孟凡超，劉成龍，馬洪磊，張 強(qiáng)，秦 寧

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都 610031)

鐵路既有線經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)必然會(huì)產(chǎn)生變形，在縱斷面上一般表現(xiàn)為沉降變形。由于離心力的影響，鐵路豎曲線的沉降尤為嚴(yán)重。文獻(xiàn)[1]指出，鐵路提速后豎曲線地段軌道動(dòng)態(tài)檢測(cè)時(shí)常出現(xiàn)超限值，影響旅客乘坐舒適度。為及時(shí)獲取既有線現(xiàn)狀的線形參數(shù)并對(duì)既有線進(jìn)行整正，需定期對(duì)既有線進(jìn)行復(fù)測(cè)。可采用全站儀結(jié)合軌檢小車對(duì)既有軌面進(jìn)行三維坐標(biāo)測(cè)量，依據(jù)復(fù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)鐵路縱斷面參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化的首要步驟是要進(jìn)行線形分段，傳統(tǒng)方法是依據(jù)測(cè)點(diǎn)正矢或曲率的變化規(guī)律，人工識(shí)別出線形分段點(diǎn)。

人工方法進(jìn)行既有線鐵路線形分段靈活性較強(qiáng)，但在大量既有線線形外業(yè)觀測(cè)數(shù)據(jù)中，由于測(cè)量誤差的影響，分段精度較低。由于分段點(diǎn)的選擇偏差對(duì)于縱斷面圓曲線最小二乘法擬合結(jié)果敏感度較高[2]，較低的分段精度會(huì)影響后續(xù)工作?；诖耍疚难芯恳环N將正矢和最小二乘原理相結(jié)合的迭代算法。

1 縱斷面線形及其性質(zhì)

鐵路縱斷面一般包括直線坡段和豎曲線兩種線形，二者是縱斷面線形的基本要素。兩縱坡線的交點(diǎn)稱為變坡點(diǎn)，為保證列車經(jīng)過(guò)變坡點(diǎn)時(shí)軌道的平順性，當(dāng)相鄰兩坡段坡度差大于一定限度時(shí)，需設(shè)置豎曲線連接。我國(guó)的鐵路縱斷面變坡點(diǎn)處一般設(shè)置圓曲線型豎曲線。

豎曲線按照凹凸性不同，可分為凹形、凸形兩種，如圖1，設(shè)變坡點(diǎn)相鄰兩縱坡的坡度分別為i1，i2，則坡度差w=i1－i2，w的正負(fù)與豎曲線的凹凸有關(guān)，w為正時(shí)稱為凸形豎曲線;反之，稱為凹形豎曲線。轉(zhuǎn)向角α=±(arctani1－arctani2)，豎曲線半徑R一般采用設(shè)計(jì)值或擬合值，由此可計(jì)算豎曲線諸要素，計(jì)算公式參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

圖1 道路縱斷面線形示意

在鐵路縱斷面，分段點(diǎn)里程可通過(guò)變坡點(diǎn)里程按照公式(1)進(jìn)行計(jì)算。

式中:LZY，LYZ為兩分段點(diǎn)(直圓點(diǎn)ZY、圓直點(diǎn)YZ)里程，LBP為變坡點(diǎn)的里程，T為圓曲線切線長(zhǎng)。

2 線形參數(shù)的最小二乘法擬合

線路線形測(cè)點(diǎn)的高程觀測(cè)值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，依據(jù)最小二乘原理來(lái)擬合直線坡段和圓曲線，可以使各觀測(cè)點(diǎn)高程與擬合高程的偏差平方和達(dá)到最小。鐵路縱斷面上，觀測(cè)的離散點(diǎn)可用里程和高程表示出來(lái)，進(jìn)而可以依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，確定線形參數(shù)。

縱斷面線形參數(shù)主要包括直線坡段的斜率與截距和圓曲線的半徑與圓心。根據(jù)軌道實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和優(yōu)化線形可計(jì)算出測(cè)點(diǎn)中線里程，結(jié)合測(cè)點(diǎn)的高程數(shù)據(jù)，對(duì)于相應(yīng)線形的測(cè)點(diǎn)可依據(jù)最小二乘原理來(lái)計(jì)算其線形參數(shù)?？紤]到縱斷面只需對(duì)高程進(jìn)行平差計(jì)算，直線坡段的斜率與截距宜采用普通最小二乘法擬合，文獻(xiàn)[4]中有詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。圓曲線半徑與圓心的最小二乘法擬合可按照下面的步驟進(jìn)行。

