胡 玉 彪，向 俊 尤，劉 少 波，喬 文 華*，董 江 濤

(1.包頭師范學院，物理科學與技術學院，內(nèi)蒙古 包頭 014030；2.包頭師范學院，化學學院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

1 引言

近代以來，隨著自然環(huán)境的不斷惡化，生物種群的生存發(fā)展面臨重大威脅，因此對生物種群穩(wěn)定性的研究漸成熱點。在雙種群捕食模型中，Lotka-Volterra捕食模型[1]、Holling針對不同類型的捕食者提出三種不同功能反應函數(shù)[2]和Allee效應[3]均是捕食種群模型研究領域中的重大成就。

1931年，Allee提出Allee效應，它主要表述種群密度分布的稀疏對其穩(wěn)定發(fā)展的影響，因此Allee效應又稱稀疏效應，也有學者稱其為負競爭效應[4]。Taylor C M，Hastings A，袁月定[5-6]等人對于具有Allee效應的捕食模型均有研究，但并未考慮自然界中偶然發(fā)生的災禍、氣候的突變等等，物理學中將這些偶然發(fā)生的事件稱為隨機噪聲。已經(jīng)提出的模型中大部分是確定性的，也就是沒有考慮隨機因素對種群發(fā)展的影響，因為種群數(shù)目龐大，系統(tǒng)近似表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計學性質(zhì)。但對于具有Allee效應的系統(tǒng)來說，種群數(shù)目越少則更容易受到稀疏效應的影響[7]，因此隨機噪聲的考慮是非常有必要的。

2 模型的建立

王萬雄等[8]給出食餌具有Allee效應時的食餌-捕食者模型如下：

(1)

其中x(t)、y(t)分別表示在t時刻食餌和捕食者種群的密度，a代表捕食系數(shù)，c是內(nèi)稟增長率，d是捕食者的正常死亡率，e表示轉(zhuǎn)化系數(shù)，K表示環(huán)境容納量，m和b是Allee效應常量，其大小反應了Allee效應的強弱。

根據(jù)文獻[8]作變換后系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為：

(2)

實際上考慮隨機因素更能合理、精確反映種群動力學規(guī)律。但隨機因素往往不可預測，物理上較合理的解釋，把其都歸結為外部環(huán)境的漲落所帶來的影響，物理學通常把這樣的影響用噪聲描述，考慮噪聲后的數(shù)學方程則構成了隨機微分方程，上述模型改為：

(3)

其中ξx(t)、ξy(t)均是乘性高斯白噪聲，具有零平均值〈ξx(t)=0〉、〈ξy(t)=0〉以及時間相關函數(shù)〈ξi(t)ξj(t′)〉=2Dδ(t-t′)δij，(i,j=x,y)，其它參數(shù)均與模型(2)一致。

3 模擬過程

對于模型(3)解析是困難的，因此采用蒙特卡羅歐拉算法對其進行模擬[9]，也就是用一個隨機強度的外部白噪聲驅(qū)動系統(tǒng)，基本方程為

那么模型(3)中

即為原始食餌-捕食者模型中f(x)，axy-dy則代表原始食餌-捕食者模型中f(y)[10]；x(t)和y(t)就是g(x)和g(y)，ω1、ω2分別代表產(chǎn)生的兩個高斯型隨機數(shù)[9]。隨機泰勒展開得出如下方程：

分別將f(x)，f(y)，g(x)，g(y)及其導數(shù)帶入上式中然后模擬。

4 模擬結果及討論

模擬隨機噪聲強度為D=0.00001，步時長度Δt=0.0002，初始條件x0=5，y0=4，常數(shù)K=10，a=0.8，b=8，c=1，d=0.6，e=0.8。其模擬結果如下圖：

圖(1)(2)分別為m=0時食餌x捕食者y隨時間數(shù)目變化圖 圖(3)(4)分別為m=3時食餌x捕食者y隨時間數(shù)目變化圖

由上述四幅圖可以看出食餌與捕食者的數(shù)目隨時間均呈增長趨勢，其中食餌的增長比較緩慢，但捕食者數(shù)目在一定時間后發(fā)生爆炸。(1)(2)兩圖中m=0即不受Allee效應影響，原本食餌-捕食者系統(tǒng)容易達到平衡態(tài)，加入噪聲后系統(tǒng)變得不在穩(wěn)定。(3)(4)圖中m=3表示食餌-捕食者種群系統(tǒng)中存在Allee效應，無噪聲時達到平衡態(tài)需要的時間比不存在Allee效應長，加入噪聲之后系統(tǒng)也變得不穩(wěn)定。通過上述可以看出無論食餌-捕食者系統(tǒng)是否存在Allee效應，噪聲對系統(tǒng)的影響都很大，這是因為一般研究Allee效應時的種群數(shù)目基數(shù)較小且分布不均(這也側(cè)面體現(xiàn)出Allee效應對瀕危物種影響很大)，這種情況下，噪聲對食餌-捕食者系統(tǒng)的影響不可忽略。

無論存不存在Allee效應，受噪聲影響下食餌與捕食者的數(shù)目隨時間均呈增長趨勢，原本趨于平衡的系統(tǒng)都不再穩(wěn)定，噪聲給捕食系統(tǒng)帶來災難。然而，從縱坐標單種群的數(shù)目來看，特別是對于瀕危物種來說，種群數(shù)目增加可在一定程度上避免物種的消亡，這對生態(tài)自然環(huán)境物種多樣性起到積極作用。另外，從圖(1)、(3)對比和圖(2)、(4)對比來看，噪聲減緩了存在Allee效應的食餌-捕食者系統(tǒng)的種群數(shù)目爆炸，因此我們可以期待存在Allee效應的食餌-捕食者系統(tǒng)中，一定強度的噪聲可使瀕危物種的數(shù)目增加，但并非爆炸性的增漲，這是亟待解決的問題。

綜上，可以看出在研究存在Allee效應的食餌-捕食者模型時，隨機因素對系統(tǒng)的影響不可忽略。噪聲不僅可以給種群帶來災難，也能帶來益處，這也符合Mao Xuerong[11]的控制理論。模擬噪聲可為種群防控災難提供理論依據(jù)，特別是受Allee效應影響較大的瀕危物種，因此這項課題研究不但具有理論意義，也具有現(xiàn)實意義。

〔參考文獻〕

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[9]包景東.經(jīng)典和量子耗散系統(tǒng)的隨機模擬方法[M].北京：科學出版社，2009.

[10]林振山.種群動力學[M].北京：科學出版社,2006.

[11]Mao Xuerong. Stochastic Stabilisation and Destabilisation[J].Systems Control Letters,1994,23(4):279-290.