呂志鵬，伍吉倉(cāng)，2

(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

基于多點(diǎn)的區(qū)域性橢球確定

呂志鵬1，伍吉倉(cāng)1，2

(1.同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

一、引 言

為了限制長(zhǎng)度綜合變形，我國(guó)多數(shù)城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)均采用獨(dú)立坐標(biāo)系，一般是構(gòu)造一個(gè)與測(cè)區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面非常接近的區(qū)域性橢球面作為邊長(zhǎng)的歸算面和坐標(biāo)的投影面。這樣可以保證在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)實(shí)測(cè)的邊長(zhǎng)和坐標(biāo)反算得到的邊長(zhǎng)滿足限差要求(城市測(cè)量規(guī)范中要求長(zhǎng)度綜合變形不大于2.5cm/km）。對(duì)于測(cè)區(qū)范圍比較大的情況，可以進(jìn)一步選取過(guò)測(cè)區(qū)中央的子午線作為高斯投影中央子午線的方法限制邊長(zhǎng)變形。在獨(dú)立坐標(biāo)系建立過(guò)程中，橢球變換是核心環(huán)節(jié)。橢球變換的方法分為單點(diǎn)法[1-6]和多點(diǎn)法[7]。單點(diǎn)法本質(zhì)上是使區(qū)域性橢球面與投影面(測(cè)區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面）在基準(zhǔn)點(diǎn)處充分接近。在平均高程h0＝1000 m，測(cè)區(qū)面積為10 000 km2的情況下，單點(diǎn)法能保證測(cè)區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域性橢球面的差異優(yōu)于2～3 m[3]。然而這一結(jié)論并沒(méi)有考慮高程異常誤差，以及投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度起伏的影響。隨著GPS技術(shù)廣泛應(yīng)用于城市控制網(wǎng)的建立與改造，以及各種工程控制網(wǎng)的布設(shè)，投影面相對(duì)于參考橢球面的差距可以精確求得。故投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度的起伏成為建立獨(dú)立坐標(biāo)系的主要影響因素。為此，文獻(xiàn)[7]提出利用測(cè)區(qū)內(nèi)的多個(gè)點(diǎn)確定區(qū)域性橢球的方法，取得了良好的結(jié)果。本文基于多點(diǎn)法提出了一種新的區(qū)域性橢球構(gòu)造方法。

二、基于多點(diǎn)的區(qū)域性橢球確定原理

1.基于位置基準(zhǔn)點(diǎn)的橢球中心平移

獨(dú)立坐標(biāo)系建立于一般基于國(guó)家參考橢球，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行橢球參數(shù)的改變、橢球的重新定位定向及尺度的變化，以滿足區(qū)域性橢球面與投影面在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)最佳密合的條件。單點(diǎn)法建立獨(dú)立坐標(biāo)系基于一點(diǎn)進(jìn)行橢球變換，即在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處保證區(qū)域性橢球面與投影面充分接近。如圖1所示，點(diǎn)P0為建立獨(dú)立坐標(biāo)系的位置基準(zhǔn)點(diǎn)(通常為測(cè)區(qū)中點(diǎn)），其所對(duì)應(yīng)的大地高為H0，正常高為h0。H0′是點(diǎn)P0相對(duì)于區(qū)域性橢球面的大地高。設(shè)位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0處的高程異常為ζ，則該點(diǎn)處投影面相對(duì)于參考橢球面的垂直距離ΔH0＝Δh＋ζ＝H0-(h0-Δh），其中Δh為投影面的正常高。將參考橢球面沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的法線方向平移ΔH0，且不改變橢球的長(zhǎng)半徑和偏心率，則橢球中心的平移量為

