陳成鋼

(天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

大學(xué)數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，而且是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，在人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響．教育部“卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃”(簡(jiǎn)稱“卓越計(jì)劃”)，是貫徹落實(shí)《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》和《國(guó)家中長(zhǎng)期人才發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》的重大改革項(xiàng)目，也是促進(jìn)我國(guó)由工程教育大國(guó)邁向工程教育強(qiáng)國(guó)的重大舉措．為落實(shí)“卓越計(jì)劃”，教育部和天津市教委等教育主管部門(mén)專門(mén)立項(xiàng)支持大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革．國(guó)際上，美國(guó)在邁向2020工程師培養(yǎng)計(jì)劃標(biāo)準(zhǔn)(13條)中指出學(xué)生應(yīng)具備數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程知識(shí)及應(yīng)用數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程知識(shí)能力．

無(wú)論國(guó)際還是國(guó)內(nèi)，大學(xué)數(shù)學(xué)是卓越人才培養(yǎng)關(guān)鍵中的重點(diǎn)已成為共識(shí)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要獲得一大堆重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和結(jié)論，更為重要的是要掌握數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)．課堂教學(xué)是人才培養(yǎng)的中心環(huán)節(jié)，教學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，更是一種藝術(shù)[1]．因此，教學(xué)方法的改革與創(chuàng)新應(yīng)成為教學(xué)改革的切入點(diǎn)和突破口．

1 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必要性

近年來(lái)，隨著高校擴(kuò)招及大班授課，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等方面的差異，現(xiàn)行的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一些亟待解決的問(wèn)題，使得大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革勢(shì)在必行．

1.1 教學(xué)觀念陳舊

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中過(guò)分強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性，這與擴(kuò)招及大班授課、生源差異等產(chǎn)生了難以調(diào)和的矛盾．教學(xué)中不僅要強(qiáng)調(diào)其邏輯的嚴(yán)密性、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且應(yīng)該將其作為專業(yè)課程的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用性、學(xué)生思維的開(kāi)放性、解決實(shí)際問(wèn)題的自覺(jué)性[2]．

1.2 教學(xué)內(nèi)容與應(yīng)用相脫節(jié)

隨著近代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不再局限于傳統(tǒng)的物理、力學(xué)、普通工程技術(shù)的范圍，還擴(kuò)展到包括生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象、人口、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、管理、社會(huì)學(xué)等極其廣泛的領(lǐng)域．相比之下，現(xiàn)有的教學(xué)內(nèi)容跟不上時(shí)代與實(shí)際應(yīng)用的需要，不能學(xué)以致用，難以適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的要求．

1.3 課堂教學(xué)的信息量較小

一直以來(lái)，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)手段比較單一，大多授課方式仍然沿用教師為主導(dǎo)的模式，過(guò)分強(qiáng)調(diào)反復(fù)講解與訓(xùn)練．這種方法固然有利于學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，但也容易造成學(xué)生的“思維惰性”，不利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)造能力，同時(shí)，也使得課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的信息量極為有限．

2 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的探索

教學(xué)方法雖然具有一定的模式，但其形式多種多樣，千變?nèi)f化．教師在教學(xué)過(guò)程中不能生搬硬套某種教學(xué)方法，更不能千篇一律套用一種教學(xué)手段，而是要深刻領(lǐng)會(huì)“教無(wú)定法，貴在得法”這個(gè)道理．教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，以及學(xué)生所具有的知識(shí)結(jié)構(gòu)及興趣愛(ài)好，為每節(jié)課“量身定做”一套靈活多變的教學(xué)方法．

2.1 以“案例教學(xué)法”導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念

案例教學(xué)最早起源于美國(guó)哈佛大學(xué)，它是指在課堂教學(xué)中，教師本著理論與實(shí)際相結(jié)合的原則，依據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容的需要以及學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)，運(yùn)用典型案例，將學(xué)生引入一個(gè)特定的真實(shí)情境中．通過(guò)對(duì)案例的分析、討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究性學(xué)習(xí)，了解與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題能力的一種教學(xué)方法．具體地說(shuō)，就是將案例作為教學(xué)材料，結(jié)合教學(xué)主題，通過(guò)討論、問(wèn)答等師生互動(dòng)的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)習(xí)者了解與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)者高層次能力的教學(xué)方法．從這個(gè)概念中可以看出，案例教學(xué)主要強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：①?gòu)?qiáng)調(diào)以案例為教學(xué)材料；②強(qiáng)調(diào)師生互動(dòng)的教學(xué)過(guò)程；③強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，并培養(yǎng)學(xué)生高層次的能力．這與“卓越計(jì)劃”培養(yǎng)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)不謀而合．

