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        Hilbert K-模上酉系統(tǒng)的廣義框架向量集的參數(shù)化

        2014-08-02 03:54:17
        關(guān)鍵詞:定義標(biāo)準(zhǔn)

        董 芳 芳

        (天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 天水 741001)

        HilbertK-模上酉系統(tǒng)的廣義框架向量集的參數(shù)化

        董 芳 芳

        (天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 天水 741001)

        引入了緊算子代數(shù)模(簡稱HilbertK-模)上廣義框架,廣義框架算子,酉系統(tǒng)以及其廣義框架向量集的概念,研究了其性質(zhì),最后得到了廣義框架向量集的參數(shù)化定理.

        HilbertK-模;廣義框架;酉系統(tǒng);廣義框架向量集;參數(shù)化

        1 Hilbert K-模及框架

        HilbertK-模是一種特殊的HilbertC*-模,其中K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù),顯然I?K,且D.Bakic和B.Guljas在文獻(xiàn)[1]中證明了這種模一定有特殊的標(biāo)準(zhǔn)正交基,其特殊點在于相同標(biāo)準(zhǔn)正交基向量的內(nèi)積為K中的一個秩1的自伴投影.

        定義1.1[1]設(shè)K為作用在Hilbert空間H上的全體緊算子組成的C*-代數(shù),M是復(fù)數(shù)域C上的線性空間,M是左K-模,滿足μ(kx)=(μk)x=k(μx),?μ∈C,?k∈K,?x∈M,若〈,〉:M×M→K具有性質(zhì):

        (ⅰ) 〈x,x〉≥0,?x∈M;

        (ⅱ) 〈x,x〉=0?x=0,?x∈M;

        (ⅲ) 〈x,y〉=〈y,x〉*,?x,y∈M;

        (ⅳ) 〈kx,y〉=k〈x,y〉,?k∈K,?x,y∈M;

        (ⅴ) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉,?x,y,z∈M.

        則稱(M,〈,〉)為準(zhǔn)HilbertK-模.在M上定義范數(shù)‖x‖∶=‖〈x,x〉‖1/2,若M在該‖·‖意義下完備,就稱之為HilbertK-模.

        定義1.2[1]稱序列{vλ,λ∈Λ}為HilbertK-模M的標(biāo)準(zhǔn)正交序列,若?λ,μ∈Λ,

        其中ξ∈H,且‖ξ‖=1 (H為Hilbert空間),eξ,ξ∈K,K:?η∈H,eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ.

        定義1.3[2]稱HilbertK-模M中的序列{xλ,λ∈Λ}為框架,若存在常數(shù)c>0,d>0,使得?x∈M,

        若c=d=1,則稱{xλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架;若只有右半部等式成立,則稱{xλ,λ∈Λ}為Bessel序列.

        定義1.4[2]設(shè)M1,M2均為HilbertK-模,T:M1→M2是K-線性算子(即T(kx)=kT(x),?x∈M1,?k∈K),若存在K-線性算子T*:M2→M1,使得?x∈M1,?y∈M2,〈Tx,y〉=〈x,T*y〉,則稱T是可伴算子.

        定義1.5[2]設(shè)T為M1到M2的可伴算子.若T為雙射,即T既為單射,也為滿射,則稱T為可逆算子;若T*T=TT*=I,則稱T為酉算子.

        2 Hilbert K-模上的廣義框架

        而對HilbertK-模,由于I?K,也就是HilbertK-模無法膨脹,即引入

        是沒有意義的,因此,在以往的研究中,只能在K-模M自身上引入算子θ:M→M,使得?x∈M,

        其中{vλ,λ∈Λ}為M的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則θ是有閉值域且可伴的算子,

        θ*(vλ)=eξ,ξxλ.

        受這點的啟發(fā),我們考慮HilbertK-模M,Nj,j∈J,其中J為有限或可數(shù)生成的指標(biāo)集,并且在M到Nj上引入類似于θ的算子列Aj:M→Nj,使得

        其中{xj,λ,λ∈Λ}為M的框架,{vj,λ,λ∈Λ}為Nj的標(biāo)準(zhǔn)正交基,同時Aj為可伴算子,且

        我們將{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}稱為算子序列{Aj,j∈J}的誘導(dǎo)系列,這樣研究的核心就從K-模M上的序列{xλ,λ∈Λ}的研究上升到算子序列{Aj,j∈J}的研究.

        由{Aj,j∈J}的引入,顯然有

        這樣如何把算子序列{Aj,j∈J}定義為框架、Bessel序列、正規(guī)緊框架,自然就與HilbertK-模上序列{xλ,λ∈Λ}定義為框架、Bessel序列、正規(guī)緊框架的定義方法聯(lián)系起來,為了區(qū)別起見,這里稱為廣義框架、廣義Bessel序列、廣義正規(guī)緊框架,并且和孫文昌在2005年引入的Hilbert空間上的g-框架的概念相類似.[3-6]

        下面我們給出HilbertK-模上的廣義框架的定義.