首先由位于圓曲線兩端和中部的3個(gè)點(diǎn)，求出圓曲線方程中的參數(shù)近似值X，Y，R0，這3點(diǎn)的里程和高程分別為 (X1，Y1)，(Xn/2，Yn/2)，(Xn，Yn)。設(shè)圓心坐標(biāo)為(XO，YO)，半徑為R，可得如下關(guān)系式:

式(2)中，δX，δY，δR 為參數(shù)近似值改正數(shù)。依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，若w為坡度差，則可得擬合圓曲線的誤差方程

將式(3)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并線性化，通過(guò)間接平差計(jì)算即可得到擬合圓曲線圓心坐標(biāo)和半徑的最優(yōu)解。

線形擬合完成后，可通過(guò)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差來(lái)對(duì)各線形的擬合效果進(jìn)行分析，也可通過(guò)擬合殘差平方和對(duì)線形整體擬合效果進(jìn)行分析。驗(yàn)后單位權(quán)中誤差越小，相應(yīng)線形擬合效果越好。驗(yàn)后單位權(quán)中誤差為

式中，V為改正數(shù)向量，P為權(quán)陣，n為擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)，t為參數(shù)的個(gè)數(shù)。

3 改進(jìn)的基于正矢的分段方法

3.1 計(jì)算正矢

正矢計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示，若以里程為橫軸、高程為縱軸建立直角坐標(biāo)系，任取鐵路線上等間隔的3個(gè)測(cè)點(diǎn)，記為 j－ 1，j，j+1，則 3 點(diǎn)坐標(biāo)為 (xj－1，yj－1)，(xj，yj)，(xj+1，yj+1)，x，y 分別表示測(cè)點(diǎn)的里程和高程。依據(jù)測(cè)點(diǎn)正矢的定義可得測(cè)點(diǎn)正矢fj的計(jì)算公式為

圖2 正矢計(jì)算簡(jiǎn)圖

式中，αj為測(cè)點(diǎn)j對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)的傾角，也即轉(zhuǎn)向角。

若不考慮測(cè)量誤差和軌道變形的影響，理論上當(dāng)正矢對(duì)應(yīng)的弦線兩端點(diǎn)都處于同一種線形時(shí)，線形分段較為簡(jiǎn)單，因?yàn)閳A曲線上的測(cè)點(diǎn)在弦長(zhǎng)一定時(shí)其正矢相等，直線坡段上的測(cè)點(diǎn)任何時(shí)候其正矢均為零;當(dāng)計(jì)算正矢弦線的兩端處于不同線形時(shí)，直線坡段和圓曲線連接處附近測(cè)點(diǎn)一定弦長(zhǎng)的正矢呈線性變化，并且直圓點(diǎn)、圓直點(diǎn)位于測(cè)點(diǎn)時(shí)其正矢為圓曲線正矢(記為f)的1/2?？v斷面線形一般為直線坡段—圓曲線—直線坡段的復(fù)合曲線，其測(cè)點(diǎn)正矢變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 正矢變化規(guī)律

3.2 閾值與弦長(zhǎng)的確定

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)由于受測(cè)量誤差的影響波動(dòng)較大，線形分段閾值應(yīng)易于與測(cè)點(diǎn)高程中誤差所引起的計(jì)算測(cè)點(diǎn)正矢誤差相區(qū)分。為便于分段，線形分段閾值又分為直線坡段上測(cè)點(diǎn)正矢閾值fl和圓曲線上測(cè)點(diǎn)正矢閾值fO。由于不考慮里程誤差的影響，且豎曲線轉(zhuǎn)向角一般為一較小值，依據(jù)誤差傳播定律，測(cè)點(diǎn)正矢的中誤差約為測(cè)點(diǎn)高程中誤差的倍。為便于線形分段閾值與其誤差進(jìn)行區(qū)分，fl可取3倍的測(cè)點(diǎn)高程中誤差;又因?yàn)閳A直點(diǎn)、直圓點(diǎn)位于測(cè)點(diǎn)時(shí)其正矢為圓曲線正矢f的1/2，所以fO可取圓曲線正矢的一半。為與直線坡段測(cè)點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分，可設(shè)置fO為fl的2倍。閾值確定后，測(cè)點(diǎn)所屬區(qū)段和閾值有如下關(guān)系:測(cè)點(diǎn)正矢＞fO時(shí)，測(cè)點(diǎn)位于圓曲線段上;測(cè)點(diǎn)正矢＜fl時(shí)，測(cè)點(diǎn)位于直線坡段上;其余測(cè)點(diǎn)位于分段點(diǎn)附近。fO確定后，進(jìn)而大致確定圓曲線正矢f=2fO，再由式(7)確定弦長(zhǎng)Lxc。

