竇麗萍，何延生

(延邊大學理學院 數(shù)學系，吉林 延吉 133002)

0 引言

格點動力系統(tǒng)(LDSs)是無窮多個常微分方程(Lattice ODEs)或差分方程(CMLs)的系統(tǒng).由于傳播波可以根據系統(tǒng)的初值來決定其長期行為，因此目前關于格點動力系統(tǒng)的研究很多集中在格點微分方程傳播波的問題上.1984年Bell等在文獻[1]中給出了以下典型例子：

(1)

對于給定的線性函數(shù)f，并利用初始狀態(tài)研究了其解的長期性.之后,文獻[2]的作者分析了一類微差分方程的傳播波，文獻[3]的作者給出了一類時滯發(fā)展方程的數(shù)值解.Shao Yuanhuang等[4]在一定的假設條件下，研究了λ-ω型非自治反應擴散方程周期傳播波的存在性.關于波解的存在性結果可以參閱文獻[5-7].

本文引入2+1維格點離散動力系統(tǒng)的傳播波的一般概念，首先建立了系統(tǒng)的傳播波與其剖面序列所滿足的偏差分方程,并證明了一個反應擴散方程波解的存在性與其相應的偏差分方程解的存在性之間的關系;其次，利用基本分析法研究了一類帶有Logistic控制的反應擴散方程

(2)

1 基本概念及引理

對于序列φ={φm}，如果存在ω∈Z+使得φm+ω=φm，m∈Z，那么ω是φ的一個周期.如果ω是φ的一個最小正周期，那么φ稱為ω-周期的.

下面的定義和引理可參閱文獻[8].

引理1如果y={yi}是一個ω-周期，而ω1是y的一個周期，則ω1modω=0.

定義2若r∈Z+(Z+表示自然數(shù)集)，(p,q)∈N2，gcd(p,q,r)=1，那么數(shù)組(p,q,r)是相容的.

定義3設m是正整數(shù)，a，b是整數(shù)，a與b同余，如果m|(a-b)，并記為a=bmodm.

定義5令y={ym,n}(m,n)∈Z2是一個雙序列，如果y關于第一變量m是ρ-周期的，而關于第二變量n是σ-周期的，那么y稱為是(ρ,σ)周期的.

引理2設(p,q,r)相容，對于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}使得(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q)，那么(m,n)和s是唯一的.

本文記W={(z1,z2)|(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q), 對于所有(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}},

顯然，如果r=1，那么Ω=Z2.

引理3設(p,q,r)相容，對于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，使得(z1,z2)=r(m,n)+i(p,q)，則(z1,z2)∈Ω.

考慮帶有Logistic控制項的反應擴散方程：

(3)

(4)

是偏差分方程

φ(m+p,n+q)=φ(m-r,n)+φ(m+r,n)+φ(m,n-r)+φ(m,n+r)-

4φ(m,n)+βφ(m,n)(1-φ(m,n)), (m,n)∈Z2

(5)

2 Logistic反應擴散方程的周期波解

考慮Logistic反應擴散方程：

(6)

其中β≠0為參數(shù).

假設φ(m,n)是(2,2)-周期波解，φ(m,n)的形式為

φ(m,n)=a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n, (m,n)∈Z2,

(7)

其中a0,a1,a2,a3∈R且a3≠0.由于方程(4)中t∈Z+，(p,q)∈Z2是未知的，因此須考慮如下7種不同情況：(i)p,r,q都是奇數(shù); (ii)p,q是偶數(shù)，r是奇數(shù); (iii)q,r是偶數(shù)，p是奇數(shù); (iv)p,r是偶數(shù)，q是奇數(shù); (v)p,q是奇數(shù)，r是偶數(shù); (vi)q,r是奇數(shù)，p是偶數(shù); (vii)p,r是奇數(shù)，q是偶數(shù).

情況(i).由(5)式有

φ(m+1,n+1)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+(4-β)φ(m,n)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2,

將(7)式代入上式得

a0-a1(-1)m-a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

a3(-1)m(-1)n]-2[a0+a1(-1)m-a2(-1)n-a3(-1)m(-1)n]+(4-β)[a0+

2a0a2(-1)n+2a0a3(-1)m(-1)n+2a1a2(-1)m(-1)n+2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

即如能找到下面非線性系統(tǒng)的一組實數(shù)解(a0,a1,a2,a3)：

(8)

其中a3≠0，那么φ(m,n)是由(7)式定義的方程(6)的一個(2,2)-周期解.

(9)

(10)

(11)

(12)

綜上所述，當p,r,q都是奇數(shù)，gcd(p,q,r)=1時，方程(6)的周期波解有如下形式：

情況(ii).由(5)式有

(5-β)φ(m,n)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2.

(13)

將(7)式代入方程(13)得

(5-β)[a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n]-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

類似情況(i)可考慮如下非線性系統(tǒng)：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

綜上所述，當p,q是偶數(shù)，r是奇數(shù)，gcd(p,q,r)=1時，方程(6)的周期波解有如下形式：

β<-3或β>5;

β<-3或β>5;

由于篇幅所限本文只討論了前兩種情況，剩余情況做類似的討論即可，故省略.

參考文獻：

[1] Bell J, Cosner C. Threshold behavior and propagation for nonlinear differential-difference systems motivated by modeling myelinated axons[J]. Quart Appl Math, 1984,42:1-14.

[2] Britton N F. Traveling wave front solutions of a differential-difference equation arising in the modeling of myelinated nerve axon[J]. Ordinary and Partial Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, 2006，1151(1985)：77-89.

[3] Chi H, Bell J, Hassard B. Numerical solutions of a nonlinear advanced-delay differential equation from nerve condition theory[J]. J Math Biol, 1986,24:583-601.

[4] Shao Yuanhuang, Sui Suncheng. Existence of periodic traveling wave solutions of non-autonomous reaction-diffusion equations with lambda-omega type[J]. J Math Anal Appl, 2014,409:607-613.

[5] Zinner B. Existence of traveling wavefront solutions for the discrete Nagumo equation[J]. J Differ Eq, 1992,96:1-27.

[6] Fu S C, Guo J S, Shieh S Y. Traveling wave solutions for some discrete quasilinear parabolic equations[J]. Nonlinear Anal, 2002,48:1137-1149.

[7] Wu J, Zou X. Asymptotic and periodic boundary value problems of mixed FDEs and wave solutions of lattice differential equations[J]. J Differ Eq, 1997,135:315-357.

[8] He Yansheng, Hou Chengmin. Traveling wave for 2-1 dimension lattice difference equations[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013,28(2):214-223.