案例教學(xué)法的實(shí)施可以分為三個(gè)步驟：①選擇案例，教師在上課前要精心選擇案例，選取案例時(shí)要考慮其目的性、趣味性、代表性、真實(shí)性和實(shí)用性；②分析案例，在引導(dǎo)學(xué)生理解案例的基礎(chǔ)上，教師提出一些有針對(duì)性的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生去思考，討論并歸納出解決問(wèn)題的思路和方法，然后建立數(shù)學(xué)模型并求解，得到案例的答案；③歸納推廣案例，再列舉一些類似的案例，分析案例解決的思想方法，通過(guò)對(duì)比找到共性，歸納并提煉出新的數(shù)學(xué)概念和方法．為了做好案例教學(xué)，本課題組建立了大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用案例庫(kù)并制作了相應(yīng)的課件．例如，無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的引入.

第一步，結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)作為導(dǎo)引0.1+0.01+0.001+0.0001+…=，此例說(shuō)明無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加有意義且可以等于一個(gè)數(shù)．

第二步，更有趣的例子如Zeno’s Paradox(芝諾悖論)Zeno：

若用T表示一半的路程，這是一個(gè)沒(méi)有終結(jié)的過(guò)程，因此永遠(yuǎn)跑不到原點(diǎn)．實(shí)際情況是若等速行進(jìn)，跑一半路程所需時(shí)間為 T，則跑完全程所需時(shí)間為2 T，即有

由此導(dǎo)出對(duì)上面等式的理解．

另一方面，若

令n→∞，結(jié)果為2,T，與上面結(jié)果相同．可見(jiàn)，要把無(wú)限多項(xiàng)之“和”等于2 T理解為前n項(xiàng)之和的極限．

但是，如果以如下方式減速前進(jìn)，此時(shí)需時(shí)為

這種情況下，Zeno是有道理的：永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)．

從上述實(shí)例不難得到以下結(jié)論：無(wú)窮級(jí)數(shù)是以加法形式出現(xiàn)的極限問(wèn)題，正由于本質(zhì)是極限，故出現(xiàn)“極限是否存在”的問(wèn)題，即無(wú)窮多項(xiàng)“相加”可能是“沒(méi)有和”的；然后再正式定義無(wú)窮級(jí)數(shù)、部分和等概念．

另外，引入概念時(shí)，要注意其幾何、物理背景或數(shù)學(xué)背景，用直觀語(yǔ)言進(jìn)行描述；在概念的表述上，一定要教給學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的嚴(yán)謹(jǐn)性，但為了學(xué)生便于理解，可結(jié)合圖形等進(jìn)行表述，同時(shí)講清楚概念的內(nèi)涵、外延，最后注意概念的應(yīng)用，如級(jí)數(shù)在年金現(xiàn)值等方面的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)奠基人，荷蘭數(shù)學(xué)家Freudenthal有一句名言：“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想，以其被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來(lái)．一個(gè)問(wèn)題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗．”在概念教學(xué)中，善于用平易、通俗的語(yǔ)言揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號(hào)后面的數(shù)學(xué)思考，這既是教學(xué)藝術(shù)，也是一種教學(xué)境界．

實(shí)踐證明案例教學(xué)不僅加強(qiáng)了師生交流，活躍了課堂氣氛，而且可以讓學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容和實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

2.2 用“對(duì)比法”引入概念比較

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，適時(shí)采用對(duì)比法引入新的數(shù)學(xué)概念能使得學(xué)生在接受新知識(shí)的同時(shí)對(duì)已有概念做到科學(xué)的比較，達(dá)到良好的教學(xué)效果．

例如，關(guān)于“函數(shù)f(x)在x→a時(shí)的極限”不依賴于x=a點(diǎn)處的函數(shù)值；“函數(shù) f(x)在x=a點(diǎn)處的連續(xù)性”卻依賴于x=a點(diǎn)處的函數(shù)值[3]．

