彭建開

立體幾何學(xué)習(xí)中，求空間角、尤其是二面角的難點有哪一些，并如何突破這些難點，本文將對這個問題做較深入的分析.

1. 用綜合法的難點分析.

用綜合法求空間角的難點是不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）證明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本題既可用向量法，也可用綜合法，難度都不大，但計算量不一樣.

解題方法小結(jié)：① 不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強；后階段毫無疑問要對綜合法解二面角進行突破，② 如何用綜合法求二面角，關(guān)鍵是作圖，有兩種方法，一是是定義法，在交線上做兩條垂線，得到二面角的平面角；二是是三垂線法，如果在一個平面中有一條直線與另一個平面垂直，就只要再做交線的垂線，再連接垂足和已知垂線的端點就得到二面角的平面角（要證明），如例1.這需要能在各種變式圖形中發(fā)現(xiàn)垂線，或者垂面，比如本題中的面AHB就是二面角A-VD-B的一個垂面.

2. 用向量法時建系的難點分析.

（1）求證：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：從已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因為PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以現(xiàn)在建系有三種選擇，一是用A作為 原點，AD、AC、AP分別做為x軸、y軸，還有一種是以A為原點，AP、AB作為z軸、y軸，由A點向CD作垂線作為x軸，第三種是以B點為原點，AB、BC分別作為y軸、x軸，另外作一條z軸，如下圖所示：

解題方法小結(jié)：建系的方法：要利用已知的線線、線面、面面垂直建系，有時候需要作一條或兩條坐標軸，建系時要使得盡量有最多的點在坐標軸上，使得各相關(guān)線段盡量與坐標軸平行，這樣求點的坐標就容易.

3. 用向量法求平面法向量的難點分析.

用向量法求平面的法向量時，最大的難點是個別點的坐標難以表示.

（Ⅰ）證明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角？茲的大小.

解析：本題建系較易，圖形中已經(jīng)有三條互相垂直的線，所以O(shè)點為原點，OA、OB、OA1做為x軸、y軸、z軸，下底面的各點坐標易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解題方法小結(jié)：可利用向量共線求某些點的坐標，如果在直觀圖中，有些點的坐標坐標不易觀察計算，可采取將其中的平面圖形單獨畫出來，便于觀察，例如例2中的第一種建系方法，求B點的坐標，我們可以畫出右邊的平面圖形.

這樣，計算起B(yǎng)點的坐標就一目了然了，特別是一些復(fù)雜的圖形，這個方法很有效.

4. 逆向解題中的計算難點分析.

逆向法即已知線線、線面、面面角求其中的某些線段長，或點的位置，難點有兩個，一是方法不熟，步驟不清，第二是計算錯誤，這是因為做得少、計算不熟練造成的.

例4.（廣州2014屆十校聯(lián)考）在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求證：BE//面PAD；

（2）求證：面PBC⊥面PBD；

解析：對第（3）問進行分析解答：已知二面角，求E點的位置，我們把這種題型叫逆向運算，這種題型向量法和綜合法都可以解，但向量法更有優(yōu)勢，更易想，但計算量較大，若計算不過關(guān)，就難以算對，解題的步驟應(yīng)當是先設(shè)二面角中相關(guān)的未知量，再根據(jù)求二面決定的一般過程進行計算，最后得到未知量的結(jié)果，具體如下：

解題方法小結(jié)：從上面的計算過程看出，逆向法解題，其實就是運用方程思想，通過給的已知條件，得到方程求未知數(shù)；由于有參數(shù)引入，導(dǎo)致計算量較大，計算較難，是相對要求較高的題，如果不熟練，就很難避免不出錯. 此種類型廣東高考還沒有考過，廣州及各地的模擬都有考過這種類型，外省的考題更是非常普遍，要引起重視.

在2014年高考試題將趨向于增加難度的背景下，有必要增加對立體幾何的備考復(fù)習(xí)：估計立體幾何的最后一問，還是求二面角（廣東省近四年都是求二面角），但應(yīng)當會較前幾年的試題有些變化；這些變化可能有以下幾方面：

（1）仍然是求空間角，或者求二面角的可能性大一點，并且兩種方法都能解，但會有點偏向綜合法，并且計算量增大. 像我們2014年一模的綜合法，要用到余弦定理、面積公式或相似三角形去計算邊長，并且有三次這樣的計算，那么計算能力的要求就高了. 計算能力不強的人， 肯定會在這個中間中斷他的解題， 例如廣州一模的試題如果用綜合法解就較難.

