董立華，劉艷芹

德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023

分?jǐn)?shù)階非線性方程近似解析解的新解法

董立華，劉艷芹

德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023

1 引言

分?jǐn)?shù)階非線性方程已廣泛地應(yīng)用到黏彈性流體、擴(kuò)散過(guò)程、生物力學(xué)、固態(tài)物理等很多領(lǐng)域[1-4]。伴隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，涌現(xiàn)出了很多求解分?jǐn)?shù)階非線性方程的解析和數(shù)值方法[5-7]。而分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解難以推導(dǎo)，而現(xiàn)有的解析近似方法又有其自身的缺點(diǎn)[8-9]，需要計(jì)算復(fù)雜的Adomian多項(xiàng)式和Lagrange乘子等，近年來(lái)很多學(xué)者對(duì)這些方法做了改進(jìn)[10-11]。Wu[12-13]將Laplace變換和變分迭代法相結(jié)合，克服了分?jǐn)?shù)階Lagrange乘子難以計(jì)算的困難。在前人研究的基礎(chǔ)上本文提出一種新的修正方法，將變分迭代法、同倫擾動(dòng)法和Laplace變換相結(jié)合，并將該方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階非線性發(fā)展方程的求解，其中利用Laplace變換推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階的Lagrange乘子，而He的多項(xiàng)式則用來(lái)處理方程中出現(xiàn)的非線性項(xiàng)，該方法簡(jiǎn)單有效。

2 方法簡(jiǎn)介

考慮如下的時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程：

首先根據(jù)修正的變分迭代法[12-13]，方程（1）和（2）兩邊作Laplace變換并得到方程的迭代格式為：考慮L[R[un(x，t)]+N[un(x，t)]]為變分項(xiàng)，可得到Lagrange乘子為 λ(s)=-1/sα，方程（3）兩邊再作逆Laplace變換 L-1得到：

u0(x，t)為方程（1）的初始迭代值，包含了初始值和源匯項(xiàng)的信息：

齊次方程非線性項(xiàng)的處理。根據(jù)同倫擾動(dòng)法假設(shè)方程的解可以表示為p的冪級(jí)數(shù)：

3 時(shí)間分?jǐn)?shù)階耦合的MKdV方程及其近似解

考察如下的求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階耦合的MKdV方程[15]。

γ是任意常數(shù)，當(dāng)α=1時(shí)精確解為：

這里 t＞0，0＜α≤1，初始條件為：方程（5）～（6）兩邊作Laplace變換得到如下迭代格式：

u0，v0是式（5）和（6）的初始迭代值，取 u0=u(x，0)，v0= v(x，0)，應(yīng)用上述修正的新方法得到：

圖1 方程（5）～（6）的精確解 u(x，t)當(dāng) λ=1，γ=0.1

圖3 方程（5）～（6）的二階近似解 u0+u1當(dāng) α=λ=1，γ=0.1

圖4 方程（5）～（6）的二階近似解 v0+v1當(dāng) α=λ=1，γ=0.1

圖 1和圖 2分別表示方程（5）～（6）精確解 u(x，t)，v(x，t)的圖像。圖3和圖4分別表示方程（5）～（6）二級(jí)近似解的圖像當(dāng)α=1。從圖像可以看出這種新方法具有較高的精確度，而且不需要復(fù)雜的計(jì)算。

4 結(jié)果和討論

這種新的方法結(jié)合了變分迭代法、同倫分析法和Laplace變換三種處理方法的優(yōu)點(diǎn)，便于簡(jiǎn)單計(jì)算Lagrange乘子和方便處理非線性項(xiàng)。實(shí)例證明該方法可以用于其他分?jǐn)?shù)階的非線性方程。

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DONG Lihua,LIU Yanqin

School of Mathematical Sciences,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China

A novel method which is based on variational iteration method,Laplace transform and homotopy perturbation method is proposed,and this new method is applied to obtain the approximate solutions of the fractional coupled MKdV equation.The fractional Lagrange multiplier is accurately determined by the Laplace transform and the nonlinear term can be easily handled by He’s polynomials.The results demonstrate accuracy and fast convergence of this new algorithm.

variational iteration method;Laplace transform;homotopy perturbation method;fractional equation;nonlinear equation

將變分迭代法、同倫擾動(dòng)法和Laplace變換相結(jié)合應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階非線性發(fā)展方程近似解的求解，其中Laplace變換可準(zhǔn)確方便地求得分?jǐn)?shù)階的Lagrange乘子，而He的多項(xiàng)式可簡(jiǎn)單地處理方程中出現(xiàn)的非線性項(xiàng)，將新的處理方法應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階耦合的MKdV方程，結(jié)果表明該方法具有較高的精度和收斂性。

變分迭代法；Laplace變換；同倫擾動(dòng)法；分?jǐn)?shù)階方程；非線性方程

A

O175.29

10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0192

DONG Lihua,LIU Yanqin.New approximate solutions of fractional nonlinear equations.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：1-3.

山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金（No.BS2013HZ026）；山東省自然科學(xué)基金（No.ZR2013AQ005）。

董立華（1965—），女，教授，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論；劉艷芹（1981—），女，博士，副教授。E-mail：yanqinliu@dzu.edu.cn

2014-04-14

2014-05-27

1002-8331（2014）23-0001-03

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-06-26,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0192.html