杜 紅， 黃勝勇

(黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱150022)

0 引 言

鈦合金具有強度高，耐蝕性、耐熱性好等特點，被廣泛應用于航空發(fā)動機葉輪葉片等部件。鈦合金的彈性模量為107 800 MPa，約為鋼的1/2。鈦合金導熱系數(shù)小，加工時產(chǎn)生的熱量很難釋放，大部分切削熱殘留在刀尖上，導致切削力的波動，引起系統(tǒng)振動。這種難加工材料常采取低速切削，如鋁合金高速切削速度1 000～4 000 m/min，而鈦合金最高切削速度320 m/min。在低速加工過程中，刀具與工件加工表面之間會產(chǎn)生過程阻尼［1］。Moon 等［2］也指出了加工材料的彈塑性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響是顯著的。

耐高溫、高強度合金在低切削速度加工過程中，由于阻尼系數(shù)隨著刀具磨損的增加，導致的顫振至今仍然是一個尚未解決的問題。20 世紀50年代末期，Tobias 等［3］注意到在低速加工過程中，刀具的側銑面摩擦工件振紋面時，會導致過程阻尼。當振動頻率與切削速度比高時，切削速度方向的切削力變小，工具的切除面與已加工的波紋面之間的摩擦也變小，使得切削穩(wěn)定深度增加。2010年，Eynian 和Altintas［4－5］給出了在低速加工時過程阻尼的力學模型。在Eynian 給出的過程阻尼模型中，通過將切削力分解成穩(wěn)態(tài)切削力和阻尼力兩個部分，其中阻尼力與切削速度、切削寬度、每齒進給量有關，修正了再生顫振動力學模型中的切削力，得到穩(wěn)定性邊界。

目前，加工過程中動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［6－8］主要有單頻率法、時域有限元分析法、半離散法、全離散法等［9］方法。單頻率法能夠有效地預報多齒刀具和徑向切深較大的工況，但不適用于少齒刀具及徑向切深較小的工況;Bayly 等［10］應用時域有限元分析法預報了單自由度和兩自由度銑削模型穩(wěn)定性;Insperger 等［11］提出了半離散法，這種方法能夠通用于大、小徑向切深的工況，且精度取決于離散步長，計算速率較高。丁燁等［12］提出了全離散法，給出了經(jīng)典再生顫振銑削模型的穩(wěn)定性分析，該方法通過離散系統(tǒng)中的狀態(tài)項和時滯項，其結果只依賴于轉速，與徑向切深無關，能夠通用于大小徑向切深工況，計算速率較半離散法有大幅度提高。筆者針對鈦合金Ti6A14V，采用全離散法對過程阻尼單自由度模型進行穩(wěn)定性預報。

1 摩擦顫振的過程阻尼模型

文獻［3］和［12］中指出，在低速加工中刀具和工件之間的部分切削力與切削表面的刀具切削速度成比例，將這部分力增加到加工系統(tǒng)中的阻尼項，阻尼系數(shù)會隨刀具磨損不斷增加，產(chǎn)生顫振穩(wěn)定性發(fā)生變化，得到過程阻尼模型。同時認為，切削力方向相對于瞬時切削速度總是恒定的，切削過程見圖1。

設Fy0和Fz0表示在自由振動下的法向和切向切削力，有

式中:a——軸向切削深度;

c——每轉進給量。

圖1 切削速度影響下的再生正交切削過程Fig．1 Regenerative orthogonal cutting process with effect of vibration velocity

設vc是切削速度，F(xiàn)y、Fz分別為法向和切向切削力，根據(jù)力學分析，得到

于是，得到在法向和切向的阻尼力Fd為

其中，KyKz分別為進給、切削速度方向上的切削力系數(shù)。

設y(t)和y(t －τ)表示系統(tǒng)內(nèi)部和外部的振動，τ 是內(nèi)部和外部振動波之間的時間延遲，則動態(tài)切削力Fy(t)表達成與時間t、速度vc之間的關系:

