呂志鵬，伍吉倉，2

(1.同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.現(xiàn)代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室，上海 200092）

基于多點的區(qū)域性橢球確定

呂志鵬1，伍吉倉1，2

(1.同濟大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.現(xiàn)代工程測量國家測繪地理信息局重點實驗室，上海 200092）

一、引 言

為了限制長度綜合變形，我國多數(shù)城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)均采用獨立坐標(biāo)系，一般是構(gòu)造一個與測區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面非常接近的區(qū)域性橢球面作為邊長的歸算面和坐標(biāo)的投影面。這樣可以保證在測區(qū)范圍內(nèi)實測的邊長和坐標(biāo)反算得到的邊長滿足限差要求(城市測量規(guī)范中要求長度綜合變形不大于2.5cm/km）。對于測區(qū)范圍比較大的情況，可以進一步選取過測區(qū)中央的子午線作為高斯投影中央子午線的方法限制邊長變形。在獨立坐標(biāo)系建立過程中，橢球變換是核心環(huán)節(jié)。橢球變換的方法分為單點法[1-6]和多點法[7]。單點法本質(zhì)上是使區(qū)域性橢球面與投影面(測區(qū)平均高程面或似大地水準(zhǔn)面）在基準(zhǔn)點處充分接近。在平均高程h0＝1000 m，測區(qū)面積為10 000 km2的情況下，單點法能保證測區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域性橢球面的差異優(yōu)于2～3 m[3]。然而這一結(jié)論并沒有考慮高程異常誤差，以及投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度起伏的影響。隨著GPS技術(shù)廣泛應(yīng)用于城市控制網(wǎng)的建立與改造，以及各種工程控制網(wǎng)的布設(shè)，投影面相對于參考橢球面的差距可以精確求得。故投影面與參考橢球面之間的傾斜和不同程度的起伏成為建立獨立坐標(biāo)系的主要影響因素。為此，文獻[7]提出利用測區(qū)內(nèi)的多個點確定區(qū)域性橢球的方法，取得了良好的結(jié)果。本文基于多點法提出了一種新的區(qū)域性橢球構(gòu)造方法。

二、基于多點的區(qū)域性橢球確定原理

1.基于位置基準(zhǔn)點的橢球中心平移

獨立坐標(biāo)系建立于一般基于國家參考橢球，在其基礎(chǔ)上進行橢球參數(shù)的改變、橢球的重新定位定向及尺度的變化，以滿足區(qū)域性橢球面與投影面在測區(qū)范圍內(nèi)最佳密合的條件。單點法建立獨立坐標(biāo)系基于一點進行橢球變換，即在位置基準(zhǔn)點處保證區(qū)域性橢球面與投影面充分接近。如圖1所示，點P0為建立獨立坐標(biāo)系的位置基準(zhǔn)點(通常為測區(qū)中點），其所對應(yīng)的大地高為H0，正常高為h0。H0′是點P0相對于區(qū)域性橢球面的大地高。設(shè)位置基準(zhǔn)點P0處的高程異常為ζ，則該點處投影面相對于參考橢球面的垂直距離ΔH0＝Δh＋ζ＝H0-(h0-Δh），其中Δh為投影面的正常高。將參考橢球面沿位置基準(zhǔn)點P0的法線方向平移ΔH0，且不改變橢球的長半徑和偏心率，則橢球中心的平移量為

圖1 單點法獨立坐標(biāo)系建立示意圖

各點大地坐標(biāo)的變化為

2.基于多點定向的區(qū)域性橢球確定

單點法不能對橢球進行重新定向以調(diào)整區(qū)域性橢球面相對于投影面的傾斜，同時單點法也無法顧及測區(qū)的起伏對區(qū)域性橢球面確定的影響。為此有必要根據(jù)測區(qū)內(nèi)的多個點進行橢球的重新定向。在位置基準(zhǔn)點P0上建立站心地平坐標(biāo)系，它的法線方向為z軸，向外為正。x軸指向點P0處大地子午線方向，向北為正。y軸垂直于xP0z，向東為正。如圖2所示。在位置基準(zhǔn)點P0處法線方向與垂線方向并不一致，其夾角即為垂線偏差，它可以分解成子午分量ξ和卯酉分量η。故在站心地平坐標(biāo)系中以P0為旋轉(zhuǎn)中心，先繞y軸旋轉(zhuǎn)ξ，再繞x軸旋轉(zhuǎn)-η (對于左手坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)角以順時針為正），就可以消除平均高程面相對于橢球面的傾斜。根據(jù)站心赤道坐標(biāo)系和站心地平坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得[8]

式中，εη＝-η；εξ＝ξ；εx、εy、εz為站心赤道坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)角。

圖2 站心坐標(biāo)變換示意圖

位置基準(zhǔn)點P0作為站心坐標(biāo)系的原點，即為旋轉(zhuǎn)變換的中心，有必要使其在旋轉(zhuǎn)變換前后保持不變。為此應(yīng)用只顧及旋轉(zhuǎn)變換的莫洛金斯基轉(zhuǎn)換模型，如下

