劉昆侖

(齊魯師范學院 數(shù)學學院，山東 濟南 250200)

波動是金融市場最重要的特征之一，常用的波動模型有廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity，GARCH)和隨機波動模型(stochastic volatility，SV)，其中SV模型在長期波動性的預測能力和波動率序列的穩(wěn)定性上都優(yōu)于GARCH模型，能更好地捕捉到金融序列的尖峰厚尾性[1].由于一般金融資產(chǎn)間的相關(guān)關(guān)系并非是線性的，因此不能簡單地用相關(guān)系數(shù)進行度量.1959年Sklar[2]提出了copula函數(shù)，此函數(shù)可以用來描述變量間的非線性相關(guān)關(guān)系，與傳統(tǒng)的n維copula函數(shù)相比，它能更加靈活和準確地描述出資產(chǎn)間的尾部相關(guān)結(jié)構(gòu).隨著經(jīng)濟全球化與金融一體化的發(fā)展，金融風險日趨復雜多樣，在金融風險管理中copula-SV模型被廣泛使用[3-4].本文構(gòu)造了一個pair copula-SV模型，并用此模型計算了資產(chǎn)組合的風險價值(Value at Risk，VaR).在實證分析中，選取4支股票構(gòu)成資產(chǎn)組合，計算其VaR，并進行了Kupiec檢驗，其檢驗結(jié)果表明，此模型能很好地度量金融資產(chǎn)組合的風險價值.

1 pair copula分解模型

根據(jù)Sklar定理，聯(lián)合分布函數(shù)可以通過邊緣分布函數(shù)Fi(xi),i=1,2,…,n和copula函數(shù)表示成F(x1,x2,…,xn)=C1,2,…,n(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))，則聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(x1,x2,…,xn)=c1,2,…,n(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))·f1(x1)…fn(xn)，

(1)

其中c1,2,…,n(·)為n維copula函數(shù)，fi(xi)為邊緣概率密度函數(shù).

隨機向量X=(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以分解為

f(x1,x2,…,xn)=fn(xn)fn-1|n(xn-1|xn)fn-2|n-1,n(xn-2|xn-1,xn)…f1|2,…,n(x1|x2,…,xn).

(2)

當n=2時，由(1)式得f(x1,x2)=c12(F1(x1),F2(x2))·f1(x1)·f2(x2).又因為f(x1,x2)=f2(x2)f(x1|x2)，故

f(x1|x2)=c12(F1(x1),F2(x2))·f1(x1).

(3)

當n=3時，同理有

f(x1|x2,x3)=c13|2(F(x1|x2),F(x3|x2))·f(x1|x2)，

(4)

其中c13|2(·,·)是轉(zhuǎn)換變量F(x1|x2)和F(x3|x2)的pair copula函數(shù).當n=3時，條件概率密度f(x1|x2,x3)還可以分解為f(x1|x2,x3)=c12|3(F(x1|x3),F(x2|x3))·f(x1|x3).將(3)式代入(4)式，得f(x1|x2,x3)=c13|2(F(x1|x2),F(x3|x2))·c12(F1(x1),F2(x2))·f1(x1).以此類推，條件密度函數(shù)[5]可以分解為f(x|v)=cxvj|v-j(F(x|v-j),F(vj|v-j))·f(x|v-j)，其中vj是n維向量v的一個分量，v-j是向量v中除去vj后的n-1維分量.cxvj|v-j(·,·)稱為pair copula密度函數(shù)，它包含了兩個條件分布函數(shù)F(x|v)，其求解公式[6]為

(5)

由以上推導可知，(2)式中的每一個條件密度函數(shù)都可以分解為一系列pair copula密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)的乘積.

近年來，pair copula方法經(jīng)研究者們的不斷完善[5-7]，已作為構(gòu)建多變量聯(lián)合分布的新方法而得到廣泛應用，與多維copula函數(shù)相比，pair copula方法能更好地描述高維變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu).一個n維分布函數(shù)可以有多種pair copula分解方法，Bedford等[7]介紹了一種利用正則藤(the regular vine)圖形來描繪聯(lián)合密度函數(shù)分解形式的方法，常用的正則藤有Canonical藤和D藤，每個藤結(jié)構(gòu)圖由樹、邊和節(jié)點組成，兩種不同藤的圖形結(jié)構(gòu)適用于資產(chǎn)間不同相關(guān)關(guān)系的序列集合.Canonical藤聯(lián)合密度函數(shù)的分解公式為

(6)

D藤聯(lián)合密度函數(shù)的分解公式為

(7)

pair copula模型參數(shù)一般采用極大似然估計法進行估計，Canonical藤的對數(shù)似然函數(shù)為

(8)

D藤的對數(shù)似然函數(shù)為

(9)

其中i表示每棵樹中節(jié)點的個數(shù)，j表示樹的個數(shù)，Θ表示pair copula密度函數(shù)的參數(shù)集.

