呂志鵬,伍吉倉(cāng),2
(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院,上海 200092;2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)
基于多點(diǎn)的區(qū)域性橢球確定
呂志鵬1,伍吉倉(cāng)1,2
(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院,上海 200092;2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)
為了限制長(zhǎng)度綜合變形,我國(guó)多數(shù)城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)均采用獨(dú)立坐標(biāo)系,一般是構(gòu)造一個(gè)與測(cè)區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面非常接近的區(qū)域性橢球面作為邊長(zhǎng)的歸算面和坐標(biāo)的投影面。這樣可以保證在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)實(shí)測(cè)的邊長(zhǎng)和坐標(biāo)反算得到的邊長(zhǎng)滿足限差要求(城市測(cè)量規(guī)范中要求長(zhǎng)度綜合變形不大于2.5cm/km)。對(duì)于測(cè)區(qū)范圍比較大的情況,可以進(jìn)一步選取過(guò)測(cè)區(qū)中央的子午線作為高斯投影中央子午線的方法限制邊長(zhǎng)變形。在獨(dú)立坐標(biāo)系建立過(guò)程中,橢球變換是核心環(huán)節(jié)。橢球變換的方法分為單點(diǎn)法[1-6]和多點(diǎn)法[7]。單點(diǎn)法本質(zhì)上是使區(qū)域性橢球面與投影面(測(cè)區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面)在基準(zhǔn)點(diǎn)處充分接近。在平均高程h0=1000 m,測(cè)區(qū)面積為10 000 km2的情況下,單點(diǎn)法能保證測(cè)區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域性橢球面的差異優(yōu)于2~3 m[3]。然而這一結(jié)論并沒(méi)有考慮高程異常誤差,以及投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度起伏的影響。隨著GPS技術(shù)廣泛應(yīng)用于城市控制網(wǎng)的建立與改造,以及各種工程控制網(wǎng)的布設(shè),投影面相對(duì)于參考橢球面的差距可以精確求得。故投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度的起伏成為建立獨(dú)立坐標(biāo)系的主要影響因素。為此,文獻(xiàn)[7]提出利用測(cè)區(qū)內(nèi)的多個(gè)點(diǎn)確定區(qū)域性橢球的方法,取得了良好的結(jié)果。本文基于多點(diǎn)法提出了一種新的區(qū)域性橢球構(gòu)造方法。
1.基于位置基準(zhǔn)點(diǎn)的橢球中心平移
獨(dú)立坐標(biāo)系建立于一般基于國(guó)家參考橢球,在其基礎(chǔ)上進(jìn)行橢球參數(shù)的改變、橢球的重新定位定向及尺度的變化,以滿足區(qū)域性橢球面與投影面在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)最佳密合的條件。單點(diǎn)法建立獨(dú)立坐標(biāo)系基于一點(diǎn)進(jìn)行橢球變換,即在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處保證區(qū)域性橢球面與投影面充分接近。如圖1所示,點(diǎn)P0為建立獨(dú)立坐標(biāo)系的位置基準(zhǔn)點(diǎn)(通常為測(cè)區(qū)中點(diǎn)),其所對(duì)應(yīng)的大地高為H0,正常高為h0。H0′是點(diǎn)P0相對(duì)于區(qū)域性橢球面的大地高。設(shè)位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0處的高程異常為ζ,則該點(diǎn)處投影面相對(duì)于參考橢球面的垂直距離ΔH0=Δh+ζ=H0-(h0-Δh),其中Δh為投影面的正常高。將參考橢球面沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的法線方向平移ΔH0,且不改變橢球的長(zhǎng)半徑和偏心率,則橢球中心的平移量為
圖1 單點(diǎn)法獨(dú)立坐標(biāo)系建立示意圖
各點(diǎn)大地坐標(biāo)的變化為
2.基于多點(diǎn)定向的區(qū)域性橢球確定