（2）向量法，可能建系較難，像2013年的高考題那樣，或者某些坐標難求，或者跟我們的模擬考和外省的考題一樣，進行逆向求解，增加計算量和思維量.

求空間角，尤其是二面角，要樹立一種解題意識，就是應(yīng)當綜合法優(yōu)先，這是因為綜合法一般來說計算量相對較少，而向量法計算量都較大并且易出錯，如果能用綜合法做的時候，你去選擇了向量法就不合算了；還有因為不能局限于什么題都去想向量法，這種思維模式就會導(dǎo)致往一個方向走，這就是我們廣東省2011年高考的立體幾何給我們的教訓(xùn)：如果先考慮綜合法，又快又好就解出來，結(jié)果很多同學(xué)一定要去建系，很難建，導(dǎo)致得分不高. 當然說綜合法優(yōu)先，不是一定要用綜合法解，如果覺得困難，并且題目有較明顯的坐標系，則馬上轉(zhuǎn)為向量法解就行了.

下面提供兩題作為預(yù)測題給同學(xué)們練習(xí)：endprint

立體幾何學(xué)習(xí)中，求空間角、尤其是二面角的難點有哪一些，并如何突破這些難點，本文將對這個問題做較深入的分析.

1. 用綜合法的難點分析.

用綜合法求空間角的難點是不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）證明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本題既可用向量法，也可用綜合法，難度都不大，但計算量不一樣.

解題方法小結(jié)：① 不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強；后階段毫無疑問要對綜合法解二面角進行突破，② 如何用綜合法求二面角，關(guān)鍵是作圖，有兩種方法，一是是定義法，在交線上做兩條垂線，得到二面角的平面角；二是是三垂線法，如果在一個平面中有一條直線與另一個平面垂直，就只要再做交線的垂線，再連接垂足和已知垂線的端點就得到二面角的平面角（要證明），如例1.這需要能在各種變式圖形中發(fā)現(xiàn)垂線，或者垂面，比如本題中的面AHB就是二面角A-VD-B的一個垂面.

2. 用向量法時建系的難點分析.

（1）求證：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：從已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因為PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以現(xiàn)在建系有三種選擇，一是用A作為 原點，AD、AC、AP分別做為x軸、y軸，還有一種是以A為原點，AP、AB作為z軸、y軸，由A點向CD作垂線作為x軸，第三種是以B點為原點，AB、BC分別作為y軸、x軸，另外作一條z軸，如下圖所示：

解題方法小結(jié)：建系的方法：要利用已知的線線、線面、面面垂直建系，有時候需要作一條或兩條坐標軸，建系時要使得盡量有最多的點在坐標軸上，使得各相關(guān)線段盡量與坐標軸平行，這樣求點的坐標就容易.

3. 用向量法求平面法向量的難點分析.

用向量法求平面的法向量時，最大的難點是個別點的坐標難以表示.

（Ⅰ）證明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角？茲的大小.

解析：本題建系較易，圖形中已經(jīng)有三條互相垂直的線，所以O(shè)點為原點，OA、OB、OA1做為x軸、y軸、z軸，下底面的各點坐標易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解題方法小結(jié)：可利用向量共線求某些點的坐標，如果在直觀圖中，有些點的坐標坐標不易觀察計算，可采取將其中的平面圖形單獨畫出來，便于觀察，例如例2中的第一種建系方法，求B點的坐標，我們可以畫出右邊的平面圖形.

這樣，計算起B(yǎng)點的坐標就一目了然了，特別是一些復(fù)雜的圖形，這個方法很有效.

4. 逆向解題中的計算難點分析.

逆向法即已知線線、線面、面面角求其中的某些線段長，或點的位置，難點有兩個，一是方法不熟，步驟不清，第二是計算錯誤，這是因為做得少、計算不熟練造成的.