2 pair copula-SV模型下資產(chǎn)組合VaR的計算

2.1 SV模型、參數(shù)估計及檢驗

SV模型是假設(shè)波動率服從某種潛在的不可觀測的隨機過程，此模型能極大程度地擬合金融波動.目前SV模型可分為：標準的SV模型(SV-N)、厚尾的SV模型(SV-T或SV-GED)、考慮預期收益的SV模型(SV-M)、長期記憶的SV模型(LM-SV)、考慮杠桿效應的SV模型(Leverage SV)和Box-Vox-SV模型(一類非線性模型)等.因金融序列波動的異方差性和尖峰厚尾性，本文選用SV-T模型，其具體形式如下：

(10)

ht=μ+φ(ht-1-μ)+ηt.

(11)

其中：yt為第t日的收益率；εt為獨立同分布的白噪聲過程，εt服從自由度為ω、均值為0的t分布,當ω<4時，t分布的峰值不存在,當4<ω<∞時，峰值大于3,當ω→∞時，εt具有漸進正態(tài)分布；φ為持續(xù)性參數(shù)，當|φ|<1時，SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的；ht為潛在波動，服從參數(shù)為φ的高斯AR(1)過程；ηt為獨立同分布的波動的擾動水平，服從均值為0、方差為τ2的正態(tài)分布[8].

由于SV模型中包含不可觀測的潛在變量，涉及的無條件矩和似然函數(shù)要通過高維積分進行計算，因此很難用極大似然估計法進行參數(shù)估計.目前常用的參數(shù)估計方法有：矩類估計法(GMM)、偽極大似然法(QML)、模擬極大似然法(SML)、馬爾可夫蒙特卡洛法(MCMC)和蒙特卡洛極大似然法(MCML)等.本文選用MCMC法，此方法的基本思想是通過建立一個平穩(wěn)分布為π(θ)的馬爾可夫鏈來得到π(θ)的樣本，然后基于這些樣本做出各種統(tǒng)計推斷，并且MCMC模擬可以通過WinBUGS軟件實現(xiàn).

2.2 pair copula-SV模型及參數(shù)估計

為了估計資產(chǎn)組合的風險價值，本文選用SV模型擬合金融資產(chǎn)的邊緣分布，用pair copula函數(shù)來描繪組合中資產(chǎn)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，這樣就構(gòu)造了pair copula-SV模型，然后再使用Monte Carlo模擬法估計組合的VaR值.藤結(jié)構(gòu)中每個pair copula函數(shù)都是一個二元copula函數(shù)，可以根據(jù)兩兩資產(chǎn)間不同的相關(guān)關(guān)系，選擇不同的二元copula函數(shù)，常用的copula函數(shù)有正態(tài)copula函數(shù)、t-copula函數(shù)、阿基米德copula函數(shù)族等.在n維copula模型中，資產(chǎn)組合的相關(guān)關(guān)系可以用一個固定的copula函數(shù)描述，而pair copula模型中的任意兩個資產(chǎn)之間可以自由選擇適合的copula函數(shù)，所以pair copula模型比傳統(tǒng)的n維copula模型具有很大的優(yōu)越性.

SV模型中的參數(shù)估計可通過基于Gibbs的MCMC方法實現(xiàn)，而pair copula模型的參數(shù)估計可以分為兩步：首先，根據(jù)已估計出的邊緣分布的結(jié)果，用極大似然估計的方法對藤結(jié)構(gòu)圖中每棵樹上的二元copula函數(shù)進行參數(shù)估計，得到參數(shù)初值[10]；其次，根據(jù)(8)或(9)式進行極大似然估計，得到pair copula模型中參數(shù)的終值.

2.3 VaR的計算及檢驗

VaR是指在一定時期內(nèi)，一定的置信水平1-α下，金融市場交易損失值的臨界點，其中α表示超過臨界點的可能性.因VaR具有概念簡單、便于計算的優(yōu)點，因此被應用于股票、債券、期貨、期權(quán)等多種資產(chǎn)形式.VaR計算的關(guān)鍵是準確描述資產(chǎn)組合的概率分布，即只要有了資產(chǎn)的分布情況，就可以估計出資產(chǎn)的風險價值.

