莊金蓮，陳佳麗

(龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 龍巖 364012)

二維盲圖像恢復(fù)算法的研究

莊金蓮，陳佳麗

(龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 龍巖 364012)

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的二維盲圖像恢復(fù)算法的探討，提出了兩種基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。一種是最小化L2-L1代價(jià)函數(shù)，為了實(shí)現(xiàn)邊緣保持和噪聲抑制;另一種是通過(guò)最小化L1-L1代價(jià)函數(shù)來(lái)處理非高斯噪聲的情況。所提的算法是一種廣義的梯度算法，它通過(guò)引入絕對(duì)值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)來(lái)處理不可微的情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與NAS-RIF算法和DR算法相比，所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計(jì)。

盲圖像恢復(fù)；L1雙正則化方法；二維實(shí)現(xiàn)算法；廣義梯度算法

圖像恢復(fù)廣泛應(yīng)用于醫(yī)療圖像、天文成像、遙感成像、顯微鏡成像等當(dāng)前研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域。近些年來(lái)已提出許多盲圖像復(fù)原算法，主要分為兩類。第一類是將PSF的估計(jì)與恢復(fù)原始圖像的過(guò)程分成兩個(gè)不同的過(guò)程，先估計(jì)PSF,再采用現(xiàn)有的圖像恢復(fù)方法進(jìn)行圖像的復(fù)原。這類方法的特點(diǎn)是計(jì)算量較少，主要采用模型參數(shù)法，典型的有先驗(yàn)?zāi)：孀R(shí)方法。第二類是同時(shí)估計(jì)PSF和恢復(fù)原始圖像，將PSF的估計(jì)與圖像恢復(fù)的過(guò)程相結(jié)合。這類算法比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，主要有模型參數(shù)法和非參數(shù)式的盲迭代法。在參數(shù)法中，如ARMA參數(shù)估計(jì)法[1]。在迭代法中，有Ayers和Dainty提出的迭代盲反卷積方法(IBD)[2]和D.Kundur等人提出的非負(fù)有限支撐域約束遞歸逆濾波法(NAS-RIF)[3]及其在此方法上的拓展，包括改進(jìn)的NAS-RIF算法[4-5]等。

目前另一種研究方向是將經(jīng)典圖像恢復(fù)方法中的正則化理論[6]應(yīng)用于盲圖像恢復(fù)。典型的有You Yu-li和M.Kaveh提出的對(duì)稱雙正則化（SDR）方法[7]，Chan提出的總變分(TV)盲圖像復(fù)原[8]和Chen Li提出的參數(shù)雙正則化（PDR）方法[9]。

另外，根據(jù)程序?qū)崿F(xiàn)方式，我們將現(xiàn)有盲圖像恢復(fù)算法分為兩類，一類是一維實(shí)現(xiàn)方法，如TV方法和PDR方法；另一類是二維實(shí)現(xiàn)方法，如DR方法和NAS-RIF算法。通常二維實(shí)現(xiàn)算法適用于處理大幅的圖像且運(yùn)行速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于一維實(shí)現(xiàn)算法。

本文將L1范式應(yīng)用于代價(jià)函數(shù)，提出了兩種基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究表明所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計(jì)和PSF估計(jì)。

1 圖像模型與二維盲圖像恢復(fù)方法

1.1 圖像退化模型與恢復(fù)過(guò)程

通常圖像的退化是由模糊和噪聲兩方面因素造成的。一般情況下，為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)點(diǎn)拓展函數(shù)PSF為線性空間不變系統(tǒng)，噪聲為加性噪聲，那么二維的圖像退化模型可用式(1)表示：

其中g(shù)(x,y)、f(x,y)、h(x,y)、n(x,y)分別表示單幅的退化圖像，單幅、靜態(tài)、單色的（簡(jiǎn)稱為單通道）原始圖像,點(diǎn)拓展函數(shù)PSF和加性噪聲；?表示二維卷積算子。為了有效地采用二維實(shí)現(xiàn)方法，這里直接將一幅退化圖像作為一個(gè)二維數(shù)字信號(hào)來(lái)進(jìn)行處理。盲圖像恢復(fù)問(wèn)題就是根據(jù)觀測(cè)到的退化圖像g(x,y)以及原始圖像f(x,y)和PSF的部分先驗(yàn)知識(shí)，獲得原始圖像的估計(jì)(x,y)，使之盡可能地接近原始圖像f(x,y)。