單點(diǎn)法不能對(duì)橢球進(jìn)行重新定向以調(diào)整區(qū)域性橢球面相對(duì)于投影面的傾斜,同時(shí)單點(diǎn)法也無(wú)法顧及測(cè)區(qū)的起伏對(duì)區(qū)域性橢球面確定的影響。為此有必要根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)的多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行橢球的重新定向。在位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0上建立站心地平坐標(biāo)系,它的法線方向?yàn)閦軸,向外為正。x軸指向點(diǎn)P0處大地子午線方向,向北為正。y軸垂直于xP0z,向東為正。如圖2所示。在位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0處法線方向與垂線方向并不一致,其夾角即為垂線偏差,它可以分解成子午分量ξ和卯酉分量η。故在站心地平坐標(biāo)系中以P0為旋轉(zhuǎn)中心,先繞y軸旋轉(zhuǎn)ξ,再繞x軸旋轉(zhuǎn)-η (對(duì)于左手坐標(biāo)系,旋轉(zhuǎn)角以順時(shí)針為正),就可以消除平均高程面相對(duì)于橢球面的傾斜。根據(jù)站心赤道坐標(biāo)系和站心地平坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得[8]
式中,εη=-η;εξ=ξ;εx、εy、εz為站心赤道坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角。
圖2 站心坐標(biāo)變換示意圖
位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0作為站心坐標(biāo)系的原點(diǎn),即為旋轉(zhuǎn)變換的中心,有必要使其在旋轉(zhuǎn)變換前后保持不變。為此應(yīng)用只顧及旋轉(zhuǎn)變換的莫洛金斯基轉(zhuǎn)換模型,如下
式中,(xi,yi,zi)為旋轉(zhuǎn)變換前的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo);(x0,y0,z0)為相應(yīng)的位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的坐標(biāo);(Xi,Yi,Zi)為旋轉(zhuǎn)變換后的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo)。由于旋轉(zhuǎn)變換前后各點(diǎn)的坐標(biāo)變化量級(jí)微小,故根據(jù)大地坐標(biāo)微分方程有
式中,下標(biāo)為0的參數(shù)為位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0所對(duì)應(yīng)的參數(shù)。
設(shè)測(cè)區(qū)的平均高程面為Δh,任意一點(diǎn)處的正常高為hi,大地高為Hi,則可求得該點(diǎn)處橢球面和投影面的垂距為將式(6)寫成誤差方程形式
其中
根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的多點(diǎn)按最小二乘法可得
3.多點(diǎn)確定區(qū)域性橢球的必要性分析
在進(jìn)行控制網(wǎng)布設(shè)時(shí),應(yīng)將邊長(zhǎng)觀測(cè)值進(jìn)行高程歸化,其公式如下
式中,S為測(cè)距邊所對(duì)應(yīng)的投影面弧長(zhǎng);D為測(cè)距邊的傾斜距離;Hm為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的平均大地高;H2、H1分別為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的大地高。在城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)布設(shè)過(guò)程中,由于投影面通常選取為某一水準(zhǔn)面(測(cè)區(qū)平均水準(zhǔn)面或似大地水準(zhǔn)面),因而,上述大地高可以用正常高來(lái)代替。為此需要進(jìn)行橢球變換,使得各點(diǎn)處的正常高與其所對(duì)應(yīng)的區(qū)域性橢球面的大地高相一致,以消除邊長(zhǎng)觀測(cè)值的高程歸化誤差。將式(11)兩端對(duì)高差求導(dǎo)得
式中,h=H2-H1。當(dāng)S=10 000 m,(dS/S)≤10-6,h=1000 m、500 m、200 m、100 m、10 m時(shí),高差精度限差見(jiàn)表1。
表1 高程測(cè)量精度m
由表1可知,對(duì)于相同長(zhǎng)度的測(cè)距邊隨其兩端點(diǎn)高差的增大,為了保證長(zhǎng)度歸算的精度,高程精度也相應(yīng)地提高。高差精度由兩部分組成:水準(zhǔn)測(cè)量精度和投影面與區(qū)域橢球面的傾斜誤差。對(duì)于單點(diǎn)法確定的區(qū)域性橢球,在面積為10 000 km2的測(cè)區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域橢球面會(huì)產(chǎn)生3 m左右的傾斜誤差。假設(shè)傾斜誤差以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為中心,沿徑向均勻變化,故其變化率為0.6 m/10 km。因而,當(dāng)測(cè)距邊兩端點(diǎn)高差變化較大時(shí),投影面與區(qū)域橢球面不一致所造成的誤差影響顯著,有必要確定與投影面更加一致的區(qū)域性橢球面。