假設(shè)組合的收益率為rt=ω1r1,t+ω2r2,t+…+ωnrn,t，其中ri,t為第i個資產(chǎn)在t時刻的收益率，ωi為第i個資產(chǎn)在組合中占得的權(quán)重，則在顯著性水平α下的VaR應滿足如下關(guān)系式：

P(rt≤VaRt(α)|Ωt-1)=α.

(12)

本文通過Monte Carlo方法計算組合的VaR，再對其準確性進行檢驗，檢驗法中最具代表性的方法是Kupiec的失敗率檢驗法.這里所構(gòu)造的統(tǒng)計量為

LR=-2 ln[(P0)N(1-P0)T-N]+2 ln[(N/T)N(1-N/T)T-N],

其中：P0=α，1-P0為置信水平；T為實際考察天數(shù)；N為失敗天數(shù)，即實際損失超過VaR的天數(shù).

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取和描述性統(tǒng)計

選取“市北高新(600604)”、“迪康藥業(yè)(600466)”、“華域汽車(600741)”、“亞盛集團(600108)”4支股票構(gòu)建投資組合，時間為2008年7月1日—2013年12月31日.首先，將日期不相同的數(shù)據(jù)剔除，共得到1 091組數(shù)據(jù)；其次，求出4支股票收盤價的收益率ri,t，ri,t=100×ln(pi,t/pi,t-1)，其中pi,t是第i支股票在t時刻的收盤價，i=1,2,3,4.

首先對股票收益率數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，結(jié)果見表1.從表1中可以看出，4支股票的峰度值均大于3，偏度值不等于0，即數(shù)據(jù)具有“尖峰厚尾”性.J-B統(tǒng)計量的值均大于臨界值，且P值為0，說明收益率數(shù)據(jù)在5%的顯著性水平下拒絕正態(tài)分布的假設(shè).運用SV模型的前提是序列必須平穩(wěn)，本文選用單位根檢驗法(ADF)對收益率序列的平穩(wěn)性進行了檢驗.從表1的結(jié)果可以看出，ADF值都小于1%顯著性水平下的臨界值(-3.44)，且P值接近于0，故收益率序列是平穩(wěn)的，可以使用隨機波動模型.通常ADF檢驗可以通過Eviews 5.0軟件來實現(xiàn).

表1 股指收益率的描述性統(tǒng)計分析

3.2 SV模型的參數(shù)估計

使用厚尾的SV-T模型分別對各支股票的收益率數(shù)據(jù)進行擬合，然后再使用MCMC方法，通過WinBUGS軟件進行參數(shù)估計和檢驗，結(jié)果見表2.以表2中“市北高新”的數(shù)據(jù)為例，對參數(shù)估計結(jié)果進行分析.分析結(jié)果顯示：波動水平μ的貝葉斯估計值為-6.453 7，置信水平為95%的后驗置信區(qū)間為[-7.363 1，-5.436 8]；波動持續(xù)性參數(shù)φ的估計值為0.968 6，置信水平為95%的后驗置信區(qū)間為[0.957 5，0.985 2]，其值接近于1表明股指數(shù)據(jù)的波動性沖擊是連續(xù)的；參數(shù)τ的值為0.231 6，代表波動性的擾動水平；自由度ω的值為17.364 3，4<ω<∞時，說明εt的峰值大于3，故拒絕收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè).

其余3支股票參數(shù)的分析結(jié)果類似于“市北高新”的結(jié)果(其分析過程省略).4支股票的DIC值接近，說明擬合效果相當，這表明可以使用SV-T模型進行數(shù)據(jù)處理.K-S檢驗的P值都大于0.05，說明在5%的顯著性水平下，各股票數(shù)據(jù)經(jīng)積分變換后的收益率序列都服從[0,1]上的均勻分布，符合copula函數(shù)的要求.K-S檢驗可借助SPSS軟件來完成.

