張 靜，段麗芬，左明霞

(1.通化師范學院數(shù)學學院，吉林 通化 134002；2.哈爾濱理工大學應用科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點

張 靜1，段麗芬1，左明霞2

(1.通化師范學院數(shù)學學院，吉林 通化 134002；2.哈爾濱理工大學應用科學學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

給出了由N-函數(shù)生成賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中k-端點和k-強端點的判據(jù)，得到了該空間關于廣義Orlicz范數(shù)k嚴格凸和中點局部k一致凸的條件.

廣義Orlicz范數(shù);Orlicz序列空間;k-端點;k-強端點

k-端點和k-強端點是Banach空間幾何學的重要概念，它們在微分方程、逼近論、控制論等數(shù)學分支中都有應用[1-4].Orlicz空間作為一類具體的Banach空間，因為它所包含內(nèi)容的豐富性和應用的廣泛性，受到廣大數(shù)學工作者的青睞[5-8].賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)Orlicz空間的k-端點和k-強端點的判據(jù)早已獲得[9-11]，賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的k-端點和k-強端點的條件也已找到[12].本文對賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點進行了討論，得到了由N-函數(shù)生成賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中k-端點和k-強端點的判別方法，同時給出了Orlicz序列空間關于廣義Orlicz范數(shù)k嚴格凸和中點局部k一致凸的條件.

1 預備知識

設X是Banach空間，X′表示其對偶空間，S(X)表示X的單位球面.

其中

若單位球面S(X)上每一點都是k-強端點，則稱X是中點局部k一致凸的.

設p+(u)是M(u)的右導數(shù)，N(v)是M(u)的余函數(shù)，

N(v)=sup{u|v|-M(u):u≥0}.

在線性集

及其閉子空間

上賦Orlicz范數(shù)

Luxemburg范數(shù)

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1}，

及廣義Orlicz范數(shù)

在Orlicz空間lM，p中，M∈Δ2指存在常數(shù)C>0和x0>0，當|x|≤x0時，滿足M(2x)≤CM(x).

引理1 設M是N-函數(shù)，則對任何1

證明 按文獻[13]定理4的證明過程，可得(hN，q)′=lM，p，所以對任何x=(x(i))∈lM，p，有

引理2 設M是N-函數(shù)，則對任何1

證明 首先，利用引理1

2 主要結果

于是

且

即

由M的凸性可得，對任何i∈N，

(1)

已知μ{i∈N:h0x0(i)∈RSM}≤k，不妨設{i∈N:h0x0(i)∈RSM}={1，2，…，k}.由(1)式知，當i≥k+1時有

h1x1(i)=h2x2(i)=…=hk+1xk+1(i).

(2)

另外，利用Minkowsky不等式等號成立的條件，有

從而

(3)

注意到齊次線性方程組

(4)

有非零解(α1，…，αk+1).不妨設αk<0，αk+1>0，則

且當1≤i≤k-1時，

結合(3)式，可得

由于h1x1(k)，h2x2(k)，…，hkxk(k)在同一個線性區(qū)間上，有

(5)

類似的

若假定(5)式中不等號成立，可導出矛盾M(hkxk(k))>M(hkxk(k))，因此

考慮到h1x1(k)，h2x2(k)，…，hk+1xk+1(k)在同一個線性區(qū)間及0∈SM，有

結合(2)，(4)兩式立即可得

但

定理2 設M是N-函數(shù)，則對任何1

πM，p(α)=inf{t>0:(α+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

證明 必要性 假設結論不成立，則存在a∈(0，πM，p(k))，使a?SM.

顯然

(k+1)pM(a)·N(p(a))≤1.

記

b=sup{u:[(k+1)M(a)+M(u)]p-1·[(k+1)N(p+(a))+N(p+(u))]≤1}≥0，

定義

則由b的定義，

由定理1知x不是k-端點，這與lM，p(1

于是

這與由h的定義得到的結論

矛盾，因此x是k-端點.再利用定理1可得，lM，p(1

定理3 設M是N-函數(shù)，則對任何1

證明完全類似文獻[11]定理2，過程冗長，略.

利用定理2和定理3，立即可得下面的結論.

定理4 設M是N-函數(shù)，則對任何1

πM，p(k)=inf{t>0:(k+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

[1] SINGER I. On the set of best approximation of an element in a normed linear space[J]. Rev Roum Math Pure Appl，1960，5: 23-35.

[2] 冼軍，黎永錦，趙志紅.中點局部k一致凸和Φ直和[J].中山大學學報：自然科學版，2005，17(2):251-256.

[3] 倪仁興，李沖.Banach空間中遠達和同時遠達問題的適定性[J].數(shù)學學報，2000，43(3):421-426.

[4] 姚鋒平，張克競.二階線性非散度型拋物方程解的局部正則性估計[J].北京大學學報:自然科學版，2011，27(2): 208-212.

[5] CUI Y A，HUDZIK H，LI J J，et al. Some fundamental properties for duals of Orlicz spaces[J].Nonlinear Anal，2010，73(8): 2353-2360.

[6] FORALEWSKI P，HUDZIK H，KOLWICZ P，et al. Non-squareness properties of Orlicz-Lorentz sequence spaces[J].J of Functional Anal，2013，264(2):605-629.

[7] 王曉麗，吳嘎日迪，郝立宇，等.Orlicz空間中的單隱層網(wǎng)絡逼近[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報:自然科學版，2012，33(4):260-265.

[8] 石忠銳，張博.廣義Orlicz序列空間的非方性[J].應用數(shù)學與計算數(shù)學學報，2012，26(4):376-381.

[9] 段麗芬，崔云安.Orlicz空間的k-端點和k-強端點[J].哈爾濱理工大學學報，2004，9(2): 132-134.

[10] 鐘坦誼，張云峰，崔云安. Orlicz序列空間的k-端點，k-光滑點[J].哈爾濱工程大學學報，1998，19(3):93-98.

[11] 段麗芬，崔云安.Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點[J].西南師范大學學報:自然科學版，2004，29(6):911-915.

[12] 姜镕澤，王俊明，劉復生.賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的k-端點和k-強端點(1≤p≤∞)[J].哈爾濱理工大學學報，2011，16(2):90-93.

[13] 李小彥，崔云安. 賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的對偶空間[J].哈爾濱理工大學學報，2011，16(1):110-112.

(責任編輯：陶 理)

k-extreme points andk-strongly extreme points in Orlicz sequence spaces endowed with the generalized Orlicz norm

ZHANG Jing1，DUAN Li-fen1，ZUO Ming-xia2

(1.School of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134002，China;2.School of Applied Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China)

For the Orlicz sequence spaces generated by aN-function endowed with the generalized Orlicz Norm，criteria ofk-extreme points andk-strongly extreme points are given. And by it both sufficient and necessary conditions are presented to make them bek-rotund and mid-point locallyk-uniformly rotund.

generalized Orlicz norm；Orlicz sequence space;k-extreme point;k-strongly extreme point

1000-1832(2014)04-0042-06

10.11672/dbsdzk2014-04-007

2014-03-20

國家自然科學基金資助項目(11226127);吉林省教育廳“十二五”科技項目(2014-400);黑龍江省教育廳科研項目(12531137).

張靜(1978—)，女，碩士，講師，主要從事Orlicz空間幾何理論研究；段麗芬(1967—)，女，碩士，教授，主要從事Orlicz空間幾何理論研究.

O 177.3 [學科代碼] 110·57

A