單自由度動態(tài)系統(tǒng)加工模型

其中，M 為模態(tài)質量;C 為阻尼;K 為剛度。

在低切削速度－ ˙y/vc下，過程中的阻尼項變?yōu)镃+Kzac/vc，得到了一種動態(tài)切削力系數(shù)與再生切厚和振動速度有關的切削力模型，即過程阻尼模型:

2 模型的穩(wěn)定性分析

基于全離散法給出過程阻尼模型(6)的穩(wěn)定性預報方法，得到該系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界。

得到動態(tài)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)空間

A0表示系統(tǒng)中與時間t 無關的常數(shù)矩陣，A(t)和B(t)表示考慮再生效應動態(tài)切削力決定的周期矩陣，即A(t+T)=A(t)，B(t+T)=B(t)，T 為時間周期。

將刀齒切削周期等分為m 份，即T=mτ，其中τ為采樣周期且m 為正整數(shù)，在每一個時間區(qū)間(kτ≤t≤kτ+τ)上以zk=z(kτ)為初始條件，式(7)的動態(tài)響應表示為如下的直接積分格式

即

從而得到

將式(10)中的狀態(tài)項z(kτ + τ － ξ)、周期系數(shù)A(kτ+τ－ξ)和靜態(tài)力項f(kτ +τ －ξ)在時間區(qū)間［kτ，kτ+τ］分別作線性逼近，

將式(10)中的時滯項z(kτ +τ －ξ －T)在時間區(qū)間［(k－m)τ，(k－m+1)τ］作線性逼近

則zk+1可以表示為

同時，由矩陣Φ0和A－10解析得到

若逆矩陣［I－Fk+1］－1存在，式(11)中zk+1可以表示為如下離散形式

記n(m+1)維向量ηk為

可以得到系統(tǒng)(6)的離散動態(tài)映射

式中:

故系統(tǒng)在單個時間周期上狀態(tài)轉移關系，可由矩陣序列表示為

基于Floquet 理論，該系統(tǒng)穩(wěn)定性可由轉移矩陣Φ 的特征值的模決定，即

3 實驗結果與分析

以主軸轉速n 為橫坐標、軸向切削深度h 為縱坐標，用MATLAB 軟件得到的基于全離散法的過程阻尼模型(6)的穩(wěn)定性邊界，見圖2。圖2 中的曲線下方為穩(wěn)定性區(qū)域，曲線上方為非穩(wěn)定性區(qū)域。并且對難加工材料鈦合金Ti6Al4V 進行銑削加工實驗，選取硬質合金材料的刀具，刀具齒數(shù)4，刀具直徑8 mm，刃長40 mm，螺旋角45°。

圖2 過程阻尼模型(6)的穩(wěn)定性Fig．2 Stability of process damping model (6)

通過測試分析計算，得到鈦合金的模態(tài)參數(shù)［9］為M =0.006 76 kg，C =4.929 N/(m·s－1)，K =4.553 ×105N/m，切削力系數(shù)［13］Ky= －6.331 5 ×107N/m，Kz=3.325 6 ×107N/m。

取每齒進給率c=1.4 mm/min，分別在主軸轉速為800、2 100、2 400、3 100、3 600、4 000 和4 800 r/min轉速(即切削速度約為20、53、60、78、90、100 和120 N/m)下進行軸向切削深度實驗。由圖2 可以看出，鈦合金銑削加工實驗結果與模型(6)全離散法計算得到的穩(wěn)定性邊界相吻合，驗證了該預報的準確性。這樣，基于圖2 中的穩(wěn)定性邊界，在鈦合金Ti6Al4V 低速加工過程中，選取合適的加工參數(shù)，可以有效地減少加工過程中的刀具磨損。

4 結束語

鈦合金Ti6A14V 銑削加工過程阻尼模型穩(wěn)定性預報準確。得到的穩(wěn)定性Lobe 圖與加工實驗數(shù)據(jù)相符。全離散預報方法，有效地預報了鈦合金Ti6A14V 在低切削速度下的加工穩(wěn)定性，可以起到提高加工質量，減少刀具磨損的作用。

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