圖1 單點(diǎn)法獨(dú)立坐標(biāo)系建立示意圖

各點(diǎn)大地坐標(biāo)的變化為

2.基于多點(diǎn)定向的區(qū)域性橢球確定

單點(diǎn)法不能對(duì)橢球進(jìn)行重新定向以調(diào)整區(qū)域性橢球面相對(duì)于投影面的傾斜，同時(shí)單點(diǎn)法也無(wú)法顧及測(cè)區(qū)的起伏對(duì)區(qū)域性橢球面確定的影響。為此有必要根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)的多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行橢球的重新定向。在位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0上建立站心地平坐標(biāo)系，它的法線方向?yàn)閦軸，向外為正。x軸指向點(diǎn)P0處大地子午線方向，向北為正。y軸垂直于xP0z，向東為正。如圖2所示。在位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0處法線方向與垂線方向并不一致，其夾角即為垂線偏差，它可以分解成子午分量ξ和卯酉分量η。故在站心地平坐標(biāo)系中以P0為旋轉(zhuǎn)中心，先繞y軸旋轉(zhuǎn)ξ，再繞x軸旋轉(zhuǎn)-η (對(duì)于左手坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)角以順時(shí)針為正），就可以消除平均高程面相對(duì)于橢球面的傾斜。根據(jù)站心赤道坐標(biāo)系和站心地平坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得[8]

式中，εη＝-η；εξ＝ξ；εx、εy、εz為站心赤道坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角。

圖2 站心坐標(biāo)變換示意圖

位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0作為站心坐標(biāo)系的原點(diǎn)，即為旋轉(zhuǎn)變換的中心，有必要使其在旋轉(zhuǎn)變換前后保持不變。為此應(yīng)用只顧及旋轉(zhuǎn)變換的莫洛金斯基轉(zhuǎn)換模型，如下

式中，(xi，yi，zi）為旋轉(zhuǎn)變換前的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo)；(x0，y0，z0）為相應(yīng)的位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0的坐標(biāo)；(Xi，Yi，Zi）為旋轉(zhuǎn)變換后的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo)。由于旋轉(zhuǎn)變換前后各點(diǎn)的坐標(biāo)變化量級(jí)微小，故根據(jù)大地坐標(biāo)微分方程有

式中，下標(biāo)為0的參數(shù)為位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0所對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

設(shè)測(cè)區(qū)的平均高程面為Δh，任意一點(diǎn)處的正常高為hi，大地高為Hi，則可求得該點(diǎn)處橢球面和投影面的垂距為將式(6）寫成誤差方程形式

其中

根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的多點(diǎn)按最小二乘法可得

3.多點(diǎn)確定區(qū)域性橢球的必要性分析

在進(jìn)行控制網(wǎng)布設(shè)時(shí)，應(yīng)將邊長(zhǎng)觀測(cè)值進(jìn)行高程歸化，其公式如下

式中，S為測(cè)距邊所對(duì)應(yīng)的投影面弧長(zhǎng)；D為測(cè)距邊的傾斜距離；Hm為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的平均大地高；H2、H1分別為測(cè)距邊兩端點(diǎn)的大地高。在城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)布設(shè)過(guò)程中，由于投影面通常選取為某一水準(zhǔn)面(測(cè)區(qū)平均水準(zhǔn)面或似大地水準(zhǔn)面），因而，上述大地高可以用正常高來(lái)代替。為此需要進(jìn)行橢球變換，使得各點(diǎn)處的正常高與其所對(duì)應(yīng)的區(qū)域性橢球面的大地高相一致，以消除邊長(zhǎng)觀測(cè)值的高程歸化誤差。將式(11）兩端對(duì)高差求導(dǎo)得

式中，h＝H2-H1。當(dāng)S＝10 000 m，(dS/S）≤10-6，h＝1000 m、500 m、200 m、100 m、10 m時(shí)，高差精度限差見(jiàn)表1。

表1 高程測(cè)量精度m

由表1可知，對(duì)于相同長(zhǎng)度的測(cè)距邊隨其兩端點(diǎn)高差的增大，為了保證長(zhǎng)度歸算的精度，高程精度也相應(yīng)地提高。高差精度由兩部分組成：水準(zhǔn)測(cè)量精度和投影面與區(qū)域橢球面的傾斜誤差。對(duì)于單點(diǎn)法確定的區(qū)域性橢球，在面積為10 000 km2的測(cè)區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域橢球面會(huì)產(chǎn)生3 m左右的傾斜誤差。假設(shè)傾斜誤差以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為中心，沿徑向均勻變化，故其變化率為0.6 m/10 km。因而，當(dāng)測(cè)距邊兩端點(diǎn)高差變化較大時(shí)，投影面與區(qū)域橢球面不一致所造成的誤差影響顯著，有必要確定與投影面更加一致的區(qū)域性橢球面。