1.2 經(jīng)典的二維盲圖像恢復(fù)方法

經(jīng)典的二維盲圖像恢復(fù)方法有D.Kundur等人提出的非負(fù)有限支撐域約束遞歸逆濾波(NASRIF)算法[8]和You Yu-li和M.Kaveh提出的對(duì)稱雙正則化SDR方法[14]。NAS-RIF算法假設(shè)圖像是非負(fù)的，且具有已知的支撐域。該算法的優(yōu)點(diǎn)在于代價(jià)函數(shù)是凸的，保證算法收斂到全局最小，算法穩(wěn)定、收斂速度快，但是由于其濾波器是高通濾波器，必然存在高頻噪聲放大的問(wèn)題，特別是對(duì)于信噪比較低的圖像，復(fù)原效果不好。SDR方法將盲恢復(fù)問(wèn)題看作是最小化一個(gè)雙正則化的代價(jià)函數(shù)，把問(wèn)題分解為模糊辨識(shí)和圖像恢復(fù)兩個(gè)過(guò)程，其中最小化過(guò)程采用基于共軛梯度法的替代最小化（AM）策略來(lái)實(shí)現(xiàn)。SDR方法沒(méi)有考慮到圖像和PSF的魯棒性特點(diǎn)，因而存在邊界處理的問(wèn)題，而且當(dāng)加性噪聲不滿足高斯分布時(shí)，SDR方法的恢復(fù)效果不佳。此外，SDR方法還要求PSF是對(duì)稱的。

2 基于L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法

由于L1范式[10-11]在統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題上所獲得的解更具魯棒性。因此將L1范式應(yīng)用于代價(jià)函數(shù)中，提出了2種基于L2-L1和L1-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法。在最小化過(guò)程中引進(jìn)了一種基于廣義共軛梯度法的替代最小化（AM）算法。

2.1 改進(jìn)的代價(jià)函數(shù)

由于SDR方法的兩項(xiàng)正則化項(xiàng)都采用L2范式的形式，存在邊界問(wèn)題，考慮用L1范式替代兩項(xiàng)正則化項(xiàng)中的L2范式，提出了一個(gè)新的混合的L2-L1代價(jià)函數(shù)用于盲圖像恢復(fù)。因此，本文所提出的基于L2-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法就是對(duì)下列的混合的L2-L1代價(jià)函數(shù)進(jìn)行最小化：其中Ω?R2和D?R2分別表示原始圖像和PSF的支持域，我們限定圖像的支持域遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于PSF的支持域，這樣會(huì)使效果更明顯。(x,y)和(x,y)分別表示原始圖像和PSF的估計(jì)。代價(jià)函數(shù)中的c(x,y)和a(x,y)稱為正則化算子，是一個(gè)高通濾波器,通常取Laplacaian濾波器；λ和γ是正則化參數(shù)。

L1估計(jì)方法對(duì)于非高斯分布非常有效。而且它不會(huì)過(guò)分?jǐn)U大誤差，因此當(dāng)信號(hào)數(shù)據(jù)包含非高斯噪聲顆粒的時(shí)候，L1估計(jì)方法相對(duì)于最小二乘（L2）方法更具魯棒性?？紤]將L1范式用于圖像的逼真度這一項(xiàng)和兩項(xiàng)正則化項(xiàng)中，提出了一個(gè)新的L1-L1代價(jià)函數(shù)用于盲圖像恢復(fù)中。因此，本文所提出的基于L1-L1雙正則化的二維盲圖像恢復(fù)算法就是對(duì)下列的L1-L1代價(jià)函數(shù)進(jìn)行最小化：

本文所提出的兩個(gè)代價(jià)函數(shù)（2）和（4）由于使用L1范式的形式，因此都是非凸的（非光滑的）。

2.2 改進(jìn)的最小化算法

所提出的代價(jià)函數(shù)使用L1范式，是非凸的，為了處理不可微的情況，引入弱導(dǎo)數(shù)的概念。絕對(duì)值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中sign（·）的定義為