式中，(xi，yi，zi）為旋轉(zhuǎn)變換前的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo)；(x0，y0，z0）為相應(yīng)的位置基準(zhǔn)點P0的坐標(biāo)；(Xi，Yi，Zi）為旋轉(zhuǎn)變換后的橢球?qū)?yīng)的三維空間直角坐標(biāo)。由于旋轉(zhuǎn)變換前后各點的坐標(biāo)變化量級微小，故根據(jù)大地坐標(biāo)微分方程有

式中，下標(biāo)為0的參數(shù)為位置基準(zhǔn)點P0所對應(yīng)的參數(shù)。

設(shè)測區(qū)的平均高程面為Δh，任意一點處的正常高為hi，大地高為Hi，則可求得該點處橢球面和投影面的垂距為將式(6）寫成誤差方程形式

其中

根據(jù)測區(qū)內(nèi)均勻分布的多點按最小二乘法可得

3.多點確定區(qū)域性橢球的必要性分析

在進行控制網(wǎng)布設(shè)時，應(yīng)將邊長觀測值進行高程歸化，其公式如下

式中，S為測距邊所對應(yīng)的投影面弧長；D為測距邊的傾斜距離；Hm為測距邊兩端點的平均大地高；H2、H1分別為測距邊兩端點的大地高。在城市控制網(wǎng)及工程控制網(wǎng)布設(shè)過程中，由于投影面通常選取為某一水準(zhǔn)面(測區(qū)平均水準(zhǔn)面或似大地水準(zhǔn)面），因而，上述大地高可以用正常高來代替。為此需要進行橢球變換，使得各點處的正常高與其所對應(yīng)的區(qū)域性橢球面的大地高相一致，以消除邊長觀測值的高程歸化誤差。將式(11）兩端對高差求導(dǎo)得

式中，h＝H2-H1。當(dāng)S＝10 000 m，(dS/S）≤10-6，h＝1000 m、500 m、200 m、100 m、10 m時，高差精度限差見表1。

表1 高程測量精度m

由表1可知，對于相同長度的測距邊隨其兩端點高差的增大，為了保證長度歸算的精度，高程精度也相應(yīng)地提高。高差精度由兩部分組成：水準(zhǔn)測量精度和投影面與區(qū)域橢球面的傾斜誤差。對于單點法確定的區(qū)域性橢球，在面積為10 000 km2的測區(qū)邊緣處投影面與區(qū)域橢球面會產(chǎn)生3 m左右的傾斜誤差。假設(shè)傾斜誤差以位置基準(zhǔn)點為中心，沿徑向均勻變化，故其變化率為0.6 m/10 km。因而，當(dāng)測距邊兩端點高差變化較大時，投影面與區(qū)域橢球面不一致所造成的誤差影響顯著，有必要確定與投影面更加一致的區(qū)域性橢球面。

三、計算實例

某C級GPS控制網(wǎng)點位分布如圖3所示，由14個點組成，依次標(biāo)記為P1―P14，在圖中用三角形表示GPS點位。測區(qū)東西長度約為200 km，南北長度約為50 km，實際控制面積在10000 km2左右。在各GPS控制網(wǎng)點聯(lián)測水準(zhǔn)獲得各點的正常高。選取大致位于測區(qū)中心的P1點作為旋轉(zhuǎn)中心，采用似大地水準(zhǔn)面作為投影面。應(yīng)用本文的算法確定區(qū)域性橢球，區(qū)域性橢球上的大地高及其與正常高之間的差異見表2(圖中格網(wǎng)間距為30″）。

圖3 GPS點位分布圖

表2中大地高1和偏差1為采用全部GPS點進行區(qū)域性橢球確定得到的各點相對區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差。利用本文算法進行區(qū)域性橢球確定，由于基本消除了旋轉(zhuǎn)中心處的垂線偏差的影響，所得區(qū)域性橢球面與作為投影面的似大地水準(zhǔn)面的密合程度良好，在所有GPS控制點上兩者的差異均小于10 mm，考慮到測量誤差的存在，實際上區(qū)域性橢球面和似大地水準(zhǔn)面在測區(qū)范圍內(nèi)具有一致性。同時，由于將區(qū)域性橢球面與似大地水準(zhǔn)面之間的差距在測區(qū)范圍內(nèi)控制在10 mm之內(nèi)，因而可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過程直接獲得精度優(yōu)于10 mm的正常高(不考慮GPS測量誤差的影響）。

接下來選取測區(qū)內(nèi)均勻分布的點P1、P2、P5、P7、P9、P11、P13、P14進行區(qū)域性橢球的擬合，用其他點檢核擬合質(zhì)量，得到的各點相對區(qū)域性橢球的大地高及其與正常高的偏差分別為大地高2和偏差2。僅利用測區(qū)內(nèi)均勻分布的8個點進行區(qū)域性橢球擬合相對于按全部點進行擬合，擬合偏差的最大值和均值均未發(fā)生顯著變化，并且處于測量噪聲的水平，對區(qū)域性橢球的確定不會產(chǎn)生影響，說明本文算法的外附合精度良好。

