南景富

(黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱150022)

由于自然因素或人為需要等原因，用于工程實際的天然材料或人工合成材料，一般具有界面、襯砌、脫膠、裂紋等結(jié)構(gòu)，如為加固地鐵隧道、煤礦巷道、涵洞等而建造的襯砌，因?qū)缭綌鄬雍腿珨嗝骈_挖施工帶來的地下土質(zhì)巖石等性質(zhì)變化而形成的界面，在地震、爆炸等沖擊載荷或溫度變化時襯砌和其他材料間出現(xiàn)的脫膠缺陷等。研究襯砌結(jié)構(gòu)對反平面動力的響應(yīng)與動應(yīng)力集中情況，不但可以在理論上為研究界面結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題提供新模型，還可為諸如地鐵隧道、煤礦巷道、涵洞等的設(shè)計施工等工程實際問題研究提供參考，因此，具有十分重要的意義［1－4］。

筆者采用數(shù)學(xué)物理方法中的Green 函數(shù)法研究全空間中含有界面和半圓形脫膠的圓形襯砌復(fù)合結(jié)構(gòu)對任意角度入射出平面動力波的響應(yīng)問題，即在出平面動力波作用時產(chǎn)生的位移場和應(yīng)力場，并以此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)并討論襯砌周邊動應(yīng)力集中因數(shù)的函數(shù)方程。

1 問題的Green 函數(shù)解

含有界面和半圓形脫膠襯砌的全空間力學(xué)模型如圖1 所示。

圖1b 所示上半空間的Green 函數(shù)為

圖1c 所示下半空間的襯砌內(nèi)Green 函數(shù)及下半空間其余部分Green 函數(shù)為可分別表示為

式(1)～(3)中待求常數(shù)的物理意義參見文獻［5 －11］。

2 問題的求解

2．1 出平面波力學(xué)模型

圖1 也顯示了出平面波以任意角度α0入射時產(chǎn)生的入射波、反射波和折射波力學(xué)模型。

圖1 力學(xué)模型及SH 波入射模型Fig．1 Mechanics model and model of incidence of SH-wave

在下半空間的界面上位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)［11］計算式為

在上半空間的界面上位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)［11］計算式為

2.2 模型契合

將含界面和半圓形脫膠襯砌的上半空間和下半空間兩部分契合在一起，其力學(xué)模型如圖2 所示。

圖2 模型契合示意Fig．2 Forming bi-media material

求解f1(r0，θ0)的積分方程組［5－11］為

2.3 應(yīng)力求解

通常，彈性襯砌周邊的動應(yīng)力集中因數(shù)(DSCF)表達式為

式中:τ(·)θz——彈性襯砌周邊上的應(yīng)力;

τ0——入射應(yīng)力的最大幅值，τ0=μ1k1W0。

在下半空間，彈性襯砌附近周邊的應(yīng)力可通過下面公式計算:

在上半空間，半圓形凹陷周邊的應(yīng)力可以通過下面公式計算:

3 數(shù)值計算與分析

數(shù)值計算相關(guān)參數(shù)為:k =ω/cs，ω 為位移函數(shù)的圓頻率;cs為材料的出平面波波速ρ、μ 分別為材料的密度和剪切模量;k1a 為入射波波數(shù)皆為無量綱參數(shù)。

圖3 為反平面波α0=90°，材料參數(shù)組合=1.50、=0.38 的情況下，沿襯砌周邊的DSCF 數(shù)值計算結(jié)果。圖3a 為k1a = 0.1 時襯砌周邊的DSCF 數(shù)值計算結(jié)果，由圖可見，襯砌上半周邊DSCF 明顯大于下半?yún)^(qū)周邊的DSCF。圖3b 和3c 分別為k1a=1.0 和k1a =2.0 時襯砌周邊的DSCF 數(shù)值計算結(jié)果，由圖可見，當(dāng)入射波以中、高頻率入射時，下半?yún)^(qū)襯砌周邊的DSCF 明顯高于上半?yún)^(qū)襯砌周邊的DSCF。

圖3 反平面波α0 =90°、=0.38 時襯砌周邊DSCF 的數(shù)值分布Fig．3 Distribution of DSCF around edge by anti-plane wave while α0 =90° and=0.38