表2 SV模型的參數(shù)估計及檢驗

3.3 pair copula函數(shù)的參數(shù)估計

沿用2.2中的思路，利用Matlab軟件對pair copula函數(shù)的參數(shù)進行了估計.為表述上的方便，分別用數(shù)字1、2、3、4代表4支股票.因股票數(shù)據(jù)的“尖峰厚尾”性，本文選擇t-copula函數(shù)作為每棵樹上pair copula函數(shù)的類型；為了選擇合適的藤分解結(jié)構(gòu)，首先分別算出Canonical藤和D藤下的參數(shù)，然后使用AIC準則[11]進行檢驗,其計算公式為：AIC=-2×極大似然值+2×模型參數(shù)個數(shù)，AIC的值越小，模型的擬合效果越好，此過程可通過SPSS軟件來實現(xiàn).對于4維藤分解結(jié)構(gòu)，由(6)和(7)式可知有6個pair copula函數(shù)，每個pair copula函數(shù)是一個2維t-copula，包含2個參數(shù)(線性相關(guān)系數(shù)ρ和自由度ν)，共12個參數(shù).參數(shù)估計和檢驗結(jié)果見表3.

表3 Pair copula的參數(shù)估計及檢驗

由表3可知，D藤的AIC值小于Canonical藤的AIC值，說明D藤的擬合優(yōu)度高于Canonical藤，故本文選擇D藤.在D藤分解結(jié)構(gòu)中，對應的每棵樹上的變量之間是相互獨立的，這也與一般情況下股票數(shù)據(jù)相互獨立的慣例相吻合.

3.4 投資組合VaR的計算

估計出SV模型和pair copula模型的參數(shù)后，就可以使用Monte Carlo方法計算VaR.對于構(gòu)造的4維聯(lián)合分布，VaR的計算步驟[12]為：

步驟4 重復以上步驟1 000次，求出VaR的平均值即為t時刻(即第t日)的估計值.

利用以上算法計算出的VaR結(jié)果及Kupiec檢驗結(jié)果見表4.由表4數(shù)據(jù)可知，95%和99%的置信水平下的VaR分別為0.585 3和0.746 9，對應的LR值都小于臨界值，這說明本文模型估計出的VaR能較好地度量資產(chǎn)組合的金融風險.

表4 資產(chǎn)組合的VaR及Kupiec檢驗

4 結(jié)論

本文將pair copula方法和SV模型相結(jié)合，構(gòu)造了pair copula-SV模型，以此來度量金融資產(chǎn)的VaR值．本文結(jié)果表明，此模型能更好地捕捉金融資產(chǎn)的尖峰厚尾性及資產(chǎn)間的尾部相關(guān)性.本文模型的參數(shù)較多，計算量也比較大，但隨著一些新的參數(shù)估計方法的研究，以及更有效的專用軟件包的使用，本文模型將會得到更好的應用.

參考文獻：

[1] 余素紅,張世英.SV與GARCH模型對金融時間序列刻畫能力的比較研究[J].系統(tǒng)工程,2002,20(5):28-33.

[2] Sklar A. Fonctions de repartition an dimensions etleurs marges[J]. Publication de 1’Institut de Statistique de 1’Universite de Paris, 1959,8:229-231.

[3] 戰(zhàn)雪麗,張世英.基于Copula-SV模型的金融投資組合風險分析[J].系統(tǒng)管理學報,2007,16(3):302-306.

[4] 包衛(wèi)軍,徐成賢.基于SV-Copula模型的相關(guān)性分析[J].統(tǒng)計研究,2008,25(10):100-104.

[5] Aas K, Czado C, Frigessi A. Pair-copula constructions of multiple dependence[J]. Insurance:Mathematics and Economics, 2009,44:182-198.

[6] Joe H. Multivariate models and dependence concepts[M]. London:Chapman & Hall, 1997.

[7] Bedford T, Cooke R M. Vine-a new graphical model for dependent random variables[J]. Annals of Statistics, 2002,30(4):1031-1068.

[8] 郭衛(wèi)超.基于SV模型的中國股市波動性實證研究[D].青島:青島大學經(jīng)濟學院,2010:17.

[9] 劉鳳芹.基于DIC準則的SV族模型的比較[J].統(tǒng)計與決策,2004,9(177):24-25.

[10] 黃恩喜,程希駿.基于pair copula-GARCH模型的多資產(chǎn)組合VaR分析[J].中國科學院研究生院學報，2010,27(4)：440-447.

[11] Akaike H. Fitting autoregressive models for prediction[J]. Ann Inst Statics Math, 1969,21:不詳.

[12] 高江.藤Copula模型與多資產(chǎn)投資組合VaR預測[J].數(shù)理統(tǒng)計管理,2013,32(2):247-258.