式中:R為圓曲線半徑設(shè)計(jì)值，應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)文件或線路設(shè)備臺(tái)賬來(lái)確定。

計(jì)算每個(gè)測(cè)點(diǎn)以Lxc為弦長(zhǎng)的正矢，進(jìn)而可得測(cè)點(diǎn)正矢變化規(guī)律圖。經(jīng)試驗(yàn)得出:弦長(zhǎng)適中(如圖4中后兩段豎曲線附近)，測(cè)點(diǎn)正矢呈梯形變化;弦長(zhǎng)過(guò)大(如圖4中前兩段豎曲線附近)，測(cè)點(diǎn)正矢呈三角形變化;弦長(zhǎng)過(guò)小時(shí)(如圖5)，正矢變化雜亂無(wú)章。弦長(zhǎng)適中或過(guò)大均可依據(jù)正矢實(shí)現(xiàn)分段，相比第一種情況分段效果更好，弦長(zhǎng)過(guò)小時(shí)不能依據(jù)正矢進(jìn)行分段。據(jù)此原則調(diào)整弦長(zhǎng)，以便能夠通過(guò)正矢正確分離出屬于不同線形的測(cè)點(diǎn)。

圖4 易于分段的測(cè)點(diǎn)正矢圖像

圖5 不易分段的測(cè)點(diǎn)正矢圖像

3.3 線形分段算法

鐵路既有線經(jīng)平面優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)軌道實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和優(yōu)化線形可計(jì)算測(cè)點(diǎn)的中線里程，結(jié)合從外業(yè)觀測(cè)數(shù)據(jù)中提取的測(cè)點(diǎn)高程，建立里程、高程直角坐標(biāo)系，依據(jù)二者的函數(shù)關(guān)系即可進(jìn)行縱斷面的分段計(jì)算。算法步驟如下:

1)首先依據(jù)測(cè)量高程中誤差推算閾值，再計(jì)算圓曲線正矢，由圓曲線正矢按公式(7)計(jì)算弦長(zhǎng)，進(jìn)而搜索每個(gè)測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)兩端的臨近測(cè)點(diǎn)，按照公式(5)計(jì)算復(fù)測(cè)曲線上該測(cè)點(diǎn)的正矢(兩端默認(rèn)為直線坡段，測(cè)點(diǎn)正矢為0)，依據(jù)測(cè)點(diǎn)正矢圖像通過(guò)改變弦長(zhǎng)來(lái)對(duì)測(cè)點(diǎn)正矢進(jìn)行調(diào)整，直到利用該弦長(zhǎng)下的測(cè)點(diǎn)正矢易于實(shí)現(xiàn)分段為止。

2)考慮到測(cè)點(diǎn)中可能存在由于測(cè)量粗差而引起的測(cè)點(diǎn)正矢與相鄰測(cè)點(diǎn)正矢相差較大的點(diǎn)，可通過(guò)比較差值是否超過(guò)了一定限值來(lái)判斷該點(diǎn)觀測(cè)值是否是粗差，并予以剔除。

3)依據(jù)測(cè)點(diǎn)正矢與線形的關(guān)系，分離出直線坡段上的測(cè)點(diǎn)，近似統(tǒng)計(jì)圓曲線上測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)q，對(duì)直線坡段的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合，由擬合出的線形參數(shù)計(jì)算變坡點(diǎn)和轉(zhuǎn)向角。