教學(xué)過(guò)程中，在同一屏上展示下面三幅動(dòng)畫(huà)：第一幅是函數(shù)f(x)在x→a時(shí)的極限等于該點(diǎn)處的函數(shù)值；第二幅除了函數(shù)在x=a點(diǎn)處無(wú)定義外與第一幅一樣；第三幅除了函數(shù)在x=a點(diǎn)處的函數(shù)值比原來(lái)大以外與第一幅一樣．這樣，三幅圖表達(dá)的函數(shù)，在x→a時(shí)的極限都存在，并且極限值也相同；但是三幅圖表達(dá)的函數(shù)是不同的，因?yàn)樗鼈冊(cè)趚=a點(diǎn)處的函數(shù)值不同．這表明“函數(shù) f(x)在x→a時(shí)的極限”不依賴于x=a點(diǎn)處的函數(shù)值．

而第一幅圖的函數(shù)在x=a點(diǎn)處連續(xù)；第二幅、第三幅圖的函數(shù)在x=a點(diǎn)處不連續(xù)；這表明“函數(shù)在x=a點(diǎn)處的連續(xù)性”依賴于x=a點(diǎn)處的函數(shù)值．這些區(qū)別，本來(lái)是學(xué)生容易混淆和出錯(cuò)的地方，現(xiàn)在用形象、生動(dòng)的動(dòng)畫(huà)配合講授，學(xué)生就比較容易理解和記?。?/p>

2.3 用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法”開(kāi)展討論課

所謂“問(wèn)題作驅(qū)動(dòng)”是指：一是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)過(guò)程；二是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)師生交流討論．因此，討論題設(shè)計(jì)是非常關(guān)鍵的．一般說(shuō)來(lái)，討論題應(yīng)從以下幾方面組織、設(shè)計(jì)：根據(jù)教學(xué)目的和要求設(shè)計(jì)討論題，使得在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下完成教學(xué)任務(wù)；圍繞有利于揭示思想和解決問(wèn)題的方法規(guī)律設(shè)計(jì)討論題、以提示學(xué)生總結(jié)提升；根據(jù)往屆學(xué)生理解困難、容易出現(xiàn)問(wèn)題的地方設(shè)計(jì)討論題，以解疑釋惑，避免錯(cuò)誤再現(xiàn)．教師還應(yīng)在課堂上因勢(shì)利導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題后，隨時(shí)提出新的討論題[4]．

例如，在講解拉格朗日微分中值定理時(shí)，定理的證明需要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，如果在定理的條件和結(jié)論介紹后，把輔助函數(shù)和盤(pán)托出，然后證明結(jié)論無(wú)誤．學(xué)生聽(tīng)完課后承認(rèn)結(jié)論是嚴(yán)格的，可是他們無(wú)法理解這些命題是如何提出的，輔助函數(shù)是如何構(gòu)造出來(lái)的．構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學(xué)證明中廣泛應(yīng)用，它們所起的作用是橋梁式的作用，甚至有些是起著無(wú)法替代的作用．所謂構(gòu)造函數(shù)法，就是為了使某一數(shù)學(xué)命題或者某一數(shù)學(xué)概念通過(guò)已知的數(shù)學(xué)概念和方法，人為地構(gòu)造出來(lái)的函數(shù)，這些函數(shù)的存在，往往依賴于已知命題的函數(shù)的存在，在條件的約束下，去達(dá)到證明或者說(shuō)明某種結(jié)論或概念的正確性．

拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)滿足：①在[a b]上連續(xù)；②在[a b]內(nèi)可導(dǎo)，則在[a b]內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得．下面討論拉格朗日中值定理證明的幾種思路．

拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，其證明的基本思路是借助羅爾定理，問(wèn)題的關(guān)鍵就是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，符合羅爾定理的三個(gè)條件，且應(yīng)用羅爾定理可以得到待證明的結(jié)論．

思路1：借助幾何圖形構(gòu)造輔助函數(shù)，如圖1所示．

圖1 拉格朗日中值定理的幾何圖形

此命題存在著明顯的幾何意義，這時(shí)只要根據(jù)其幾何的表達(dá)，就會(huì)方便快捷地構(gòu)造出輔助函數(shù)．

討論：①弦AB方程是什么？②弦AB與函數(shù)f(x)的圖像有什么關(guān)系? ③區(qū)性如何構(gòu)造輔助函數(shù)？

弦AB方程為

曲線f(x)減去弦AB，所得曲線兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等．故做輔助函數(shù)(x?a)]，借助羅爾定理可證．