例4.（廣州2014屆十校聯(lián)考）在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求證：BE//面PAD；

（2）求證：面PBC⊥面PBD；

解析：對第（3）問進行分析解答：已知二面角，求E點的位置，我們把這種題型叫逆向運算，這種題型向量法和綜合法都可以解，但向量法更有優(yōu)勢，更易想，但計算量較大，若計算不過關(guān)，就難以算對，解題的步驟應(yīng)當是先設(shè)二面角中相關(guān)的未知量，再根據(jù)求二面決定的一般過程進行計算，最后得到未知量的結(jié)果，具體如下：

解題方法小結(jié)：從上面的計算過程看出，逆向法解題，其實就是運用方程思想，通過給的已知條件，得到方程求未知數(shù)；由于有參數(shù)引入，導(dǎo)致計算量較大，計算較難，是相對要求較高的題，如果不熟練，就很難避免不出錯. 此種類型廣東高考還沒有考過，廣州及各地的模擬都有考過這種類型，外省的考題更是非常普遍，要引起重視.

在2014年高考試題將趨向于增加難度的背景下，有必要增加對立體幾何的備考復(fù)習(xí)：估計立體幾何的最后一問，還是求二面角（廣東省近四年都是求二面角），但應(yīng)當會較前幾年的試題有些變化；這些變化可能有以下幾方面：

（1）仍然是求空間角，或者求二面角的可能性大一點，并且兩種方法都能解，但會有點偏向綜合法，并且計算量增大. 像我們2014年一模的綜合法，要用到余弦定理、面積公式或相似三角形去計算邊長，并且有三次這樣的計算，那么計算能力的要求就高了. 計算能力不強的人， 肯定會在這個中間中斷他的解題， 例如廣州一模的試題如果用綜合法解就較難.

（2）向量法，可能建系較難，像2013年的高考題那樣，或者某些坐標難求，或者跟我們的模擬考和外省的考題一樣，進行逆向求解，增加計算量和思維量.

求空間角，尤其是二面角，要樹立一種解題意識，就是應(yīng)當綜合法優(yōu)先，這是因為綜合法一般來說計算量相對較少，而向量法計算量都較大并且易出錯，如果能用綜合法做的時候，你去選擇了向量法就不合算了；還有因為不能局限于什么題都去想向量法，這種思維模式就會導(dǎo)致往一個方向走，這就是我們廣東省2011年高考的立體幾何給我們的教訓(xùn)：如果先考慮綜合法，又快又好就解出來，結(jié)果很多同學(xué)一定要去建系，很難建，導(dǎo)致得分不高. 當然說綜合法優(yōu)先，不是一定要用綜合法解，如果覺得困難，并且題目有較明顯的坐標系，則馬上轉(zhuǎn)為向量法解就行了.

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立體幾何學(xué)習(xí)中，求空間角、尤其是二面角的難點有哪一些，并如何突破這些難點，本文將對這個問題做較深入的分析.

1. 用綜合法的難點分析.

用綜合法求空間角的難點是不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強.

例1.（2014年上海市高三二模）在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.

（1）證明：AB⊥平面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的余弦值.

解析：本題既可用向量法，也可用綜合法，難度都不大，但計算量不一樣.

解題方法小結(jié)：① 不能根據(jù)定義法和三垂線法作出平面角，這是因為我們平時的解答中過多依靠向量法，造成了同學(xué)們看圖、識圖困難，空間想象能力不強；后階段毫無疑問要對綜合法解二面角進行突破，② 如何用綜合法求二面角，關(guān)鍵是作圖，有兩種方法，一是是定義法，在交線上做兩條垂線，得到二面角的平面角；二是是三垂線法，如果在一個平面中有一條直線與另一個平面垂直，就只要再做交線的垂線，再連接垂足和已知垂線的端點就得到二面角的平面角（要證明），如例1.這需要能在各種變式圖形中發(fā)現(xiàn)垂線，或者垂面，比如本題中的面AHB就是二面角A-VD-B的一個垂面.

2. 用向量法時建系的難點分析.

（1）求證：PD∥平面AEC；

（2）求二面角A-CE-P的余弦值.

解析：從已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因為PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以現(xiàn)在建系有三種選擇，一是用A作為 原點，AD、AC、AP分別做為x軸、y軸，還有一種是以A為原點，AP、AB作為z軸、y軸，由A點向CD作垂線作為x軸，第三種是以B點為原點，AB、BC分別作為y軸、x軸，另外作一條z軸，如下圖所示：

解題方法小結(jié)：建系的方法：要利用已知的線線、線面、面面垂直建系，有時候需要作一條或兩條坐標軸，建系時要使得盡量有最多的點在坐標軸上，使得各相關(guān)線段盡量與坐標軸平行，這樣求點的坐標就容易.

