苑普光,張秀麗,楊瀟,欒秀萍,張軍

(延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

0 引言

量子信息學(xué)是一門涉及量子力學(xué)、密碼學(xué)、信息學(xué)等多門學(xué)科的交叉學(xué)科，它以量子糾纏態(tài)為信息載體，研究信息的儲(chǔ)存和傳輸，以期達(dá)到經(jīng)典信息所不能達(dá)到的計(jì)算速度和安全性.自C.H.Bennett等[1]提出多體量子系統(tǒng)中不可拓展的直積基(UPB)概念以來(lái),已獲得了大量具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的理論成果,例如:文獻(xiàn)[2]研究表明,包含UPB的態(tài)是不能被局部測(cè)量和經(jīng)典計(jì)算所區(qū)分的，并且在與一組UPB互補(bǔ)的子空間上的混合態(tài)是一個(gè)束縛糾纏態(tài).文獻(xiàn)[3]將UPB推廣到不可拓展的最大糾纏基(UMEB)，即UMEB是一個(gè)Cd?Cd′上由標(biāo)準(zhǔn)正交的最大糾纏態(tài)構(gòu)成的集合，這個(gè)集合含有向量不超過(guò)d2個(gè)，除此之外不再存在與它們都正交的最大糾纏態(tài).當(dāng)d=2時(shí)，UMEB并不存在；當(dāng)d=3和d=4時(shí)，分別找到了含有6個(gè)向量和12個(gè)向量的UMEB的具體例子.

1 C 3?C 8中的UMEBS

定義1[3]一組態(tài){|φi〉∈Cd?Cd,i=1,2,…,n,n

現(xiàn)考慮d=3,d′=8時(shí),有

(1)

整理得

故V不可能是酉矩陣，與假設(shè)矛盾，所以|ψ〉一定不是最大糾纏態(tài).綜上所述，(1)式是C3?C8的一組不完備的18元UMEB.

2 用C 3?C 8的UMEBS構(gòu)造MUBS

在(1)式中加入6個(gè)直積態(tài)：

即得C3?C8的一組完備的UMEB：

(2)

現(xiàn)構(gòu)造C8的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，用矩陣形式表示為

由此基出發(fā)，重復(fù)使用上述方法可得C3?C8的另一組完備的UMEB：

(3)

故兩個(gè)完備的UMEBS(2)和(3)是MUBS.

參考文獻(xiàn)：

[1]Bennett C H,Divincenzo D P,Mor P W,et al.Unextandible product bases and bround entanglement[J]. Phys Rev Lett,1999,82(26):5385(4).

[2]CHEN Bin,FEI Shaoming. Unextandible maximally entangled bases and mutually unbiased bases[J]. Phys Rev A,2013,88(3):034301(4).

[3]Bravyi S,Smolin J A. Unextandible maximally entangled bases[J]. Phys Rev A,2011,84(4):042306(3).

[4]Wootters W K,Fields B D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements[J]. Ann Phys (NY),1989,191:363-381.

[5]Adamson R B A,Steinberg A M. Improving quantum state estimation with mutually unbiased bases[J]. Phys Rev Lett,2010,105(3):030406(4).

[6]Fernández-Pérez A,Klimov A B,Saavedra C. Quantum process reconstruction based on mutually unbiased basis[J]. Phys Rev A,2011,83(5):052332(6).

[7]Cerf N J,Bourennane M,Karlsson A,et al. Security of quantum key distribution usingd-level systems[J]. Phys Rev Lett,2002,88(12):127902(4).

[8]YU I C,Lin F L,Huang C Y. Quantum secret sharing with multilevel mutually (un)biased bases[J]. Phys Rev A,2008,78(1):012344(5).

[9]Brierley S,Weigert S. Maximal sets of mutually unbiased quantum state in dimension 6[J]. Phys Rev A,2008,78(4):042312(8).