三、計(jì)算實(shí)例

某C級(jí)GPS控制網(wǎng)點(diǎn)位分布如圖3所示，由14個(gè)點(diǎn)組成，依次標(biāo)記為P1―P14，在圖中用三角形表示GPS點(diǎn)位。測(cè)區(qū)東西長(zhǎng)度約為200 km，南北長(zhǎng)度約為50 km，實(shí)際控制面積在10000 km2左右。在各GPS控制網(wǎng)點(diǎn)聯(lián)測(cè)水準(zhǔn)獲得各點(diǎn)的正常高。選取大致位于測(cè)區(qū)中心的P1點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，采用似大地水準(zhǔn)面作為投影面。應(yīng)用本文的算法確定區(qū)域性橢球，區(qū)域性橢球上的大地高及其與正常高之間的差異見(jiàn)表2(圖中格網(wǎng)間距為30″）。

圖3 GPS點(diǎn)位分布圖

表2中大地高1和偏差1為采用全部GPS點(diǎn)進(jìn)行區(qū)域性橢球確定得到的各點(diǎn)相對(duì)區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差。利用本文算法進(jìn)行區(qū)域性橢球確定，由于基本消除了旋轉(zhuǎn)中心處的垂線偏差的影響，所得區(qū)域性橢球面與作為投影面的似大地水準(zhǔn)面的密合程度良好，在所有GPS控制點(diǎn)上兩者的差異均小于10 mm，考慮到測(cè)量誤差的存在，實(shí)際上區(qū)域性橢球面和似大地水準(zhǔn)面在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)具有一致性。同時(shí)，由于將區(qū)域性橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)控制在10 mm之內(nèi)，因而可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過(guò)程直接獲得精度優(yōu)于10 mm的正常高(不考慮GPS測(cè)量誤差的影響）。

接下來(lái)選取測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的點(diǎn)P1、P2、P5、P7、P9、P11、P13、P14進(jìn)行區(qū)域性橢球的擬合，用其他點(diǎn)檢核擬合質(zhì)量，得到的各點(diǎn)相對(duì)區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差分別為大地高2和偏差2。僅利用測(cè)區(qū)內(nèi)均勻分布的8個(gè)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)域性橢球擬合相對(duì)于按全部點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合偏差的最大值和均值均未發(fā)生顯著變化，并且處于測(cè)量噪聲的水平，對(duì)區(qū)域性橢球的確定不會(huì)產(chǎn)生影響，說(shuō)明本文算法的外附合精度良好。

同時(shí)，對(duì)測(cè)區(qū)邊緣處點(diǎn)P5、P2、P9的經(jīng)緯度變化進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 調(diào)整后的大地高及其與正常高的差異

表3 測(cè)區(qū)邊緣處點(diǎn)位經(jīng)緯度變化(″）

由表3可知，在整個(gè)測(cè)區(qū)范圍內(nèi)，經(jīng)緯度變化的量級(jí)均小于10-3(″）。這一方面可以保證各微分關(guān)系式的成立；另一方面對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用，可以不顧及由于橢球變換造成的經(jīng)緯度的變化直接進(jìn)行高斯投影變換。

為了與其他算法進(jìn)行比較，利用文獻(xiàn)[1]、[2]、[7]中的算法分別根據(jù)上述計(jì)算實(shí)例確定區(qū)域性橢球，各種算法的擬合偏差繪制于圖4。