4)搜索曲線上距離變坡點(diǎn)最近的點(diǎn)，易知該點(diǎn)一定位于圓曲線上。選出該測(cè)點(diǎn)大里程方向和小里程方向各p個(gè)測(cè)點(diǎn)，用這些測(cè)點(diǎn)來(lái)擬合圓曲線參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算圓曲線要素。

5)按照公式(1)計(jì)算分段點(diǎn)里程，依據(jù)分段點(diǎn)里程區(qū)分出屬于直線坡段的測(cè)點(diǎn)和屬于圓曲線的測(cè)點(diǎn)，再次擬合直線坡段和圓曲線，重新計(jì)算變坡點(diǎn)、切線長(zhǎng)和分段點(diǎn)，直到分段點(diǎn)坐標(biāo)穩(wěn)定為止。

6)分段后，運(yùn)用相應(yīng)線形的參數(shù)對(duì)直線坡段、圓曲線測(cè)點(diǎn)進(jìn)行重新計(jì)算，可得到擬合后的任一測(cè)點(diǎn)里程對(duì)應(yīng)的高程，依據(jù)公式(4)計(jì)算驗(yàn)后單位權(quán)中誤差，進(jìn)而對(duì)擬合效果進(jìn)行分析。由于圓曲線線形參數(shù)對(duì)參與最小二乘法擬合的測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)比較敏感，初值p對(duì)擬合效果影響較大?？梢来卧黾觩的個(gè)數(shù)，重復(fù)步驟(4)，(5)，(6)，計(jì)算每一次擬合的殘差平方和，取殘差平方和最小時(shí)的分段點(diǎn)坐標(biāo)作為最終結(jié)果。

縱斷面分段計(jì)算流程如圖6所示。

圖6 縱斷面分段計(jì)算流程

4 算例

按照上述算法，應(yīng)用Visual C#語(yǔ)言編制鐵路縱斷面豎曲線分段擬合計(jì)算程序，以石武線的一段設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)及其加上隨機(jī)誤差(±2，±3，±4 mm)后的3組仿真數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，這段鐵路縱斷面是由5段直線坡段和4段圓曲線組成?；谝陨纤惴ǎ瑢?dǎo)入里程、高程數(shù)據(jù)后，輸出分段點(diǎn)的里程和高程。表1為不同仿真誤差下分段點(diǎn)里程設(shè)計(jì)值與計(jì)算值比較?？梢?jiàn)，仿真誤差為±2 mm時(shí)，分段誤差絕對(duì)值最大為0.446 m，最小為0.033 m;仿真誤差為±3 mm時(shí)，分段誤差絕對(duì)值最大為0.453 m，最小為0.09 m;仿真誤差為±4 mm時(shí)，分段誤差絕對(duì)值最大為0.734 m，最小為0.025 m。而人工識(shí)別出的分段點(diǎn)誤差一般在10 m左右且不易控制。表2是各線形擬合后的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差。可見(jiàn)，仿真誤差為±2 mm時(shí)，驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最大值為1.212 mm;仿真誤差為 ±3 mm時(shí)，驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最大值為1.81 mm;仿真誤差為±4 mm時(shí)，驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最大值為2.352 mm。驗(yàn)后單位權(quán)中誤差均小于仿真誤差，表明各線形擬合達(dá)到了較好的效果。

表1 不同仿真誤差下分段點(diǎn)里程設(shè)計(jì)值與計(jì)算值的比較

表2 各線形擬合驗(yàn)后單位權(quán)中誤差 mm

5 結(jié)論

1)基于既有線的仿真數(shù)據(jù)，分析了縱斷面線形的特點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)正矢的變化規(guī)律，建立了依據(jù)最小二乘原理對(duì)線形參數(shù)進(jìn)行擬合的模型。

2)根據(jù)所建立的計(jì)算模型，按照起落道量平方和最小的原則，實(shí)現(xiàn)了線形分段點(diǎn)的自動(dòng)識(shí)別。鐵路既有線縱斷面線形分段采用正矢與最小二乘擬合相結(jié)合的方法，提高了分段點(diǎn)的精度，易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。該方法克服了傳統(tǒng)的基于曲率、正矢人工識(shí)別方法存在的分段點(diǎn)誤差不能控制的缺點(diǎn)，為既有線縱斷面的整正計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

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