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        賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點

        2014-08-02 03:54:17段麗芬左明霞
        東北師大學報(自然科學版) 2014年4期
        關鍵詞:范數(shù)端點廣義

        張 靜,段麗芬,左明霞

        (1.通化師范學院數(shù)學學院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點

        張 靜1,段麗芬1,左明霞2

        (1.通化師范學院數(shù)學學院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        給出了由N-函數(shù)生成賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中k-端點和k-強端點的判據(jù),得到了該空間關于廣義Orlicz范數(shù)k嚴格凸和中點局部k一致凸的條件.

        廣義Orlicz范數(shù);Orlicz序列空間;k-端點;k-強端點

        k-端點和k-強端點是Banach空間幾何學的重要概念,它們在微分方程、逼近論、控制論等數(shù)學分支中都有應用[1-4].Orlicz空間作為一類具體的Banach空間,因為它所包含內(nèi)容的豐富性和應用的廣泛性,受到廣大數(shù)學工作者的青睞[5-8].賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)Orlicz空間的k-端點和k-強端點的判據(jù)早已獲得[9-11],賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的k-端點和k-強端點的條件也已找到[12].本文對賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點進行了討論,得到了由N-函數(shù)生成賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間中k-端點和k-強端點的判別方法,同時給出了Orlicz序列空間關于廣義Orlicz范數(shù)k嚴格凸和中點局部k一致凸的條件.

        1 預備知識

        設X是Banach空間,X′表示其對偶空間,S(X)表示X的單位球面.

        其中

        若單位球面S(X)上每一點都是k-強端點,則稱X是中點局部k一致凸的.

        設p+(u)是M(u)的右導數(shù),N(v)是M(u)的余函數(shù),

        N(v)=sup{u|v|-M(u):u≥0}.

        在線性集

        及其閉子空間

        上賦Orlicz范數(shù)

        Luxemburg范數(shù)

        ‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1},

        及廣義Orlicz范數(shù)

        在Orlicz空間lM,p中,M∈Δ2指存在常數(shù)C>0和x0>0,當|x|≤x0時,滿足M(2x)≤CM(x).

        引理1 設M是N-函數(shù),則對任何1

        證明 按文獻[13]定理4的證明過程,可得(hN,q)′=lM,p,所以對任何x=(x(i))∈lM,p,有

        引理2 設M是N-函數(shù),則對任何1

        證明 首先,利用引理1

        2 主要結果

        于是

        由M的凸性可得,對任何i∈N,

        (1)

        已知μ{i∈N:h0x0(i)∈RSM}≤k,不妨設{i∈N:h0x0(i)∈RSM}={1,2,…,k}.由(1)式知,當i≥k+1時有

        h1x1(i)=h2x2(i)=…=hk+1xk+1(i).

        (2)

        另外,利用Minkowsky不等式等號成立的條件,有

        從而

        (3)

        注意到齊次線性方程組

        (4)

        有非零解(α1,…,αk+1).不妨設αk<0,αk+1>0,則

        且當1≤i≤k-1時,

        結合(3)式,可得

        由于h1x1(k),h2x2(k),…,hkxk(k)在同一個線性區(qū)間上,有

        (5)

        類似的

        若假定(5)式中不等號成立,可導出矛盾M(hkxk(k))>M(hkxk(k)),因此

        考慮到h1x1(k),h2x2(k),…,hk+1xk+1(k)在同一個線性區(qū)間及0∈SM,有

        結合(2),(4)兩式立即可得

        定理2 設M是N-函數(shù),則對任何1

        πM,p(α)=inf{t>0:(α+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

        證明 必要性 假設結論不成立,則存在a∈(0,πM,p(k)),使a?SM.