圖4 不同算法比較

文獻(xiàn)[1]、[2]、[7]中算法的擬合偏差較大，用左側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注，本文算法的擬合偏差較小，用右側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注。文獻(xiàn)[1]通過(guò)將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)的法線方向平移使得在該點(diǎn)處構(gòu)造的區(qū)域橢球面E2和投影面相切。由圖4可知，這種方法在測(cè)區(qū)邊緣點(diǎn)P5、P9處產(chǎn)生3 m左右的偏差。文獻(xiàn)[2]通過(guò)改變參考橢球長(zhǎng)半徑和偏心率并且保證在位置基準(zhǔn)點(diǎn)處法線方向不變的方法構(gòu)造區(qū)域性橢球E3，使得在該點(diǎn)處區(qū)域性橢球面與投影面相切，其擬合偏差圖像與文獻(xiàn)[1]重合。單點(diǎn)法由于難以消除區(qū)域性橢球面相對(duì)于投影面的傾斜，造成在測(cè)區(qū)邊緣處兩面的較大偏差。文獻(xiàn)[7]是在文獻(xiàn)[3]所構(gòu)造的E3橢球的基礎(chǔ)上，通過(guò)確定各點(diǎn)相對(duì)于E3橢球的大地高，并利用多點(diǎn)計(jì)算與投影面最佳密合的區(qū)域性橢球參數(shù)，相對(duì)于文獻(xiàn)[1―2]算法擬合偏差有所下降。本文算法首先利用文獻(xiàn)[1]算法構(gòu)造了E2橢球，然后在其基礎(chǔ)上以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最終獲得各點(diǎn)的擬合偏差均小于10 mm。由于消除了區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差，擬合偏差相對(duì)于單點(diǎn)法和文獻(xiàn)[7]中算法有了很大的提高。

四、結(jié)束語(yǔ)

利用本文提出的算法，確定的區(qū)域性橢球面與投影面在整個(gè)測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的密合程度相對(duì)于已有算法有了較大改進(jìn)。這有利于將GPS控制網(wǎng)歸算到已有地面基準(zhǔn)，減小由于上述兩面的不一致造成的GPS控制網(wǎng)尺度誤差和坐標(biāo)誤差。同時(shí)，可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過(guò)程直接獲得厘米級(jí)精度的正常高(不考慮GPS定位誤差影響），這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用很有裨益。相對(duì)于單點(diǎn)法區(qū)域性橢球確定而言，多點(diǎn)法顯著地提高了區(qū)域性橢球面與投影面之間的密合程度。同時(shí)，多點(diǎn)法相對(duì)于單點(diǎn)法的計(jì)算模型更加復(fù)雜。因此，建議當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較小時(shí)，考慮到單點(diǎn)法計(jì)算模型相對(duì)簡(jiǎn)單并且已滿足歸算精度的要求，宜采用單點(diǎn)法確定區(qū)域性橢球面；當(dāng)測(cè)區(qū)范圍變大時(shí)，利用一點(diǎn)確定的區(qū)域性橢球與投影面密合程度不佳的缺點(diǎn)就會(huì)顯著影響邊長(zhǎng)的歸算精度，造成長(zhǎng)度綜合變形超限，此時(shí)，應(yīng)該運(yùn)用多點(diǎn)法確定區(qū)域性橢球。

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Determining Regional Ellipsoid Based on Multi-point

LV Zhipeng，WU Jicang

為了限制面積較大測(cè)區(qū)(＞10000 km2）的長(zhǎng)度綜合變形，提出一種區(qū)域性橢球面的構(gòu)造方法。首先，將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點(diǎn)法線方向平移，使區(qū)域性橢球面和投影面在該點(diǎn)處重合；然后，以位置基準(zhǔn)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，消除區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差。實(shí)測(cè)算例表明，各點(diǎn)相對(duì)于區(qū)域性橢球面的大地高和正常高的偏差達(dá)到厘米級(jí)精度，說(shuō)明本文算法具有一定的實(shí)用價(jià)值。

區(qū)域性橢球；投影面；多點(diǎn)法；橢球平移；旋轉(zhuǎn)

P282

B

0494-0911(2014）10-0011-04

2013-08-06

國(guó)家科技部國(guó)際科技合作重點(diǎn)項(xiàng)目(2010DFB20190）；國(guó)家自然科學(xué)基金(41074019）

呂志鵬(1988―），男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士生，主要研究方向?yàn)榈貧ば巫兣c地球動(dòng)力學(xué)。

呂志鵬，伍吉倉(cāng).基于多點(diǎn)的區(qū)域性橢球確定[J].測(cè)繪通報(bào)，2014(10）：11-14.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0317