某C級(jí)GPS控制網(wǎng)點(diǎn)位分布如圖3所示,由14個(gè)點(diǎn)組成,依次標(biāo)記為P1―P14,在圖中用三角形表示GPS點(diǎn)位。測(cè)區(qū)東西長(zhǎng)度約為200 km,南北長(zhǎng)度約為50 km,實(shí)際控制面積在10000 km2左右。在各GPS控制網(wǎng)點(diǎn)聯(lián)測(cè)水準(zhǔn)獲得各點(diǎn)的正常高。選取大致位于測(cè)區(qū)中心的P1點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心,采用似大地水準(zhǔn)面作為投影面。應(yīng)用本文的算法確定區(qū)域性橢球,區(qū)域性橢球上的大地高及其與正常高之間的差異見(jiàn)表2(圖中格網(wǎng)間距為30″)。
圖3 GPS點(diǎn)位分布圖
表2中大地高1和偏差1為采用全部GPS點(diǎn)進(jìn)行區(qū)域性橢球確定得到的各點(diǎn)相對(duì)區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差。利用本文算法進(jìn)行區(qū)域性橢球確定,由于基本消除了旋轉(zhuǎn)中心處的垂線偏差的影響,所得區(qū)域性橢球面與作為投影面的似大地水準(zhǔn)面的密合程度良好,在所有GPS控制點(diǎn)上兩者的差異均小于10 mm,考慮到測(cè)量誤差的存在,實(shí)際上區(qū)域性橢球面和似大地水準(zhǔn)面在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)具有一致性。同時(shí),由于將區(qū)域性橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)控制在10 mm之內(nèi),因而可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過(guò)程直接獲得精度優(yōu)于10 mm的正常高(不考慮GPS測(cè)量誤差的影響)。
接下來(lái)選取測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的點(diǎn)P1、P2、P5、P7、P9、P11、P13、P14進(jìn)行區(qū)域性橢球的擬合,用其他點(diǎn)檢核擬合質(zhì)量,得到的各點(diǎn)相對(duì)區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差分別為大地高2和偏差2。僅利用測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的8個(gè)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)域性橢球擬合相對(duì)于按全部點(diǎn)進(jìn)行擬合,擬合偏差的最大值和均值均未發(fā)生顯著變化,并且處于測(cè)量噪聲的水平,對(duì)區(qū)域性橢球的確定不會(huì)產(chǎn)生影響,說(shuō)明本文算法的外附合精度良好。
同時(shí),對(duì)測(cè)區(qū)邊緣處點(diǎn)P5、P2、P9的經(jīng)緯度變化進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果見(jiàn)表3。
表2 調(diào)整后的大地高及其與正常高的差異
表3 測(cè)區(qū)邊緣處點(diǎn)位經(jīng)緯度變化(″)
由表3可知,在整個(gè)測(cè)區(qū)范圍內(nèi),經(jīng)緯度變化的量級(jí)均小于10-3(″)。這一方面可以保證各微分關(guān)系式的成立;另一方面對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用,可以不顧及由于橢球變換造成的經(jīng)緯度的變化直接進(jìn)行高斯投影變換。
為了與其他算法進(jìn)行比較,利用文獻(xiàn)[1]、[2]、[7]中的算法分別根據(jù)上述計(jì)算實(shí)例確定區(qū)域性橢球,各種算法的擬合偏差繪制于圖4。
圖4 不同算法比較