這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法也稱為幾何直觀法，其優(yōu)點(diǎn)是直觀易懂，但是缺點(diǎn)同樣突出，應(yīng)用比較局限，對(duì)于一些圖形難以描述的結(jié)論，尤其所證明結(jié)論涉及高階導(dǎo)數(shù)則此方法失效．

思路2：羅爾中值定理的結(jié)論為一個(gè)導(dǎo)數(shù)形式，那么構(gòu)造輔助函數(shù)其實(shí)就是要尋找一個(gè)能夠滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的原函數(shù)，這樣，可以利用微分運(yùn)算的逆過(guò)程——積分運(yùn)算，來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)，以解決有關(guān)微分中值的問(wèn)題．

這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法常稱為“原函數(shù)法”(或者“湊導(dǎo)數(shù)法”)，其實(shí)是一種逆向思維的方法，在結(jié)合微分中值定理求解介值定理(或者零點(diǎn)定理)問(wèn)題時(shí)，要證明的結(jié)論往往是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這時(shí)可通過(guò)不定積分反求出原函數(shù)構(gòu)造出輔助函數(shù)，證明的步驟為：①將結(jié)論通過(guò)恒等變換，化為容易積分的函數(shù)形式，一般常用的變換方法是移項(xiàng)，將等式一端變換為常數(shù)0；②用x替換變換后等式中的變量；③用觀察法或者湊微分法(對(duì)一些不易湊出原函數(shù)的問(wèn)題，一般積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù))求出原函數(shù)，則原函數(shù)即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)；④最后結(jié)合微分中值定理，推導(dǎo)出結(jié)論．

思路3：首先讓學(xué)生考慮該結(jié)論

(2)f(b)? cb=f(a)? ca有什么特點(diǎn)？可以設(shè)想構(gòu)造什么輔助函數(shù)？顯然，此式的左右兩邊整齊、結(jié)構(gòu)清楚．此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一個(gè)滿足羅爾定理的輔助函數(shù)就顯得十分容易．學(xué)生很自然可以觀察到F(x)=f(x)? cx在a處和b處的函數(shù)值相等，當(dāng)然也滿足羅爾定理的另外兩個(gè)條件．

此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟為：①將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來(lái)并令其為k；②恒等變形，使等式一端為a及 f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b及 f(b)構(gòu)成的代數(shù)式；③觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式，若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為x，相應(yīng)的函數(shù)值改為f(x)；④端點(diǎn)換變量x的表達(dá)式即為輔助函數(shù)F(x)．

以上三種方法，從不同的途徑構(gòu)造的輔助函數(shù)證明了定理．學(xué)生可以體會(huì)到在中值定理的證明問(wèn)題中，存在輔助函數(shù)不唯一的情況，尤其重要的是掌握解決問(wèn)題的方法．其中思路1有應(yīng)用的局限性，思路2和3的變形方法可以推廣到其他問(wèn)題中．另外，在接下來(lái)講解的柯西中值定理中，同樣可以讓學(xué)生體驗(yàn)這三種方法，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，鍛煉其解決問(wèn)題的能力，從而在研究性學(xué)習(xí)中解決這一類證明問(wèn)題．很多學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)了許多典型的例題和巧妙的證明方法．這種方法的教學(xué)大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力．這樣啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維和認(rèn)識(shí)由淺人深，由表及里，層層深人，學(xué)生既能在一定程度了解這些命題的產(chǎn)生，也能自己體會(huì)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣．

進(jìn)一步的討論，由于對(duì)于一元函數(shù)而言，可導(dǎo)必連續(xù)，則能否用f(x)在[a b]上可導(dǎo)代替條件：①在[a b]上連續(xù)；②在(a b)內(nèi)可導(dǎo)？當(dāng)然可以，但是由于拉格朗日中值定理不涉及端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．這樣定理適用的范圍縮小了，此外，在保證結(jié)論成立的前提下，定理的條件越弱，定理適用的范圍越寬．因此不用后一個(gè)條件代替前一個(gè)條件．雖然這種課堂教學(xué)模式教師要付出較多，但學(xué)生在如何思考問(wèn)題和獲取知識(shí)方面將會(huì)得到很大收益．