其中sign（·）的定義同式（8）。

為了以簡(jiǎn)潔的形式來(lái)描述所提出的算法，首先引入兩個(gè)變形的符號(hào)函數(shù)：

對(duì)于代價(jià)函數(shù)（4），再引入一個(gè)變形的符號(hào)函數(shù)：

那么式（6）、（11）和式（7）、（12）可分別改寫(xiě)成

現(xiàn)在來(lái)描述所提出的盲圖像恢復(fù)算法。

第2步，求解第k次迭代的圖像估計(jì)。

更新廣義共軛梯度向量

其中步長(zhǎng)大小β0=1，當(dāng)k≥1時(shí)

尋找αk滿足下列條件

更新圖像估計(jì)

其中Pf表示的是式（3）的第一個(gè)約束條件的投影。

第3步，求解第k次迭代的PSF估計(jì)。

更新廣義共軛梯度向量

尋找滿足下列條件

更新PSF估計(jì)

其中Ph表示的是式（3）的后兩個(gè)約束條件的投影。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 算法評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本節(jié)中主要是結(jié)合主觀評(píng)價(jià)方法和ISNR客觀評(píng)價(jià)方法對(duì)我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析對(duì)比。ISNR是用以比較恢復(fù)圖像與原始圖像質(zhì)量的參數(shù)，計(jì)算所得的值越大，說(shuō)明圖像質(zhì)量越好。ISNR的計(jì)算公式如式（27）：

此外，針對(duì)雙正則化方法，除了得到原始圖像的估計(jì)之外，我們同時(shí)獲得了PSF估計(jì)。為了評(píng)價(jià)PSF估計(jì)的精度誤差，采用MSE客觀評(píng)價(jià)方法來(lái)進(jìn)行比較。MSE反映了所獲得的PSF估計(jì)與原始PSF之間的誤差，計(jì)算所得的值越小，說(shuō)明PSF估計(jì)越精確。MSE的計(jì)算公式如式（28）：

對(duì)于所提出的算法中，參數(shù)ρ取值為0.01。

圖1 原始utk圖像

3.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果

例1：考慮如圖1所示的256×256的原始utk圖像，首先用21×21的高斯模糊PSF對(duì)原始圖像進(jìn)行退化，然后再在模糊后的圖像上附加混合隨機(jī)噪聲，最終生成退化圖像，如圖2（a)所示。

UTK圖像是一幅均勻黑色背景的文本二值圖像。當(dāng)運(yùn)行NASRIF算法時(shí)，參數(shù)假設(shè)δ=0.0138，（Nxu，Nyu）=（5,5）。圖2（b)顯示的是NAS-RIF算法運(yùn)行30次迭代后的恢復(fù)圖像。在原始圖像支持域未知的情況下，我們采用一種尋找支持域的算法。對(duì)于UTK圖像，這一過(guò)程運(yùn)行了約11289.14 s。對(duì)于所提出的兩種算法，參數(shù)假設(shè)λ=0.03，γ=108，且令最大迭代次數(shù)M=30，容差ε=0.01。圖2（c)和圖2(d)中顯示了所提出的兩種算法的恢復(fù)圖像。

從主觀評(píng)價(jià)角度來(lái)看，3幅恢復(fù)圖像的視覺(jué)效果都比退化圖像好。而我們所提出的兩種算法獲得的恢復(fù)圖像在去模糊和去噪方面均明顯優(yōu)于NAS-RIF算法恢復(fù)的圖像，UTK字母邊緣輪廓和細(xì)節(jié)更加清晰，黑色背景噪聲顆粒明顯減少。

圖2 例1中退化圖像與3種算法的恢復(fù)圖像

再者，我們還對(duì)受到其他類型噪聲（高斯噪聲和椒鹽噪聲）污染的UTK退化圖像進(jìn)行了盲恢復(fù)并進(jìn)行比較。表1中列出了3種算法獲得的圖像估計(jì)的ISNR，PSF估計(jì)的MSE以及3種盲圖像恢復(fù)算法的計(jì)算時(shí)間。