文獻(xiàn)[1]、[2]、[7]中算法的擬合偏差較大,用左側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注,本文算法的擬合偏差較小,用右側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注。文獻(xiàn)[1]通過(guò)將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)的法線方向平移使得在該點(diǎn)處構(gòu)造的區(qū)域橢球面E2和投影面相切。由圖4可知,這種方法在測(cè)區(qū)邊緣點(diǎn)P5、P9處產(chǎn)生3 m左右的偏差。文獻(xiàn)[2]通過(guò)改變參考橢球長(zhǎng)半徑和偏心率并且保證在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處法線方向不變的方法構(gòu)造區(qū)域性橢球E3,使得在該點(diǎn)處區(qū)域性橢球面與投影面相切,其擬合偏差圖像與文獻(xiàn)[1]重合。單點(diǎn)法由于難以消除區(qū)域性橢球面相對(duì)于投影面的傾斜,造成在測(cè)區(qū)邊緣處兩面的較大偏差。文獻(xiàn)[7]是在文獻(xiàn)[3]所構(gòu)造的E3橢球的基礎(chǔ)上,通過(guò)確定各點(diǎn)相對(duì)于E3橢球的大地高,并利用多點(diǎn)計(jì)算與投影面最佳密合的區(qū)域性橢球參數(shù),相對(duì)于文獻(xiàn)[1―2]算法擬合偏差有所下降。本文算法首先利用文獻(xiàn)[1]算法構(gòu)造了E2橢球,然后在其基礎(chǔ)上以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),最終獲得各點(diǎn)的擬合偏差均小于10 mm。由于消除了區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差,擬合偏差相對(duì)于單點(diǎn)法和文獻(xiàn)[7]中算法有了很大的提高。
利用本文提出的算法,確定的區(qū)域性橢球面與投影面在整個(gè)測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的密合程度相對(duì)于已有算法有了較大改進(jìn)。這有利于將GPS控制網(wǎng)歸算到已有地面基準(zhǔn),減小由于上述兩面的不一致造成的GPS控制網(wǎng)尺度誤差和坐標(biāo)誤差。同時(shí),可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過(guò)程直接獲得厘米級(jí)精度的正常高(不考慮GPS定位誤差影響),這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用很有裨益。相對(duì)于單點(diǎn)法區(qū)域性橢球確定而言,多點(diǎn)法顯著地提高了區(qū)域性橢球面與投影面之間的密合程度。同時(shí),多點(diǎn)法相對(duì)于單點(diǎn)法的計(jì)算模型更加復(fù)雜。因此,建議當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較小時(shí),考慮到單點(diǎn)法計(jì)算模型相對(duì)簡(jiǎn)單并且已滿足歸算精度的要求,宜采用單點(diǎn)法確定區(qū)域性橢球面;當(dāng)測(cè)區(qū)范圍變大時(shí),利用一點(diǎn)確定的區(qū)域性橢球與投影面密合程度不佳的缺點(diǎn)就會(huì)顯著影響邊長(zhǎng)的歸算精度,造成長(zhǎng)度綜合變形超限,此時(shí),應(yīng)該運(yùn)用多點(diǎn)法確定區(qū)域性橢球。
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Determining Regional Ellipsoid Based on Multi-point
LV Zhipeng,WU Jicang
為了限制面積較大測(cè)區(qū)(>10000 km2)的長(zhǎng)度綜合變形,提出一種區(qū)域性橢球面的構(gòu)造方法。首先,將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)法線方向平移,使區(qū)域性橢球面和投影面在該點(diǎn)處重合;然后,以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),消除區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差。實(shí)測(cè)算例表明,各點(diǎn)相對(duì)于區(qū)域性橢球面的大地高和正常高的偏差達(dá)到厘米級(jí)精度,說(shuō)明本文算法具有一定的實(shí)用價(jià)值。
區(qū)域性橢球;投影面;多點(diǎn)法;橢球平移;旋轉(zhuǎn)
P282
B
0494-0911(2014)10-0011-04
2013-08-06
國(guó)家科技部國(guó)際科技合作重點(diǎn)項(xiàng)目(2010DFB20190);國(guó)家自然科學(xué)基金(41074019)
呂志鵬(1988―),男,內(nèi)蒙古赤峰人,碩士生,主要研究方向?yàn)榈貧ば巫兣c地球動(dòng)力學(xué)。
呂志鵬,伍吉倉(cāng).基于多點(diǎn)的區(qū)域性橢球確定[J].測(cè)繪通報(bào),2014(10):11-14.
10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0317