林敏燕

當(dāng)我們遇到一個(gè)問題比較復(fù)雜時(shí)，常常把這個(gè)問題分解成幾個(gè)小問題來處理，這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想.它的基本思路是“化整為零，各個(gè)擊破”.分類討論的數(shù)學(xué)思想滲透到高中數(shù)學(xué)的各大塊知識(shí)點(diǎn)中，如果我們在高考復(fù)習(xí)中善于運(yùn)用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復(fù)習(xí)效率.本文從高中數(shù)學(xué)的高考重點(diǎn)模塊著眼，解析分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

一、函數(shù)中的分類討論思想

函數(shù)中的分類討論大致分為二類，一類是函數(shù)是分段函數(shù)，必須進(jìn)行分類討論；一類是數(shù)學(xué)的性質(zhì)是分類的，典型的例子是含有參數(shù)的問題.

設(shè)g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實(shí)數(shù)m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值，必須進(jìn)行分類討論.

例2. 已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上上是增函數(shù).

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，要結(jié)合函數(shù)圖像及單調(diào)性來進(jìn)行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導(dǎo)數(shù)這一類試題中，常常會(huì)遇到解含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，這時(shí)，必須要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：由于兩根含有參數(shù)，不能確定大小，所以必須進(jìn)行分類討論.很多同學(xué)對(duì)含有參數(shù)的不等式不會(huì)因式分解，只會(huì)用求根公式，從而會(huì)給解題造成麻煩，求根公式中會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實(shí)，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進(jìn)行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現(xiàn)在焦點(diǎn)在x軸或y軸，或是一個(gè)點(diǎn)在曲線的左支還是右支.

點(diǎn)評(píng)：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學(xué)們?nèi)菀茁┙猓瑥?fù)習(xí)時(shí)要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于中等題，同學(xué)們很容易把斜率不存在的情況忽略.對(duì)于直線方程的假設(shè)大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數(shù)列中的分類討論思想

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，分類討論的數(shù)學(xué)思想在數(shù)列中應(yīng)用也是極為廣泛.當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)前n項(xiàng)和和數(shù)列通項(xiàng)，或者出現(xiàn)絕對(duì)值，或者出現(xiàn)奇偶性問題時(shí)，都得進(jìn)行分類討論.還有，在一個(gè)式子中，如果出現(xiàn)an，Sn，通過計(jì)算得到遞推關(guān)系式，要不要討論n=1的情況，也是同學(xué)們感到困惑的問題.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)表達(dá)式中出現(xiàn)了n-1時(shí)，必須說明n≥2；如果表達(dá)式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現(xiàn)了（-1）n之類的，必須對(duì)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)原理就是數(shù)學(xué)中的分類討論思想.適當(dāng)合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）.

點(diǎn)評(píng)：這是一道難度較大的高考題，難點(diǎn)在于如何分類，如果分類混亂，總是會(huì)漏算或重算.這里還要考查考生對(duì)排列組合中分步計(jì)算原理的應(yīng)用，捆綁法的應(yīng)用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會(huì)出現(xiàn)多解的情況，是不是每一個(gè)解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：本題容易得到二個(gè)解，如果不注意一些細(xì)節(jié)，容易得到錯(cuò)誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學(xué)汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint

當(dāng)我們遇到一個(gè)問題比較復(fù)雜時(shí)，常常把這個(gè)問題分解成幾個(gè)小問題來處理，這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想.它的基本思路是“化整為零，各個(gè)擊破”.分類討論的數(shù)學(xué)思想滲透到高中數(shù)學(xué)的各大塊知識(shí)點(diǎn)中，如果我們在高考復(fù)習(xí)中善于運(yùn)用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復(fù)習(xí)效率.本文從高中數(shù)學(xué)的高考重點(diǎn)模塊著眼，解析分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

一、函數(shù)中的分類討論思想

函數(shù)中的分類討論大致分為二類，一類是函數(shù)是分段函數(shù)，必須進(jìn)行分類討論；一類是數(shù)學(xué)的性質(zhì)是分類的，典型的例子是含有參數(shù)的問題.

設(shè)g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實(shí)數(shù)m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值，必須進(jìn)行分類討論.

例2. 已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上上是增函數(shù).

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，要結(jié)合函數(shù)圖像及單調(diào)性來進(jìn)行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導(dǎo)數(shù)這一類試題中，常常會(huì)遇到解含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，這時(shí)，必須要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：由于兩根含有參數(shù)，不能確定大小，所以必須進(jìn)行分類討論.很多同學(xué)對(duì)含有參數(shù)的不等式不會(huì)因式分解，只會(huì)用求根公式，從而會(huì)給解題造成麻煩，求根公式中會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實(shí)，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進(jìn)行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現(xiàn)在焦點(diǎn)在x軸或y軸，或是一個(gè)點(diǎn)在曲線的左支還是右支.

點(diǎn)評(píng)：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學(xué)們?nèi)菀茁┙?，?fù)習(xí)時(shí)要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于中等題，同學(xué)們很容易把斜率不存在的情況忽略.對(duì)于直線方程的假設(shè)大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數(shù)列中的分類討論思想

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，分類討論的數(shù)學(xué)思想在數(shù)列中應(yīng)用也是極為廣泛.當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)前n項(xiàng)和和數(shù)列通項(xiàng)，或者出現(xiàn)絕對(duì)值，或者出現(xiàn)奇偶性問題時(shí)，都得進(jìn)行分類討論.還有，在一個(gè)式子中，如果出現(xiàn)an，Sn，通過計(jì)算得到遞推關(guān)系式，要不要討論n=1的情況，也是同學(xué)們感到困惑的問題.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)表達(dá)式中出現(xiàn)了n-1時(shí)，必須說明n≥2；如果表達(dá)式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現(xiàn)了（-1）n之類的，必須對(duì)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)原理就是數(shù)學(xué)中的分類討論思想.適當(dāng)合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）.