從表1中可以看出，與NAS-RIF算法相比，所提出的算法在高斯噪聲和非高斯噪聲（混合隨機(jī)噪聲和椒鹽噪聲）的環(huán)境下均能夠以更快的速度獲得更好的恢復(fù)圖像和PSF估計(jì)。

例2：考慮如圖3所示的256×256衛(wèi)星圖像，首先用5×5的高斯模糊PSF對(duì)原始圖像進(jìn)行退化，然后再在模糊后的圖像上附加噪聲強(qiáng)度為0.5的椒鹽噪聲，最終生成退化圖像，如圖4（a)所示。

圖3 實(shí)時(shí)衛(wèi)星圖像

采用所提出的兩種算法和傳統(tǒng)的DR方法進(jìn)行盲恢復(fù)。令最大迭代次數(shù)M=30，容差ε=0.01，參數(shù)λ=0.08，γ=108。這3種方法在同樣的初始條件下運(yùn)行，所得的恢復(fù)圖像如圖4（b)～圖4（d)所示。

圖4 例2中退化圖像與3種算法的恢復(fù)圖像

從主觀評(píng)價(jià)角度來(lái)看，3幅恢復(fù)圖像的視覺(jué)效果都比退化圖像好。而我們所提出的兩種算法獲得的恢復(fù)圖像在去模糊和去噪方面均明顯優(yōu)于DR算法恢復(fù)的圖像，衛(wèi)星圖像邊緣輪廓和細(xì)節(jié)更加清晰，尤其圖4（d)中衛(wèi)星圖像上的線條被明顯地恢復(fù)出來(lái)，且背景的噪聲顆粒明顯減少。

表2中列出了3種算法獲得的圖像估計(jì)的ISNR，PSF估計(jì)的MSE以及3種盲圖像恢復(fù)算法的計(jì)算時(shí)間。

表2 3種算法恢復(fù)圖像的客觀評(píng)價(jià)結(jié)果

從表2中可以看出，與DR算法相比，所提出的算法在非高斯噪聲（椒鹽噪聲）的環(huán)境下能夠以更快的速度獲得更好的恢復(fù)圖像和PSF估計(jì)。

4 結(jié)論

基于L1雙正則化方法，提出了兩種改進(jìn)的二維盲圖像恢復(fù)算法。與DR方法不同的是，這兩種算法分別采用L2-L1和L1-L1代價(jià)函數(shù)，而所提出的算法是一種廣義的梯度算法，它通過(guò)引入絕對(duì)值函數(shù)的弱導(dǎo)數(shù)來(lái)處理不可微的情況。其中第2種算法更適合于處理非高斯噪聲的情況。與NASRIF方法相比，這兩種方法均不需要圖像擁有已知的支撐域，且能同時(shí)獲得PSF的估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與經(jīng)典算法相比，所提出的兩種二維算法能夠更快速地獲得好的圖像估計(jì)。

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（責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Study of Two-Dimensional Algorithms for Blind Image Restoration

ZHUANG Jin-lian,CHEN Jia-li
(College of Mathematics and Computer Science,Longyan University,Longyan 364012,China)

By exploring the existing two-dimensional(2-D)algorithms for blind image restoration,this paper proposes two new two-dimensional algorithms for blind image restoration based on an L1 double regularization approach.One is formulated as the m inim ization of a L2-L1 cost function to achieve edge preservation and noise suppression.The other is viewed as theminimization of a L1-L1 cost function for blind image restoration under non-guassian noise environments.Thus a generalized gradientalgorithm is introduced by using aweak derivative of the absolute value function to dealw ith the non-differentiable case.Experimental results show that the proposed two-dimensional algorithms can obtain a better restored image and the estimated PSFw ith a faster speed than both the NAS-RIFalgorithm and the DR algorithm.

blind image restoration;L1 double regularization approach;2-D implementation algorithm;generalized gradientalgorithm

TP391．41

A

1673-4343（2014）02-0006-08

2014-02-28

龍巖學(xué)院服務(wù)海西面上項(xiàng)目（LYXY2011071）

莊金蓮，女，福建晉江人，助教。研究方向：計(jì)算智能。