3. 用向量法求平面法向量的難點分析.

用向量法求平面的法向量時，最大的難點是個別點的坐標難以表示.

（Ⅰ）證明： A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角？茲的大小.

解析：本題建系較易，圖形中已經(jīng)有三條互相垂直的線，所以O(shè)點為原點，OA、OB、OA1做為x軸、y軸、z軸，下底面的各點坐標易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B（0，1，0）， C（-1，0，0） ，D（0，

解題方法小結(jié)：可利用向量共線求某些點的坐標，如果在直觀圖中，有些點的坐標坐標不易觀察計算，可采取將其中的平面圖形單獨畫出來，便于觀察，例如例2中的第一種建系方法，求B點的坐標，我們可以畫出右邊的平面圖形.

這樣，計算起B(yǎng)點的坐標就一目了然了，特別是一些復(fù)雜的圖形，這個方法很有效.

4. 逆向解題中的計算難點分析.

逆向法即已知線線、線面、面面角求其中的某些線段長，或點的位置，難點有兩個，一是方法不熟，步驟不清，第二是計算錯誤，這是因為做得少、計算不熟練造成的.

例4.（廣州2014屆十校聯(lián)考）在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.

（1）求證：BE//面PAD；

（2）求證：面PBC⊥面PBD；

解析：對第（3）問進行分析解答：已知二面角，求E點的位置，我們把這種題型叫逆向運算，這種題型向量法和綜合法都可以解，但向量法更有優(yōu)勢，更易想，但計算量較大，若計算不過關(guān)，就難以算對，解題的步驟應(yīng)當是先設(shè)二面角中相關(guān)的未知量，再根據(jù)求二面決定的一般過程進行計算，最后得到未知量的結(jié)果，具體如下：

解題方法小結(jié)：從上面的計算過程看出，逆向法解題，其實就是運用方程思想，通過給的已知條件，得到方程求未知數(shù)；由于有參數(shù)引入，導(dǎo)致計算量較大，計算較難，是相對要求較高的題，如果不熟練，就很難避免不出錯. 此種類型廣東高考還沒有考過，廣州及各地的模擬都有考過這種類型，外省的考題更是非常普遍，要引起重視.

在2014年高考試題將趨向于增加難度的背景下，有必要增加對立體幾何的備考復(fù)習(xí)：估計立體幾何的最后一問，還是求二面角（廣東省近四年都是求二面角），但應(yīng)當會較前幾年的試題有些變化；這些變化可能有以下幾方面：

（1）仍然是求空間角，或者求二面角的可能性大一點，并且兩種方法都能解，但會有點偏向綜合法，并且計算量增大. 像我們2014年一模的綜合法，要用到余弦定理、面積公式或相似三角形去計算邊長，并且有三次這樣的計算，那么計算能力的要求就高了. 計算能力不強的人， 肯定會在這個中間中斷他的解題， 例如廣州一模的試題如果用綜合法解就較難.

（2）向量法，可能建系較難，像2013年的高考題那樣，或者某些坐標難求，或者跟我們的模擬考和外省的考題一樣，進行逆向求解，增加計算量和思維量.

求空間角，尤其是二面角，要樹立一種解題意識，就是應(yīng)當綜合法優(yōu)先，這是因為綜合法一般來說計算量相對較少，而向量法計算量都較大并且易出錯，如果能用綜合法做的時候，你去選擇了向量法就不合算了；還有因為不能局限于什么題都去想向量法，這種思維模式就會導(dǎo)致往一個方向走，這就是我們廣東省2011年高考的立體幾何給我們的教訓(xùn)：如果先考慮綜合法，又快又好就解出來，結(jié)果很多同學(xué)一定要去建系，很難建，導(dǎo)致得分不高. 當然說綜合法優(yōu)先，不是一定要用綜合法解，如果覺得困難，并且題目有較明顯的坐標系，則馬上轉(zhuǎn)為向量法解就行了.

下面提供兩題作為預(yù)測題給同學(xué)們練習(xí)：endprint