劉存霞,呂 文

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院, 山東 煙臺 264005)

在全局Lipschitz條件下, Pardoux 和 Peng[1]證明了非線性的倒向隨機微分方程(簡記為:BSDE)解的存在唯一性. 自創(chuàng)立至今, 倒向隨機微分方程在理論和應用方面均取得了巨大成果[2-4]. 在文獻[5]及[6]中,作者通過建立與 Lévy 過程相關的鞅表示定理研究了一類 Lévy過程驅動的 BSDE, 在全局 Lipschitz條件下證明了適應解的存在唯一性定理. 在此基礎上, Bahlali等[7]討論了由布朗運動和 Lévy 過程共同驅動的 BSDE,在全局 Lipschitz 條件下建立了解的存在唯一性定理. Lin[8]研究了一類特殊形式的倒向隨機 Volterra 積分方程(簡記為: BSVIE):

(1)

這一工作源自于Hu和Peng[9]對 Hilbert空間中的半線性倒向隨機發(fā)展方程的研究. 接著, Yong[10]討論了以下形式的BSVIE:

(2)

作者給出了解的存在唯一性以及在動態(tài)風險測量和最優(yōu)控制中的應用. 文獻[11]證明了一類由 Lévy過程驅動的倒向重隨機微分方程適應解的存在唯一性并給出了在隨機偏微分方程中的一個應用.基于以上工作, 文獻[12]對一類由Lévy過程驅動的倒向重隨機Volterra積分方程(簡記為:BDSVIEL), 給出了解的存在唯一性定理.

另外, 在文獻[10],[13]及[14]的研究基礎上, Wang 和 Shi[15]針對方程(2)提出了倒向隨機Volterra 積分方程對稱解 (簡記為S-解). 區(qū)別于傳統(tǒng)的 M-解, 倒向隨機 Volterra積分方程對稱解的一個主要特征是要求擴散項系數(shù)Z(·,·)關于時間變量是對稱的, 即Z(t,s)=Z(s,t).

本文將在文獻[12]的基礎上,討論一類更一般的由Lévy過程驅動的倒向重隨機Volterra積分方程,在系數(shù)滿足全局Lipschitz條件的假設下,利用不動點定理證明對稱解的存在唯一性定理. 為此,首先給出一些基本的記號以及假設等基礎知識,本文第二部分將給出對稱解的存在唯一性定理.

1 預備知識

給定實數(shù)T>0, 設(Ω,F,P)為一概率空間, 假設 {Bt:t∈[0,T]} 和 {Wt:t∈[0,T]}是其上定義的兩個相互獨立的實值標準布朗運動;Lt=bt+lt為一實值Lévy過程且滿足以下條件:

(ii)對每個ε>0及任意的λ>0,

對?(t,s)∈[0,T]2, 令

對任意的R,S∈[0,T] 且R

Δc={(t,s)∈[R,S]2;t≤s},

Δ={(t,s)∈[R,S]2;t>s}.

首先給出以下空間:

對任意的 0≤R

‖(y(·),z(·,·),u(·,·))‖H2[R,S]:=

‖(y(·),z(·,·),u(·,·))‖*H2[R,S]:=

對給定的 Lévy 過程 {Lt:t∈[0,T]}, 定義一族與Lt相關的隨機過程(H(i))i≥1如下:

本文將討論以下形式的 BDSVIEL:

Z(s,t),U(t,s),U(s,t))ds+

(3)

其中:系數(shù)f,g:Δc××d×d×l2×l2→均為B(Δc×m×m×d×m×d)?FT-可測且滿足:

(A1) 對任意的 (t,y,z,z',ζ,ζ')∈[0,T]××d×d×l2×l2,映射s→f(t,s,y,z,z',ζ,ζ') 以及s→g(t,s,y,z,z',ζ,ζ') 均為F-循序可測且

(4)

其中:f0(t,s)≡f(t,s,0,0,0,0,0),g0(t,s)≡g(t,s,0,0,0,0,0).

(A2) 對?(t,s)∈ [0,T]2,(yi,zi,ηi,ui,γi)∈×d×d×l2×l2,i=1,2, 存在常數(shù)K>0,α,β>0 且α+β<1使得

|f(t,s,y1,z1,η1,u1,γ1)-f(t,s,y2,z2,η2,u2,γ2)|2≤

K(|y1-y2|2+|z1-z2|2+|η1-η2|2+

|u1-u2|2+|γ1-γ2|2),

|g(t,s,y1,z1,η1,u1,γ1)-g(t,s,y2,z2,η2,u2,γ2)|2

≤K|y1-y2|2+α(|z1-z2|2+|u1-u2|2)+

β(|η1-η2|2+|γ1-γ2|2).

2 主要結果

本節(jié)將給出BDSVIEL(3)S-解的存在唯一性. 為此, 先考慮 BDSVIEL(3)的一個特殊形式.