2.4 課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

對(duì)于卓越人才的培養(yǎng)，應(yīng)該適當(dāng)介紹一些前沿性、方向性、潮流性的知識(shí)，如把軟件和建模等引入教學(xué)當(dāng)中．由于教材對(duì)原始研究背景的省略、教師對(duì)原始研究背景的重視不夠和課堂有限的學(xué)習(xí)時(shí)間等各種因素，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)很少對(duì)前人的數(shù)學(xué)探索過(guò)程進(jìn)行再現(xiàn)．然而，這正是數(shù)學(xué)建模思想的點(diǎn)睛之處．因此，重要概念的提出、公式和定理的推導(dǎo)都是前人對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的結(jié)果[5]．

如何將前人的建模思想在傳授知識(shí)的過(guò)程中再現(xiàn)給學(xué)生呢？可以通過(guò)如下兩個(gè)途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)．一是盡量用原始背景和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，通俗的比喻，直觀的演示引入定義、定理和公式；然后再由通俗的描述性語(yǔ)言過(guò)渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言．這樣不僅使學(xué)生真正了解到知識(shí)的來(lái)龍去脈，熟悉了這類問(wèn)題的本質(zhì)屬性，而且掌握了處理這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模方法．例如，教材中“ε?δ”、“ε?N”語(yǔ)言給予形式化精確描述的極限概念，教師應(yīng)從劉徽的“割圓術(shù)”講起[6]，并利用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)數(shù)值模擬演示，盡可能地向?qū)W生展示極限定義的形成過(guò)程，挖掘極限定義的實(shí)質(zhì)，然后再利用“ε?δ”、“ε?N”語(yǔ)言給出準(zhǔn)確的定義，從而使學(xué)生理解“極限”這個(gè)概念模型的構(gòu)建過(guò)程．這樣既省時(shí)又直觀，教學(xué)效果自然就會(huì)得到提高．

在課堂教學(xué)中精選數(shù)學(xué)應(yīng)用例題，進(jìn)行建模示范，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)．教師在課堂教學(xué)中適當(dāng)采取“減少經(jīng)典、增加現(xiàn)代、減少技巧、增加應(yīng)用”的原則，棄去了原書(shū)中部分經(jīng)典例子，加入既能反映問(wèn)題，又能開(kāi)闊學(xué)生眼界的例子．這樣教學(xué)，很容易牽動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深了對(duì)知識(shí)的理解，讓他們體驗(yàn)到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣，激發(fā)他們用數(shù)學(xué)的思維和方法積極地探索現(xiàn)實(shí)世界[6]．

2.5 通過(guò)“專題作業(yè)”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)

在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合單元教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和課后習(xí)題，找一些有難度又有啟發(fā)性的問(wèn)題給學(xué)生，來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性[7]．教學(xué)中可將部分課堂教學(xué)內(nèi)容壓縮為學(xué)生的課外自學(xué)內(nèi)容，通過(guò)作業(yè)考核自學(xué)效果．每學(xué)期應(yīng)增加兩次“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作業(yè)，作為學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模能力”的實(shí)踐訓(xùn)練．

2.6 激趣互動(dòng)

高等數(shù)學(xué)概念和公式多而復(fù)雜，學(xué)生容易混淆，將有關(guān)概念、公式，特別是重要的數(shù)學(xué)方法編成口訣形式予以概括和總結(jié)，為學(xué)生的理解和記憶提供了良好的方法．有時(shí)則以對(duì)對(duì)聯(lián)的方式引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性和積極性，形成活躍的課堂氛圍[8]．如定積分概念不僅是整個(gè)積分學(xué)的基礎(chǔ)，還深刻反映了其解決實(shí)際問(wèn)題的方法與思路，有著十分重要的教學(xué)意義．對(duì)其基本思想與過(guò)程可總結(jié)為四句話：“化整為零先細(xì)分，不變代變途徑新；累加求和得近似，確立極限定積分．”又如，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歷來(lái)是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一，在教學(xué)中，可總結(jié)為：“多元復(fù)合求偏導(dǎo)，圖解關(guān)系最重要；環(huán)節(jié)之間是乘法，路線之間用加號(hào)．”兩類曲面積分的計(jì)算是多數(shù)學(xué)生感到特別困難的，其實(shí)可用“一代二換三投影，一代二投三定號(hào)”七個(gè)字來(lái)概括，這樣不僅深刻地揭示了所學(xué)內(nèi)容、方法及注意事項(xiàng)，而且瑯瑯上口，便于記憶．把微積分的主要公式用數(shù)字做總結(jié)，如三對(duì)左右，即左右極限、左右聯(lián)系、左右導(dǎo)數(shù)；三套公式，即求導(dǎo)公式、微分公式及不定積分公式，這三個(gè)公式互相聯(lián)系．在函數(shù)極限問(wèn)題上，自變量的變化趨勢(shì)有六種，而函數(shù)變化趨勢(shì)是三種，有兩種是極限不存在，又有兩種固定趨勢(shì)，在教學(xué)中可借助多媒體動(dòng)態(tài)演示，給學(xué)生留下深刻的印象．

