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        Feigenbaum吸引子的動力性質(zhì)

        2014-08-02 03:54:17朱曉剛李俊杰廖夢蘭
        關(guān)鍵詞:定義

        汪 威,朱曉剛,李俊杰,李 健,廖夢蘭

        (1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,吉林 長春 130118;2.長春工程技術(shù)學(xué)院,吉林 長春130117;3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所,吉林 長春 130012)

        Feigenbaum吸引子的動力性質(zhì)

        汪 威1,朱曉剛2,李俊杰1,李 健1,廖夢蘭3

        (1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院,吉林 長春 130118;2.長春工程技術(shù)學(xué)院,吉林 長春130117;3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所,吉林 長春 130012)

        闡述了一類非單谷的Feigenbaum映射的一些主要性質(zhì),通過與進(jìn)位系統(tǒng)建立拓?fù)涔曹楆P(guān)系,證明了該映射限制在其吸引子上具有簡單的動力性質(zhì),即極小的、唯一遍歷的、拓?fù)潇貫榱?

        Feigenbaum映射;拓?fù)涔曹棧贿M(jìn)位系統(tǒng)

        1 預(yù)備知識

        Feiganbaum現(xiàn)象的研究涉及很多農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的實際問題,如物種之間的時滯影響,玉米病蟲害的分析,神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的研究等等.動力系統(tǒng)中關(guān)于Feigenbaum現(xiàn)象的研究主要是針對其解進(jìn)行的探討.近些年來,國內(nèi)外很多學(xué)者都以不同方式對該方程的解的存在性及性態(tài)進(jìn)行了研究[1-4].

        1984年,J.P.Eckmann等人在文獻(xiàn)[5]中引入了p-階Feigenbaum函數(shù)方程

        (1)

        其中f(x)是閉區(qū)間[0,1]上的連續(xù)自映射,fp(x)是f(x)的p次迭代.

        本文所涉及的Feigenbaum函數(shù)方程如下:

        (2)

        文獻(xiàn)[6]給出了該方程的解與方程(1)的解之間有著非常直接的聯(lián)系,并構(gòu)造了該方程的可微偶單峰解.

        定義1.1[6]設(shè)g為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)自映射.如果存在α∈(a,b),使得g在區(qū)間[a,α]上嚴(yán)格單調(diào)遞減,在區(qū)間[α,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增,則稱g(x)是單谷的.

        以下敘述中,我們用符號I表示區(qū)間[0,1].

        定義1.2[6]設(shè)g為閉區(qū)間I上的連續(xù)自映射.如果g是方程(1.2)的解,并且滿足g(0)=1,以及限制映射g|[λ,1]是單谷的,則稱g為p-階Feigenbaum映射.

        如果g本身不是單谷的,則稱Feigenbaum映射g是非單谷的.

        引理1.1[7]令g0為區(qū)間[λ,1]上的連續(xù)自映射,其中λ∈(0,1),令p≥2為整數(shù).如果:

        (1) 存在α∈(λ,1),使得g0(α)=0,并且g0|[λ,α]嚴(yán)格遞減,g0|[α,1]嚴(yán)格遞增.

        (3) 存在α0∈[α,1)使得:

        (b) 記J1=[α0,1]以及Ji=gi-1(J1)對任意i∈[1,p-1],J1,J2,…,Jp-1?(λ,1]是兩兩不交的;

        則存在唯一的p-階非單谷的Feigenbaum映射,使得限制映射g|[λ,1]=g0.

        反之,如果g0是p-階非單谷的Feigenbaum映射在區(qū)間[λ,1]上的限制,則g0必滿足條件(1)—(4).

        2 進(jìn)位映射

        設(shè)S={0,1,2,…,p-1}是由p個不同符號組成的狀態(tài)空間,并且具有離散拓?fù)涫蛊涑蔀橐粋€緊致拓?fù)淇臻g.

        Σp={x=x0x1x2…|xi∈S,i=0,1,2,…,p-1}.

        定義2.1 設(shè)ρ:Σp×Σp→R,為對任意(x,y)∈Σp×Σp,如果x=x0x1…,y=y0y1…,那么

        則ρ是Σp上的度量.

        于是(Σp,ρ)構(gòu)成了緊致度量空間[7],我們把它稱作p-單邊符號空間.

        在(Σp,ρ)上引進(jìn)加法運算

        取Σp中任意兩點x=x0x1…,y=y0y1…,將x+y=(z0,z1,z2,…)定義為:

        如果x0+y0

        如果x0+y0≥p,則z0=x0+y0-p,在下一位上加1.

        3 Feigenbaum吸引子的存在性

        有關(guān)吸引子的定義有很多,本文使用的是J.Milnor在文獻(xiàn)[8]中針對緊致流形的連續(xù)映射所給出的定義.

        設(shè)M為緊致流形(可能帶邊),f:M→M連續(xù).

        定義3.1[8]如果A的不變閉子集Λ(f)吸引A中幾乎所有的點(Lebesgue測度下),則稱Λ(f)是f的一個吸引子.也就是說,A中去掉一個Lebesgue測度為零的子集外,余下的任意x∈M,都有ω(x,f)?Λ(f).

        令f為p-階非空谷的Feigenbaum映射,并且存在α∈(λ,1),使得f(α)=0.

