王志璽 楊曉榮 達瓦 賈永張

摘 要 文中就單擺測重力加速度的影響因子進行分析，并對用單擺測重力加速度的計算公式作出修正。

關鍵詞 重力加速度 單擺 精確度 修正

中圖分類號：Q311.1 文獻標識碼：A

Pendulum Impact Factor Analysis and Revision

Formula of Acceleration of Gravity

WANG Zhixi， YANG Xiaorong， Dawa， JIA Yongzhang

（Department of Physics， Academy of Natural Sciences， Tibet University， Lhasa， Tibet 850000）

Abstract Analysis Pendulum impacting factor of acceleration of gravity ， the revised formula for measuring acceleration of gravity with simple pendulum experiment.

Key words acceleration of gravity； simple pendulum； impacting factor； revision

0 引言

單擺測重力加速度是物理學中較為簡單和傳統(tǒng)的一種方法，但其實驗的準確性受到了實驗和計算公式的影響，本文對影響單擺法測重力加速度的精確度進行分析并對單擺法測重力加速度的計算公式加以修正。

1 單擺測重力加速度實驗的影響因子分析

單擺法測量重力加速度的實驗原理①： = 4

將看做與的函數，由此可得到 （ ，） = 4 ，對該函數求全微分

= + = = （）

由此可知將看作常數則函數 （ ，）只與、有關，故誤差來源于擺長和時間周期，從上式可知周期對函數 （ ，）的影響為主要因素。

1.1 實驗過程中儀器與操作的影響

設為擺線長，為擺球的半徑，為小球的質量，為擺線的質量，考慮操作時擺球作圓錐運動和復擺效應則單擺運動方程為：

（ + ）

= [ + + ]

解得近似解

（<5埃鄭？=

= 2

= （ + ）[1 + （1 + + ）]

由上式可知擺線的質量和長度、擺球的質量和半徑、擺角、實驗的操作都影響著周期的測量，進而影響對重力加速度的測量。

1.2 地球的高度及緯度對單擺測重力加速的影響

高度影響設擺球離地表面的高度為，地球的半徑為，地球的質量為，擺球的質量為，依據萬有引力可知：②

擺球在地表的某一高度

= ，

由此 = ，

周期 = 2，

則擺球離地表高度時單擺的周期與的比值為

= = 1 + ，

由此可知隨著擺球離地面的高度的增大而增大。

緯度影響設地球某一點緯度為，測量重力加速的經驗公式為

= 9.78030（1 + 0.005302 + 0.0000072）·。

當 = 0笆保？= 9.7803·，

周期 = 2，

則單擺在地球某一點緯度為的周期與的比值，

= = 9.78030，

由此可知重力加速度在[0，]的區(qū)間內隨著緯度的增大而減小。

2 測量時對周期產生影響的項進行修正③

擺線長，忽略圓錐擺的影響，擺線的質量，擺球的半徑，擺球的質量。

2.1 復擺對周期的影響修正

依據轉動定理可得

（ + ） = [ + + ]

當很小時，≈，可解得該方程的近似解為

由此可得考慮到復擺對重力加速度修正為

2.2 擺角對周期的影響修正

設為任意時刻的擺角，由單擺的運動方程可知

=

解得方程的周期（擺角不是很?。?/p>

= {1 + + + …+}

由此可得考慮到擺角對重力加速度修正為

= {1 + + + …+}

2.3 空氣浮力對周期的影響修正

設空氣的阻力為，空氣的密度為，擺球的密度為，則（ + ） （ + ）= [ + + ]

解得該方程的近似解為

（浮力公式： = ）

由此可得考慮到空氣浮力對重力加速度修正為

2.4 阻尼運動周期的影響修正

設球所受空氣阻力為，空氣的黏度，物體運動的速度，阻尼因素，在雷諾數小于1的情況下，由斯托克斯公式可知：④

= （ = ）

其運動學方程可寫為（≤5埃？

+ = （ + ）

令 = ， = ，≈，

+ 2 + = 0

解得該方程的近似解

由此可得考慮到阻尼運動對重力加速度修正為

= （ + ）（） = （） +

2.5 總體修正

把復擺、擺角、浮力及阻尼運動對重力加速度修正綜合到一起考慮到 ， ，≤5埃厙蛭扯燃案叨齲僮魘弊緞偉謨跋歟勻ジ嘰蝸羈傻彌亓鈾俁鵲男拚轎？

= {（）[2 + （ + ） + + ] + }（2 + + ）

3 總結

通過分析地球的緯度及高度、復擺、擺角、空氣浮力、阻尼運動和實驗操作中對測重力加速度的影響，對重力加速度公式做了修正，使實驗測得的數據在該修正公式下計算得更加精確。

注釋

① 孫丙西.單擺測重力加速度的修正公式[J].內蒙古民族大學學報（自然科學版），2005.20（6）.

② 梁紹榮等.普通物理學·力學（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：135-137.

③ 張存恕等.大學物理實驗（第1版）[M].四川科學技術出版社，1986：249-252.

④ 梁紹榮等.普通物理學·力學（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：270-305.