        顯然

        (k+1)pM(a)·N(p(a))≤1.

        b=sup{u:[(k+1)M(a)+M(u)]p-1·[(k+1)N(p+(a))+N(p+(u))]≤1}≥0,

        定義

        則由b的定義,

        由定理1知x不是k-端點,這與lM,p(1

        于是

        這與由h的定義得到的結論

        矛盾,因此x是k-端點.再利用定理1可得,lM,p(1

        定理3 設M是N-函數(shù),則對任何1

        證明完全類似文獻[11]定理2,過程冗長,略.

        利用定理2和定理3,立即可得下面的結論.

        定理4 設M是N-函數(shù),則對任何1

        πM,p(k)=inf{t>0:(k+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

        [1] SINGER I. On the set of best approximation of an element in a normed linear space[J]. Rev Roum Math Pure Appl,1960,5: 23-35.

        [2] 冼軍,黎永錦,趙志紅.中點局部k一致凸和Φ直和[J].中山大學學報:自然科學版,2005,17(2):251-256.

        [3] 倪仁興,李沖.Banach空間中遠達和同時遠達問題的適定性[J].數(shù)學學報,2000,43(3):421-426.

        [4] 姚鋒平,張克競.二階線性非散度型拋物方程解的局部正則性估計[J].北京大學學報:自然科學版,2011,27(2): 208-212.

        [5] CUI Y A,HUDZIK H,LI J J,et al. Some fundamental properties for duals of Orlicz spaces[J].Nonlinear Anal,2010,73(8): 2353-2360.

        [6] FORALEWSKI P,HUDZIK H,KOLWICZ P,et al. Non-squareness properties of Orlicz-Lorentz sequence spaces[J].J of Functional Anal,2013,264(2):605-629.

        [7] 王曉麗,吳嘎日迪,郝立宇,等.Orlicz空間中的單隱層網(wǎng)絡逼近[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報:自然科學版,2012,33(4):260-265.

        [8] 石忠銳,張博.廣義Orlicz序列空間的非方性[J].應用數(shù)學與計算數(shù)學學報,2012,26(4):376-381.

        [9] 段麗芬,崔云安.Orlicz空間的k-端點和k-強端點[J].哈爾濱理工大學學報,2004,9(2): 132-134.

        [10] 鐘坦誼,張云峰,崔云安. Orlicz序列空間的k-端點,k-光滑點[J].哈爾濱工程大學學報,1998,19(3):93-98.

        [11] 段麗芬,崔云安.Orlicz序列空間的k-端點和k-強端點[J].西南師范大學學報:自然科學版,2004,29(6):911-915.

        [12] 姜镕澤,王俊明,劉復生.賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的k-端點和k-強端點(1≤p≤∞)[J].哈爾濱理工大學學報,2011,16(2):90-93.

        [13] 李小彥,崔云安. 賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的對偶空間[J].哈爾濱理工大學學報,2011,16(1):110-112.

        (責任編輯:陶 理)

        k-extreme points andk-strongly extreme points in Orlicz sequence spaces endowed with the generalized Orlicz norm

        ZHANG Jing1,DUAN Li-fen1,ZUO Ming-xia2

        (1.School of Mathematics,Tonghua Normal University,Tonghua 134002,China;2.School of Applied Sciences,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)

        For the Orlicz sequence spaces generated by aN-function endowed with the generalized Orlicz Norm,criteria ofk-extreme points andk-strongly extreme points are given. And by it both sufficient and necessary conditions are presented to make them bek-rotund and mid-point locallyk-uniformly rotund.

        generalized Orlicz norm;Orlicz sequence space;k-extreme point;k-strongly extreme point

        1000-1832(2014)04-0042-06

        10.11672/dbsdzk2014-04-007

        2014-03-20

        國家自然科學基金資助項目(11226127);吉林省教育廳“十二五”科技項目(2014-400);黑龍江省教育廳科研項目(12531137).

        張靜(1978—),女,碩士,講師,主要從事Orlicz空間幾何理論研究;段麗芬(1967—),女,碩士,教授,主要從事Orlicz空間幾何理論研究.

        O 177.3 [學科代碼] 110·57

        A

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