這點(diǎn)上，首屆國(guó)家級(jí)教學(xué)名師李尚志教授(于1997年和 2001年分別獲得國(guó)家級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)，主持三門(mén)國(guó)家級(jí)精品課程)很值得學(xué)習(xí)，對(duì)于很多數(shù)學(xué)名詞，李尚志教授都賦詩(shī)一首，如數(shù)學(xué)建模，他賦詩(shī)“數(shù)學(xué)精微何處尋，紛紜世界有模型．描摹萬(wàn)象得神韻，識(shí)破玄機(jī)算古今．豈是空文無(wú)實(shí)效，能生妙策濟(jì)蒼生．經(jīng)天緯地展身手，七十二行任縱橫”．?dāng)?shù)學(xué)、詩(shī)歌、自然現(xiàn)象、甚至社會(huì)現(xiàn)象，在李尚志教授的大腦中，已經(jīng)和諧地、自然地融為一體．能將數(shù)學(xué)理解并講授到如此境界，學(xué)生必將樂(lè)于學(xué)習(xí)．

3 結(jié) 語(yǔ)

教學(xué)方法的改革與創(chuàng)新是教師永恒的話題和主題，一位好的老師，應(yīng)該把書(shū)本變成自己的東西，把思想本質(zhì)講出來(lái)，應(yīng)該多想想，自己當(dāng)時(shí)是怎么學(xué)的，怎么才能讓學(xué)生學(xué)的更明白，怎樣才能把書(shū)本的知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的智慧．

無(wú)論哪種教學(xué)方法，做好配套的課件十分關(guān)鍵，用數(shù)學(xué)軟件、CAI課件和多媒體教學(xué)，在課堂教學(xué)當(dāng)中穿插數(shù)學(xué)內(nèi)容的幾何直觀表現(xiàn)；內(nèi)容設(shè)計(jì)上應(yīng)注重科學(xué)合理地運(yùn)用多媒體手段；應(yīng)采用現(xiàn)代的、科學(xué)的教學(xué)方法，正確地劃分知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用生動(dòng)的多媒體表現(xiàn)形式，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，實(shí)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可視性、通俗性，應(yīng)用性和趣味性．

自從將信息技術(shù)引入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以來(lái)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)深度和廣度得以提高，學(xué)習(xí)興趣提高明顯．最近兩年來(lái)，我校數(shù)學(xué)建模每年都有天津賽區(qū)一等獎(jiǎng)及國(guó)家獎(jiǎng)，今年還獲得兩項(xiàng)國(guó)家二等獎(jiǎng)，取得歷史最好成績(jī)．可以說(shuō)，“卓越計(jì)劃”下大學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革和實(shí)踐，正取得預(yù)期的效果．

［1］ 李大潛. 關(guān)于高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一些宏觀思考[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2010(1)：7-9.

［2］ 李明哲. 試論大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效率策略[J]. 黑龍江高教研究，2012(2)：154-156.

［3］ 顧 沛. 培養(yǎng)學(xué)生形象思維、邏輯思維、辯證思維的相輔相成——兼談“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”的教學(xué)改革[J]. 中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2010(3)：31-35.

［4］ 王家軍，徐光輝，王勝奎. 高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革實(shí)踐與回顧[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(4)：4-5.

［5］ 陳紹剛，黃廷祝，黃家琳. 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)建模意識(shí)與方法的培養(yǎng)[J]. 中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2010(12)：44-46.

［6］ 高興佑，向長(zhǎng)福. 如何破解極限定義教學(xué)難題[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20(5)：96-98.

［7］ 王友國(guó). 大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和教學(xué)內(nèi)容的改革與實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19(4)：88-91.

［8］ 徐映紅，徐定華．融數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(5)：12-13.