高學(xué)利 呂廣芝

(煙臺(tái)萬(wàn)華化工設(shè)計(jì)院有限公司，山東 煙臺(tái) 264006)

隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和工業(yè)過(guò)程控制精度的不斷提高，對(duì)工業(yè)過(guò)程數(shù)學(xué)模型的建立提出了更高的要求，傳統(tǒng)的整數(shù)階模型不能達(dá)到精度要求，因?yàn)閷?shí)際的工業(yè)過(guò)程控制中有許多系統(tǒng)都是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展[1]，人們建立分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述實(shí)際分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，這樣可以使模型更加精確。

由于PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)及易于操作等特點(diǎn)，被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程控制中。對(duì)分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)，用傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器來(lái)控制往往達(dá)不到理想的控制效果。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)控制效果變差甚至?xí)环€(wěn)定，所以，針對(duì)分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)，科學(xué)家們提出了分?jǐn)?shù)階控制器。由于分?jǐn)?shù)階PID控制器具有變量多、自由度高的特點(diǎn)，這給研究人員提供了更大的想象空間，并進(jìn)行著不同方向的研究[2，3]。目前，分?jǐn)?shù)階控制理論已在工業(yè)過(guò)程控制中，特別是在冶金、化工、電力、輕工及機(jī)械等行業(yè)得到了廣泛應(yīng)用。筆者將介紹一種基于相角裕度與魯棒性解析法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器。通過(guò)仿真對(duì)比常規(guī)PI控制器，表明設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器具有更好的魯棒性。

1 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器①

傳統(tǒng)的SISO閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

其中被控對(duì)象G(s)的形式為：

(1)

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)

其中，L表示滯后時(shí)間，L>0；k表示被控對(duì)象增益；N(s)和D(s)是整數(shù)階或者分?jǐn)?shù)階多項(xiàng)式；控制器C(s)為分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，其形式為：

(2)

其中，kP是控制器的比例增益，TI是積分時(shí)間，分?jǐn)?shù)階積分階次λ∈(0,2)。顯然，控制器(2)比常規(guī)的PI控制器多一個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)λ，從而提高了控制器的設(shè)計(jì)自由度，為額外的設(shè)計(jì)要求提供了可能。

筆者的目的是提供一種簡(jiǎn)單的解析法，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器使系統(tǒng)得到期望的相角裕度，且當(dāng)被控對(duì)象的增益發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)變化不大，從而使系統(tǒng)有更好的魯棒性。

2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)

首先，考慮開環(huán)控制系統(tǒng)G(s)C(s)在幅值穿越頻率ωc處的相角裕度，滿足下列方程：

=-π+φm

(3)

其中φm為期望的開環(huán)系統(tǒng)相角裕度，A(ωc)=∠G(jωc)。眾所周知，系統(tǒng)的相角裕度直接影響系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量。

由式(3)推出：

(4)

為使系統(tǒng)增益發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)有較好的魯棒性，引入如下方程：

(5)

該設(shè)計(jì)的目的是使系統(tǒng)的伯德圖在幅值穿越頻率處變化平緩，這意味著當(dāng)系統(tǒng)增益發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)超調(diào)量變化不大，從而使控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

由式(5)可推出：

(6)

其中：

綜上所述，分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)需要確定3個(gè)參數(shù)λ、kp和TI，而兩個(gè)方程(4)和(6)不能確定3個(gè)未知數(shù)。因此，附加最后一個(gè)方程：

|C(jωc)G(jωc)|=1

(7)

從式(7)推出：

(8)

其中,C(ωc)=|G(jωc)|。

由式(4)可得：

(9)

將式(9)代入式(6)得到：

(10)

給定截止頻率ωc，非線性方程(10)的唯一未知量λ可用圖解法解得。

由式(9)可推出：

(11)

根據(jù)式(8)可得到：

(12)

3 仿真研究

本章中仿真研究的被控制對(duì)象為整數(shù)階時(shí)滯被控對(duì)象和分?jǐn)?shù)階時(shí)滯被控對(duì)象。

例1 一階時(shí)滯系統(tǒng)

(13)

這類傳遞函數(shù)是由許多工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中的S形響應(yīng)曲線逼近出來(lái)的。假設(shè)k=5，T=10，L=0.4。根據(jù)解析法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器。給定期望的相角裕度φm=π/4，截止頻率ωc=0.9。利用上述方法依次求得λ=1.06，TI=3.71，kP=1.26。

為顯示分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的優(yōu)越性，對(duì)比常規(guī)的PI控制器。

(14)

利用著名的Ziegler-Nichols整定規(guī)則整定PI控制器的參數(shù)。四分之一衰減曲線法得到TI=1.33，kP=4.5。

根據(jù)上述結(jié)果，分別做出PIλ控制系統(tǒng)和常規(guī)PI控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖，如圖2所示。

圖2 開環(huán)伯德圖

從圖2中可以看出，在幅值穿越頻率ωc處，通過(guò)解析法得到的PIλ控制系統(tǒng)的相角裕度曲線變化平緩，而通過(guò)Z-N方法整定得到的常規(guī)PI控制系統(tǒng)相角裕度變化很大。因此可以推得，依照傳統(tǒng)的Z-N整定方法得到的PI控制器的魯棒性比筆者提出的通過(guò)解析法得到分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的差。

當(dāng)開環(huán)控制系統(tǒng)增益在±20%之間變化時(shí)，分別繪出分?jǐn)?shù)階PIλ控制器與常規(guī)PI控制器控制下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(圖3)。

圖3 階躍響應(yīng)曲線

仿真結(jié)果表明，當(dāng)被控對(duì)象的增益變化時(shí)，通過(guò)解析法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器能使系統(tǒng)達(dá)到期望的魯棒性，而常規(guī)PI控制器的控制效果不好。

例2 分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象

(15)

這是一個(gè)普通的膜式電容器的分?jǐn)?shù)階模型，在描述細(xì)胞膜、細(xì)胞、組織和大量的生物組織方面有著非常重要的意義。假設(shè)T=0.4，k=1，α=1.4，接下來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器。給定期望的相角裕度為φm=π/3，幅值穿越頻率ωc=0.5。由上述方法可求出3個(gè)參變量的值分別為λ=0.72，TI=2.89，kP=0.31。

當(dāng)系統(tǒng)的增益在0.8～1.2(標(biāo)量±20%)變化時(shí)，分別繪出各自的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線(圖4)。顯然，用解析法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制器控制這種類型的分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象，能使系統(tǒng)有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

由于分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)所固有的一些特性，其可以更加真實(shí)地反映實(shí)際系統(tǒng)的漸近變化情況，且引入的積分、微分階次能增加模型設(shè)計(jì)的靈活度。雖然分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的離散化數(shù)字實(shí)現(xiàn)仍然相對(duì)困難，實(shí)施結(jié)果相對(duì)復(fù)雜，但隨著計(jì)算技術(shù)的高速發(fā)展，在自動(dòng)控制理論工程實(shí)際應(yīng)用中分?jǐn)?shù)階微積分理論必將有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

圖4 階躍響應(yīng)曲線