對任意的t∈[R,T],r∈[S,T],記

(5)

其中:系數(shù)f,g: [R,T]×[S,T]×d×l2→滿足簡化形式的假設 (A1),(A2). 顯然, 方程 BDSVIEL(5) 是一族以t為參數(shù)的 Lévy過程驅動的倒向重隨機微分方程, 由文獻[11]中的定理 4,有以下引理:

接下來,考慮 BDSVIEL(5) 的兩個特殊情形.

情形 1 取R=S, 定義

(6)

則 BDSVIEL(5)可記為

(7)

有以下引理:

證明由文獻[12]中定理 1知, BDSVIEL(7) 存在唯一的適應解 (Y(·),Z(·,·),U(·,·))∈H2[S,T]. 對任意的 (t,s)∈Δ, 定義Z(t,s)=Z(s,t) 以及U(t,s)=U(s,t), 即得 BDSVIEL(7)存在唯一的S-解. 引理得證.

情形2 在BDSVIEL(5)中,令r=S∈[R,T],對任意的t∈[R,S],s∈[S,T],定義

(8)

從而有

(9)

由引理2,有以下引理:

下面討論一般形式的 BDSVIE(3).

證明首先證明對給定的S∈[0,T],BDSVIEL(3)在[S,T]上存在唯一的S-解.

對任給的S∈[0,T], 記

M2[S,T]:={(y(·),z(·,·),u(·,·)) | (y(·),

z(·,·),u(·,·))∈*H2[S,T]

且z(t,s)=z(s,t),u(t,s)=u(s,t),

?(t,s)∈[S,T]2,a.s.}

易證M2[S,T]是*H2[S,T]的一個非空閉子集.

z(s,t),U(t,s),u(s,t))ds+

(10)

由引理2知,上述BDSVIEL存在唯一的S-解(Y(·),Z(·,·),U(·,·))∈M2[S,T].

定義映射Φ:M2[S,T]→M2[S,T]

Φ(y(·),z(·,·),u(·,·))=

(Y(·),Z(·,·),U(·,·))

(11)

下證對合適的S, 當T-S>0 充分小時, 映射Φ是壓縮的.

由基本不等式,有

y(s),Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

f(t,s,y(s),Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

Z(t,s),z(s,t),U(t,s),u(s,t))-

由系數(shù)的Lipschitz 假設, 經簡單計算得

對上述不等式在區(qū)間 [S,T] 上積分可知, 當T-S>0充分小時,我們可以選擇足夠小的θ>0使得映射Φ是壓縮的. 從而BDSVIEL(3)在[S,T]上存在唯一的S-解.

進一步地,對t∈[R,S], 考慮以下方程:

z(s,t),U(t,s),u(s,t))ds+

(12)

參考文獻:

[1]Pardoux E, Peng Shige. Adapted solution of a backward stochastic differential equation[J]. Systems Control Lett, 1990,14: 55-61.

[2]El Karoui N, Peng Shige, Quenez M. Backward stochastic differential equations in finance[J]. Math Finance,1997, 7: 1-71.

[3]Peng Shige.Backward stochastic differential equations and its application in optimal control[J]. Appl Math Optim,1993, 27: 125-144.

[4]Hamadene S, Lepeltier J. Zero-sum stochastic differential games and backward stochastic differential equations[J]. Systems Control Lett, 1995, 24: 259-263.

[5]Nualart D, Schoutens W. Chaotic and predictable representations for Lévy processes[J]. Stochastic Process Appl, 2000, 90: 109-122.

[6]Nualart D, Schoutens W. Backward stochastic differential equations and Feynman-Kac formula for Lévy processes, with applications in finance[J]. Bernoulli, 2001, 7: 761-776.

[7]Bahlali K, Eddahbi M, Essaky E. BSDE associated with Lévy processes and application to PDIE[J]. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2003, 16: 1-17.

[8]Lin Jianzhong. Adapted solution of backward stochastic nonlinear Volterra integral equations[J]. Stochastic Ana Appl, 2002, 20: 65-183.

[9]Hu Ying, Peng Shige. Adapted solution of backward semilinear stochastic evolutin equation[J]. Stochastic Analysis and Applications, 1991, 9: 445-459.

[10]Yong Jiongmin. Backward stochastic Volterra integral equations and some related problems[J]. Stochastic Proc Appl,2006, 116: 779-795.

[11]Ren Yong, Lin Aihui, Hu Lanying. Stochastic PDIE and backward stochastic differential equations driven by Lévy processes[J]. J Comp Appl Math, 2009, 223: 901-907.

[12]劉存霞, 呂文. Lévy過程驅動的倒向重隨機Volterra積分方程[J].煙臺大學學報:自然科學與工程版, 2012, 25(3): 157-161.

[13]Yong Jiongmin. Continuous-time dynamic risk measures by backward stochastic Volterra integral equations[J]. Appl Anal, 2007, 86: 1429-1442.

[14]Yong Jiongmin. Well-posedness and regularity of backward stochastic Volterra integral equation[J]. Probab Theory Relat Fields, 2008, 142: 21-77.

[15]Wang Tianxiao, Shi Yufeng. Symmetrical solutions of backward stochastic Volterra integral equations and their applications[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, 2010, 14: 251-274.