圖4 為反平面波α0=90°，材料參數(shù)組合=0.70、=3.23 的情況下，沿襯砌周邊的DSCF 數(shù)值計算結(jié)果。由圖可見，圖4a 與圖3a 同為k1a =0.1 時，襯砌周邊DSCF 分布情況總體趨勢相同。圖4b 和4c 分別為k1a =1.0 和k1a =2.0 時襯砌周邊的DSCF 數(shù)值計算結(jié)果。由圖可見，當(dāng)入射波以中、高頻率入射時，雖然下半?yún)^(qū)襯砌周邊的DSCF 也高于上半?yún)^(qū)襯砌周邊的DSCF，但并沒有圖3b 和圖3c 明顯。由此反應(yīng)出變化對DSCF的分布有影響。

圖4 反平面波α0 =90°、=3.23 時襯砌周邊DSCF 的數(shù)值分布Fig．4 Distribution of DSCF around edge by anti-plane wave while α0 =90° and =3.23

由圖3 和圖4 可見，當(dāng)k1a =0.1 時，DSCF 的最大值出現(xiàn)在分界面處，當(dāng)k1a =2.0 時，分界面處的DSCF 明顯減小。

由圖5 和圖6 可見，k1a =0.1、α0=90°時襯砌周邊DSCF 最大值明顯小于k1a =0.1、α0=45°時的最大值;k1a=2.0、α0=90°時DSCF 最大值明顯小于k1a =2.0、α0=45°時的最大值;α0=45°時DSCF 分布變化復(fù)雜，最大值仍多數(shù)會出現(xiàn)在分界面附近。

通過算例分析可以看出，入射波數(shù)、入射角度以及介質(zhì)參數(shù)等因素均對全空間中雙相介質(zhì)界面附近半圓形脫膠的圓柱形襯砌的周邊動應(yīng)力集中因數(shù)有一定的影響，尤其對界面點處動應(yīng)力集中因數(shù)的放大作用。由于界面是結(jié)構(gòu)或者材料強度的薄弱區(qū)域，所以要非常注意界面點的動應(yīng)力集中因數(shù)隨入射波數(shù)的變化曲線。文中僅對μ*、k*兩個介質(zhì)參數(shù)進行了討論，這是由于μ、ρ、k 中只有兩個是獨立的。

圖5 反平面波α0 =45°、=0.38 時襯砌周邊DSCF 的數(shù)值分布Fig．5 Distribution of DSCF around edge by anti-plane wave while α0 =45° and =0.38

圖6 反平面波α0 =45°、=3.23 時襯砌周邊DSCF 分布Fig．6 Distribution of DSCF around edge by anti-plane wave while α0 =45° and=3.23

4 結(jié) 論

采用Green 函數(shù)法研究含有界面和半圓形脫膠襯砌對出平面動力的響應(yīng)問題。由數(shù)值算例結(jié)果可知，k1a、α0以及μ*等的變化對該模型襯砌的周邊動應(yīng)力集中因數(shù)(DSCF)有一定的影響，尤以對界面點處的DSCF 作用明顯。

［1］鮑亦興，毛昭宙．彈性波的衍射與動應(yīng)力集中［M］．北京:科學(xué)出版社，1993．

［2］陳志剛，劉殿魁．橢圓孔對SH 波散射的遠(yuǎn)場解［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2003，24(3):334 －338．

［3］楊在林．界面可移動圓形剛性夾雜對反平面波散射和它的遠(yuǎn)場解［D］．哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2000．

［4］齊 輝．界面圓環(huán)形襯砌對反平面波散射及動應(yīng)力集中［D］．哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2000．

［5］NAN JINGFU，QI HUI，SHI YONG．Scattering of SH-waves by cylindrical lining debonded near bi-material interfaces［J］．Advanced Science Letters，2011(3):1281 －1285．

［6］南景富，齊 輝，折 勇．垂直半空間裂紋及附近圓孔對SH波的散射［J］．工程力學(xué)，2009(5):245 －250．

［7］QI HUI，SHI YONG，NAN JINGFU．Ground motion of non-circular alluvial valley for incident plane SH-wave［C］//The 14thWorld Conference on Earthquake Engineering．Beijing:［s．n．］，2008．

［8］南景富，齊 輝，韓 劉，等．SH 波作用下地表覆蓋層與淺埋圓柱形夾雜的相互作用［J］．自然災(zāi)害學(xué)報，2010(2):169 －174．

［9］NAN JINGFU，QI HUI，ZHAO CHUNXIANG．Scattering of SHwaves by interface semicircular debonded cylindrical lining and linear cracks originating at edge of lining［J］．Advanced Materials Research，2011，399 －401:2149 －2154．

［10］南景富，齊 輝．含半圓形襯砌凸起彈性半空間問題的Green 函數(shù)解［J］．工程力學(xué)，2012(5):31 －36．

［11］南景富．界面圓形脫膠襯砌與裂紋對反平面波的散射［D］．哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2012．