同時，對測區(qū)邊緣處點P5、P2、P9的經(jīng)緯度變化進行計算，結(jié)果見表3。

表2 調(diào)整后的大地高及其與正常高的差異

表3 測區(qū)邊緣處點位經(jīng)緯度變化(″）

由表3可知，在整個測區(qū)范圍內(nèi)，經(jīng)緯度變化的量級均小于10-3(″）。這一方面可以保證各微分關(guān)系式的成立；另一方面對于實際的工程應(yīng)用，可以不顧及由于橢球變換造成的經(jīng)緯度的變化直接進行高斯投影變換。

為了與其他算法進行比較，利用文獻[1]、[2]、[7]中的算法分別根據(jù)上述計算實例確定區(qū)域性橢球，各種算法的擬合偏差繪制于圖4。

圖4 不同算法比較

文獻[1]、[2]、[7]中算法的擬合偏差較大，用左側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注，本文算法的擬合偏差較小，用右側(cè)的縱坐標(biāo)軸標(biāo)注。文獻[1]通過將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點的法線方向平移使得在該點處構(gòu)造的區(qū)域橢球面E2和投影面相切。由圖4可知，這種方法在測區(qū)邊緣點P5、P9處產(chǎn)生3 m左右的偏差。文獻[2]通過改變參考橢球長半徑和偏心率并且保證在位置基準(zhǔn)點處法線方向不變的方法構(gòu)造區(qū)域性橢球E3，使得在該點處區(qū)域性橢球面與投影面相切，其擬合偏差圖像與文獻[1]重合。單點法由于難以消除區(qū)域性橢球面相對于投影面的傾斜，造成在測區(qū)邊緣處兩面的較大偏差。文獻[7]是在文獻[3]所構(gòu)造的E3橢球的基礎(chǔ)上，通過確定各點相對于E3橢球的大地高，并利用多點計算與投影面最佳密合的區(qū)域性橢球參數(shù)，相對于文獻[1―2]算法擬合偏差有所下降。本文算法首先利用文獻[1]算法構(gòu)造了E2橢球，然后在其基礎(chǔ)上以位置基準(zhǔn)點為中心進行旋轉(zhuǎn)，最終獲得各點的擬合偏差均小于10 mm。由于消除了區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差，擬合偏差相對于單點法和文獻[7]中算法有了很大的提高。

四、結(jié)束語

利用本文提出的算法，確定的區(qū)域性橢球面與投影面在整個測區(qū)范圍內(nèi)的密合程度相對于已有算法有了較大改進。這有利于將GPS控制網(wǎng)歸算到已有地面基準(zhǔn)，減小由于上述兩面的不一致造成的GPS控制網(wǎng)尺度誤差和坐標(biāo)誤差。同時，可以根據(jù)GPS定位結(jié)果經(jīng)上述橢球變換過程直接獲得厘米級精度的正常高(不考慮GPS定位誤差影響），這對于實際工程應(yīng)用很有裨益。相對于單點法區(qū)域性橢球確定而言，多點法顯著地提高了區(qū)域性橢球面與投影面之間的密合程度。同時，多點法相對于單點法的計算模型更加復(fù)雜。因此，建議當(dāng)測區(qū)范圍較小時，考慮到單點法計算模型相對簡單并且已滿足歸算精度的要求，宜采用單點法確定區(qū)域性橢球面；當(dāng)測區(qū)范圍變大時，利用一點確定的區(qū)域性橢球與投影面密合程度不佳的缺點就會顯著影響邊長的歸算精度，造成長度綜合變形超限，此時，應(yīng)該運用多點法確定區(qū)域性橢球。

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Determining Regional Ellipsoid Based on Multi-point

LV Zhipeng，WU Jicang

為了限制面積較大測區(qū)(＞10000 km2）的長度綜合變形，提出一種區(qū)域性橢球面的構(gòu)造方法。首先，將參考橢球沿位置基準(zhǔn)點法線方向平移，使區(qū)域性橢球面和投影面在該點處重合；然后，以位置基準(zhǔn)點為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，消除區(qū)域性橢球面和投影面的傾斜誤差。實測算例表明，各點相對于區(qū)域性橢球面的大地高和正常高的偏差達到厘米級精度，說明本文算法具有一定的實用價值。

區(qū)域性橢球；投影面；多點法；橢球平移；旋轉(zhuǎn)

P282

B

0494-0911(2014）10-0011-04

2013-08-06

國家科技部國際科技合作重點項目(2010DFB20190）；國家自然科學(xué)基金(41074019）

呂志鵬(1988―），男，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士生，主要研究方向為地殼形變與地球動力學(xué)。

呂志鵬，伍吉倉.基于多點的區(qū)域性橢球確定[J].測繪通報，2014(10）：11-14.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014.0317