點(diǎn)評(píng)：這是一道難度較大的高考題，難點(diǎn)在于如何分類，如果分類混亂，總是會(huì)漏算或重算.這里還要考查考生對(duì)排列組合中分步計(jì)算原理的應(yīng)用，捆綁法的應(yīng)用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會(huì)出現(xiàn)多解的情況，是不是每一個(gè)解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：本題容易得到二個(gè)解，如果不注意一些細(xì)節(jié)，容易得到錯(cuò)誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學(xué)汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint

當(dāng)我們遇到一個(gè)問題比較復(fù)雜時(shí)，常常把這個(gè)問題分解成幾個(gè)小問題來處理，這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想.它的基本思路是“化整為零，各個(gè)擊破”.分類討論的數(shù)學(xué)思想滲透到高中數(shù)學(xué)的各大塊知識(shí)點(diǎn)中，如果我們在高考復(fù)習(xí)中善于運(yùn)用這種解題思想，就能提高解題能力，提高復(fù)習(xí)效率.本文從高中數(shù)學(xué)的高考重點(diǎn)模塊著眼，解析分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

一、函數(shù)中的分類討論思想

函數(shù)中的分類討論大致分為二類，一類是函數(shù)是分段函數(shù)，必須進(jìn)行分類討論；一類是數(shù)學(xué)的性質(zhì)是分類的，典型的例子是含有參數(shù)的問題.

設(shè)g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

則g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

則g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在實(shí)數(shù)m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值，必須進(jìn)行分類討論.

例2. 已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上上是增函數(shù).

（1）求b的值，并求a的取值范圍；

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，要結(jié)合函數(shù)圖像及單調(diào)性來進(jìn)行討論.

二、不等式中的分類討論思想

在導(dǎo)數(shù)這一類試題中，常常會(huì)遇到解含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，這時(shí)，必須要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：由于兩根含有參數(shù)，不能確定大小，所以必須進(jìn)行分類討論.很多同學(xué)對(duì)含有參數(shù)的不等式不會(huì)因式分解，只會(huì)用求根公式，從而會(huì)給解題造成麻煩，求根公式中會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值.如何判斷哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其實(shí)，只要判斷該二次式的判別式是否是完全平方式，如是，必定可以進(jìn)行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式來求解.比如：解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判別式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解關(guān)于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判別式=a2+4，故只能用求根公式來求方程的根.

三、圓錐曲線中的分類討論思想

圓錐曲線中的分類討論思想的主要表現(xiàn)在焦點(diǎn)在x軸或y軸，或是一個(gè)點(diǎn)在曲線的左支還是右支.

點(diǎn)評(píng)：僅僅由漸近線方程不能確定雙曲線的離心率，必須分類討論.這種類型的試題同學(xué)們?nèi)菀茁┙?，?fù)習(xí)時(shí)要引起注意.

故所求直線方程為3x-4y+5=0.

綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于中等題，同學(xué)們很容易把斜率不存在的情況忽略.對(duì)于直線方程的假設(shè)大致有二種，一種是y-y0=k（x-x0），另一種是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情況，后者不包括斜率為零的情況，要視情況而定.

四、數(shù)列中的分類討論思想

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，分類討論的數(shù)學(xué)思想在數(shù)列中應(yīng)用也是極為廣泛.當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)前n項(xiàng)和和數(shù)列通項(xiàng)，或者出現(xiàn)絕對(duì)值，或者出現(xiàn)奇偶性問題時(shí)，都得進(jìn)行分類討論.還有，在一個(gè)式子中，如果出現(xiàn)an，Sn，通過計(jì)算得到遞推關(guān)系式，要不要討論n=1的情況，也是同學(xué)們感到困惑的問題.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)表達(dá)式中出現(xiàn)了n-1時(shí)，必須說明n≥2；如果表達(dá)式中沒有包括n=1的情況，必須分類討論；如果出現(xiàn)了（-1）n之類的，必須對(duì)整數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論.

五、排列組合中的分類討論思想

排列組合中最常用的方法是分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，分類計(jì)數(shù)原理就是數(shù)學(xué)中的分類討論思想.適當(dāng)合理的分類，才能使問題變得簡捷，易懂.

例7. 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課個(gè)1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）.

點(diǎn)評(píng)：這是一道難度較大的高考題，難點(diǎn)在于如何分類，如果分類混亂，總是會(huì)漏算或重算.這里還要考查考生對(duì)排列組合中分步計(jì)算原理的應(yīng)用，捆綁法的應(yīng)用.

六、解三角形中的分類討論思想

在解三角形中，常常會(huì)出現(xiàn)多解的情況，是不是每一個(gè)解都滿足題意呢？這里需要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評(píng)：本題容易得到二個(gè)解，如果不注意一些細(xì)節(jié)，容易得到錯(cuò)誤的答案.

（作者單位：汕尾市華南師大附屬中學(xué)汕尾學(xué)校）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)endprint