        定義2.1 設(shè)M,Nj均為HilbertK-模,Aj:M→Nj,稱該算子序列{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架,若存在A>0,B>0,使得?x∈M,有

        特別的,若A=B=1,則稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架,將a,b分別稱為其廣義下、上框架界;若只有右半不等式成立,則稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義Bessel序列.

        定義2.2[2]稱序列{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基,若滿足:

        3 Hilbert K-模上廣義框架的框架變換

        由于在HilbertK-模M上,l2(K)不存在,也就是將M膨脹沒有意義,從而我們在M本身引入廣義框架{Aj,j∈J}的框架變換.

        根據(jù)定義我們易知Φ為單射.事實上,由于{Aj,j∈J}為廣義框架,從而存在a,b>0,使得

        a〈x,x〉≤〈Φ(x),Φ(x)〉≤b〈x,x〉.

        事實上,?x∈M,

        性質(zhì)3.1 設(shè){Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架,S為{Aj,j∈J}的廣義框架算子,則?x∈M,

        4 Hilbert K-模上的酉系統(tǒng)及廣義框架向量集的參數(shù)化

        定義4.1 HilbertK-模M上的酉系統(tǒng)U是指L(M)中的全體酉算子的子集,且I∈L(M),由M上的全體酉算子組成的半群稱為酉半群(對結(jié)合律封閉),組成的群稱為酉群.

        定義4.2 稱M關(guān)于Nj的序列{Aj,j∈J}為酉系統(tǒng)U的完全游蕩廣義框架向量集,若{Aju,j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基;稱{Aj,j∈J}為U的(正規(guī)緊)廣義框架向量集,若{Aju,j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的(正規(guī)緊)廣義框架;稱{Aj,j∈J}為U的廣義Bessel向量集,{Aju,j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義Bessel序列.

        注 {Aju,j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基具體為:

        同時,(1)也等價于

        定義4.3 設(shè){Aj,j∈J}為U的某廣義序列.稱CAj(U)∶={t∈L(M),Aj(tu-ut)=0,?j∈J,?u∈U}為U在{Aj,j∈J}處的局部換位;稱U′∶={t∈L(M),tu=ut,?u∈U}為U的換位.

        定理4.1 設(shè)U為作用在M上的酉半群,{Aj,j∈J}為U的廣義框架向量集,S為{Aju,j∈J,u∈U}的廣義框架算子,則S∈U′.

        證明 由性質(zhì)3.1,

        用S(x)代替x,有

        從而?v∈V,

        而另一方面,若v∈U,則v*∈U,由于U為酉半群,從而,若v*∈U,u∈U,則uv*∈U,因此,?v∈V,

        即S∈U′.

        定理4.2 設(shè)U為作用在M上的酉半群,{Aj,j∈J}為U的某完全游蕩廣義框架向量集,則:

        證明 我們引入算子w:M→M,使得?x∈M,

        則w是定義好的,且w為可伴算子,

        同時w∈U′.

        事實上,由于U為酉半群,從而對u,v∈U,uv∈U,有v*∈U,uv*∈U,于是,?v∈U,

        即w∈U′.

        又由于{Aju,j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基,從而?v∈U,當(dāng)然v*∈U,及?j∈J,

        下面我們證明在不同的條件下,w所具有的性質(zhì).

        (1) 由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為U的完全游蕩廣義框架向量集,則

        也有一樣的性質(zhì).于是,?x∈M,

        即w*w=I.同理,

        即ww*=I,因此w*w=ww*=I,即w為酉算子,也即w為可逆算子.

        (2) 當(dāng){Bj,j∈J}為U的正規(guī)緊廣義框架向量集時,即?x∈M,

        也即

        結(jié)合{Aj,j∈J}均為U的完全游蕩廣義框架向量集及(1)的證明過程知:ww*=I,即w為余等距算子.

        (3) 當(dāng){Bj,j∈J}為U的廣義框架向量集時,存在a,b>0,使得?x∈M,

        結(jié)合(1)的證明過程知,

        aI≤ww*≤bI.

        (4) 該結(jié)論的證明可由(3)的證明過程得到,這里不再贅述.

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        (責(zé)任編輯:陶 理)

        The parameterization of generalized frame vector set for unitary system on HilbertK-modules

        DONG Fang-fang

        (College of Mathematical and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui 741001,China)

        In this paper,the concepts of generalized frames,generalized frame operator,unitary system on HilbertK-module and its generalized frame vector set are introduced and their properties are studied.Finally,the theory of parameterization of generalized frame vector set for unitary system on HilbertK-module are obtained.

        HilbertK-module;generalized frames;unitary system;generalized frame vector set;parameterization

        1000-1832(2014)04-0036-06

        10.11672/dbsdzk2014-04-006

        2013-05-05

        國家自然科學(xué)基金資助項目(10771101);天水師范學(xué)院中青年教師科研基金資助項目(TSY201201).

        董芳芳(1981—),碩士,講師,主要從事泛函分析研究.

        O 177.1 [學(xué)科代碼] 110·5725

        A

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