例如,滑動體的加速度(慣性力)、滑移面上的合力等,這些參數(shù)被稱為地震效應,記為S(t),是確定性的時程函數(shù),可由地震動通過對巖體進行數(shù)值計算確定。在可靠度分析中,地震效應是隨機過程,其不確定性主要來自于地震等的隨機性。理論上,如果能求得S(t)和其導函數(shù)過程的聯(lián)合概率密度,就可以用理論方法計算S(t)的首次穿越概率,即巖體滑移的概率,但這是相當困難的。

大多數(shù)情況只能用近似方法求解,例如,取地震效應S(t)的最大值,記為S,代表地震荷載水平,針對一系列地震動,S是隨機變量。如果該一系列地震動符合某場地未來可能發(fā)生的地震的統(tǒng)計特性,隨機變量S的分布就能夠代表該地震誘發(fā)巖體滑移荷載水平的統(tǒng)計屬性。

圖1 工程巖體計算模型Fig.1 Calculation model of engineering rock mass

圖1(a)所示為工程巖體,二維計算模型見圖1(b)。取靠近結構面的一層單元(圖1(b)陰影所示)定義工程巖體結構面的地震效應為

式中,為t時刻的單元應力分量；ai和bi為第i結構面單元的x和y方向尺寸；g為重力加速度；Ω為結構面的單元集合。

分析可知,式(1)的分子部分是每個結構面單元的水平力的代數(shù)和,分母部分是上部滑體的總質量,具有加速度量綱,也可稱作結構面的水平等效加速度,以其代表結構面的地震荷載水平是合理的。

對應于每個確定地震動的時程計算可以得到結構面水平等效加速度的時程曲線,取峰值S,是該次地震動引起的結構面最大水平荷載。當考慮n次地震動時程計算時,S可看作隨機變量。

工程巖體的極限狀態(tài)函數(shù)表示為

式中,R為結構面的屈服加速度,可由結構面的強度公式換算得到,受結構面強度參數(shù)不確定性的影響,也是隨機變量。

2 結構面滑移概率分析

用核密度估計方法計算R和S的概率密度f(r)和F(s)的表達式,令

式中,N為抽樣計算次數(shù)；h為核密度估計的窗寬；K()為核函數(shù),是某個分布的密度函數(shù),滿足

假設R和S相互獨立,則狀態(tài)函數(shù)Z的概率密度為

特別是,當Z服從正態(tài)分布,其均值為μz,標準差為σz,工程巖體的穩(wěn)定可靠性指標

當Z不服從正態(tài)分布,也可以進行當量正態(tài)化處理,從而得到可靠度指標。

完成以上計算需要對地震動進行抽樣,即合成人工地震動用于計算一定數(shù)量的S樣本。

3 隨機地震動抽樣

人工合成地震動的方法主要有兩類：一是基于震源機制和傳播介質隨機性的描述進行概率地震危險性分析,給出場地反應譜,擬合反應譜得到地震動[8]。二是假設隨機地震動模型,用歷史地震記錄擬合模型參數(shù)的概率分布,直接對模型參數(shù)隨機抽樣生成地震動。前者通過反應譜間接反映地震的隨機性,擬合過程需要迭代,而且收斂性不好保證。后者模型參數(shù)的隨機性直接決定地震動隨機性,且模型參數(shù)是震源機理、震級、傳播介質和場地屬性等的函數(shù),不需要迭代,生成地震動比較快速[9]。

3.1 隨機地震動模型

白噪聲作用于單自由度線性振子,振子作為濾波器,其穩(wěn)態(tài)動力響應是一個隨機過程,通過改變振子參數(shù)以實現(xiàn)頻域非平穩(wěn)性,再乘以幅值調制函數(shù),可以合成時域和頻域非平穩(wěn)地震動：

式中,w(τ)為白噪聲；σf(t)為積分項的標準差；q(t,a)為調制函數(shù)。

為實現(xiàn)地震動的時間非平穩(wěn)性,α為參數(shù)向量,控制調制函數(shù)的形狀；令

α=(α1,α2,α3)決定地震動時域的非平穩(wěn)性。

h[t-τ,λ(t)]為狄拉克函數(shù)δ(t)作用下振子的響應；λ(t)說明單自由度振子的彈性系數(shù)和阻尼比等參數(shù)隨時間變化,地震動具有頻率非平穩(wěn)性。δ(t)作用下單自由度線性振子的響應為