        令g=f|[α,1],如果f在區(qū)間[λ,α]和[α,1]上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),并且滿足在區(qū)間[λ,α]上f′(x)<-(p-1),在區(qū)間[α,1]上f′(x)≥1(這里f′(x)表示f對x的導(dǎo)數(shù),如果x是閉區(qū)間的某個端點,則f′(x)表示f(x)在該點的左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)).

        Jp=[0,λ],Ji=fi(Jp).

        因為f為p-階非空谷的Feigenbaum映射,所以由引理1.1可推出Ji?[α,1]對任意1≤i≤p-1都成立.

        定義

        φi:I→I,

        φp(x)=λx,

        φi(x)=g-(p-i)(φp(x)),i=1,…,p-1,

        那么對任意i=1,2,…,p-1,上述定義φi均為壓縮映射.

        設(shè)

        由引理1.1可知,對所有i,φi(I)=Ji,并且J1,J2,…,JP是兩兩不交的.因此,φ滿足開集條件[9].由文獻(xiàn)[9]中引理2.1和引理2.2可知,存在非空緊子集E,使得

        φ(E)=E,

        并且

        s≤dimE≤t,

        其中

        以下我們將φi1°φi2°…°φik簡記為φi1i2…ik.

        引理3.1[9]對任意的x∈I,都有下列等式成立:

        f°φp(x)=φ1°f(x),

        f°φi(x)=φi+1(x),i=1,…,p-1.

        引理3.2[9]記φi1,…,ik(I)和φj1,…,jk(I)為I的任意子集,則存在n>0,使得

        fn°φi1,…,ik=φj1,…,jk(I).

        引理3.3[9]E是f的吸引子.

        4 Feigenbaum吸引子的性質(zhì)

        定理4.1 f|E拓?fù)涔曹椨趐-進(jìn)位系統(tǒng)τ.

        證明 根據(jù)φ的定義

        φi(I)兩兩相交,對任意k>0,用φi1i2…ik作用等式兩端,可得

        是一無交并.于是,集合{φi1…ik(I)}中的任意兩個元素不相交,或其中一個包含另外一個.因此,由引理3.1及

        可知,對于任意

        若令

        另一方面,如果令δk>0表示pk個區(qū)間φb1…bk(I)中任意的兩個集合間的最小距離,那么,當(dāng)x∈φα(I),y∈φβ(I)以及|x-y|<δ時,便有ρ(α,β)

        由于拓?fù)涔曹椀南到y(tǒng)具有相同的動力性質(zhì),并且已知進(jìn)位映射是極小的、唯一遍歷的,并且拓?fù)潇貫榱悖钥梢灾苯拥贸鰂在其吸引子E上的動力性質(zhì).

        推論4.1f|E是極小的、唯一遍歷的,并且拓?fù)潇貫榱?

        [1] YNAG LU,ZHANG JINGZHONG. The second type of feigenbaum’s functional equations[J].Science in China:A,1985,12: 1061-1069.

        [2] WANG LIJUAN. Likely limit sets of 3-order Nonsingle-valley Feigenbaum’s maps[J]. Acta Mathematica Sinica,2007,50(3):577-582.

        [3] 劉國清,關(guān)志強,遲艷輝.Feigenbaum映射的周期點[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2010,26(2):22-24.

        [4] 張敏,司建國. 一類推廣后的Feigenbaum函數(shù)方程的光滑解[J]. 中國科學(xué):數(shù)學(xué),2011,41(11): 981-990.

        [5] ECKMANN J P,EPSTEIN H,WITTWER P.Fixed points of Feigenbaum’s type for the equationfp(λx)=λf(x)[J].Comm Math Phys,1984,93:495-516.

        [6] LIAO GONGFU. On the Feigenbaum’s functional equationfp(λx)=λf(x)[J].Chin Ann Math,1994,15B(1):81-88.

        [7] ZHANG AIHUA,WANG LIJUAN,SONG W.Nonsingle-Valley Continuous solutions ofp-order Feigenbaum’s functional equation[J].Northeast Math J,2003,19(4):375-380.

        [8] MILNOR J. On the concept of attrator[J].Comm Math Phys,1985,99:177-195.

        [9] WANG WEI,LIAO LI. Likely limit sets of a class ofp-order Feigenbaum’s maps[J].Communications in Mathematical Research,2012,28(2):137-145.

        (責(zé)任編輯:陶 理)

        Dynamical properties for Feigenbaum’s attractors

        WANG Wei1,ZHU Xiao-gang2,LI Jun-jie1,LI Jian1,LIAO Meng-lan3

        (1.Information Technology College,Jilin Agricultural University,Changchun 130118,China;2.The Institute of Changchun Engineering Technology,Changchun 130117,China;3.Institute of Mathematics,Jilin University,Changchun 130012,China)

        In this paper,we introduce some important properties of a kind of non-univallecular Feigenbaum’s map. By proving that Feigenbaum’map is topologically conjugate to adic map,we have concluded that Feigenbaum’map is minimal,strictly ergodic and has 0 topological entropy.

        Feigenbaum’map;topological conjugate;adic system

        1000-1832(2014)04-0048-04

        10.11672/dbsdzk2014-04-008

        2014-07-02

        吉林省科技發(fā)展計劃項目(20140204045NY,20130522110JH);吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)科研啟動基金資助項目(201310);吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項目(2014第468號);2014年度吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)本科生科技創(chuàng)新基金資助項目.

        汪威(1981—),女,博士,講師,主要從事拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)研究.

        O 189 [學(xué)科代碼] 110·31

        A

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