假定頻率隨時間線性變化,有

式中,ω0,ωn分別為t=0和t=tn時的頻率。

假定阻尼比不隨時間變化,ζf(τ)=ζf,ω0,ωn與ζf決定地震動頻域的不平穩(wěn)性。

由式(7)定義的地震動有6個參數(shù)需要確定,它們是α=(α1,α2,α3) 和ω0,ωnζf。希望這些參數(shù)能夠和有明確物理含義的地震參數(shù)取得聯(lián)系,例如,震級、震中距等,以便利用現(xiàn)有的地震動數(shù)據(jù)庫擬合這些參數(shù)的概率密度分布。

對于任意一個確定的地震記錄,用最小二乘法以累積能量作為優(yōu)化目標來確定待定參數(shù)α。至于ω0、ωn與ζf,因其互相影響,須分步考慮。首先假定一系列ζf,對于每個ζf值,通過滿足模擬地震動與目標地震動的累積過零數(shù)差別最小來確定ω0、ωn。采用以上模型可以根據(jù)潛在震源震級場地屬性等快速合成一族地震動。更詳細敘述可參見文獻[9]。

3.2 地震動樣本

編制了快速合成人工地震動程序。假定某工程場地潛在的危險地震來自100 km處的7級震源,對該場地基巖地震動進行1萬次抽樣,地震動加速度的峰值、持時、卓越周期不確定,而是滿足某種分布規(guī)律的隨機變量,如圖2(震級M=7,震中距r=100,峰值加速度以加速度g為單位)所示。

圖2 人工合成地震動的主要參數(shù)分布Fig.2 Distributions of main parameters of synthetic ground motions

4 計算實例

選用的工程巖體幾何構型如圖3所示,巖體厚36 m,基礎寬184 m。考慮3個地震的影響,分別是①震級M=7,震中距r=20 km,為近場地震；②M=7,r=100 km,③M=7.8,r=100 km,為遠場地震。對每個潛在地震的基巖地震動進行隨機抽樣n次,進行時程計算得到巖體結構面的水平等效加速度峰值Si(i=1,2,…,n)。

圖4給出工程巖體頂部加速度放大倍數(shù)(即Amax/輸入加速度峰值)的統(tǒng)計情況。分析可見,服從正態(tài)分布。地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km時,其正態(tài)分布參數(shù)分別為μ=1.649 06,σ=0.377 46；μ=2.239 65,σ=0.36642；μ=2.26218,σ=0.41248。近場地震時,巖體頂部加速度放大倍數(shù)的均值μ小于遠場地震,這主要是由于近場輸入加速度峰值較大,巖體非線性響應更顯著。同為遠場地震,震級對工程巖體頂部加速度放大倍數(shù)標準差有影響,而對均值μ的影響不大。

圖3 工程巖體幾何構型Fig.3 Configuration of engineering rocks

圖4 巖體的主要地震響應參數(shù)分布Fig.4 Distributions of main response parameters of rocks

圖5給出3個潛在震源地震作用下,巖體結構面最大水平等效加速度分布情況。由圖5可見,其分布規(guī)律與圖2中地震動的峰值分布規(guī)律基本相似,可用Gamma分布函數(shù)擬合,地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km時,Gamma分布參數(shù)分別為：a=3.304 35,b=0.04748；a=4.667 10,b=0.008 376；a=4.826 84,b=0.009889。

圖5 工程巖體結構面水平等效加速度分布Fig.5 Distributions of horizontal equivalent acceleration on structure surface of rock mass

計算巖體結構面的滑移概率和可靠度還須確定式(2)中屈服加速度參數(shù)R的分布規(guī)律,假定R服從正態(tài)分布,均值為0.2g,標準差為0.1。按照式(5)得到工程巖體沿結構面滑移的失效概率和可靠度指標。地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km 時,可靠度β=0.640 0,失效概率pf=0.260 9；β=4.943 4,pf=3.839 3×10-7；β=4.248 8,pf=1.074 7×10-5。由此可見：兩個遠場地震作用下,該工程巖體的可靠度都超過4.0,失效概率都小于0.01%；即使發(fā)生遠場地震,該工程巖體的滑移是小概率事件,且震級對巖體失效概率影響不大；近場地震作用下,工程巖體的可靠度指標為0.64,失效概率為26.1%,可見,一旦發(fā)生近場地震,工程巖體滑移的可能性很大。

5 結 論

(1)基于時域和頻域非平穩(wěn)的隨機地震動模型,編程實現(xiàn)對潛源地震的地震動快速隨機抽樣。

(2)在工程巖體結構面上定義了水平等效加速度時程,以最大水平等效加速度代表地震誘發(fā)巖體結構面滑移的荷載水平。兩個遠場地震作用下,某工程巖體的可靠度均超過4.0,失效概率都小于0.01%；近場地震作用下,工程巖體的可靠度指標為0.64,失效概率為26.1%。

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