靜 行，劉真真，原 方

（河南工業(yè)大學 土木建筑學院，鄭州450001）

隨機激勵下基于ICA的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別

靜 行，劉真真，原 方

（河南工業(yè)大學 土木建筑學院，鄭州450001）

簡要介紹獨立分量分析(ICA)的基本原理，提出將ICA方法與隨機減量法(RDT)結(jié)合起來用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。結(jié)合數(shù)值仿真算例和振動試驗分析，驗證所提出方法用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的有效性。結(jié)果表明，ICA可以準確地從結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)信號中分離出各源信號，并同時估計出各階模態(tài)振型向量，源信號與結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標存在一一對應(yīng)關(guān)系，再結(jié)合隨機減量法和單模態(tài)識別法可識別各階模態(tài)的頻率和阻尼比。該方法僅利用振動系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進行分析，適用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)識別。

振動與波；模態(tài)參數(shù)識別；獨立分量分析；隨機激勵；信號處理

模態(tài)參數(shù)識別的主要任務(wù)是從測試所得的數(shù)據(jù)中，確定振動系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，其中包括模態(tài)的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型等，這些動力特性參數(shù)可以作為結(jié)構(gòu)健康診斷、實時監(jiān)測、結(jié)構(gòu)有限元模型修正的評定標準和基礎(chǔ)[1]。因此，模態(tài)參數(shù)識別具有重要的現(xiàn)實意義。

獨立分量分析[2](Independent Component Analysis，ICA)是上世紀90年代后期伴隨著盲源分離問題而發(fā)展起來的一種統(tǒng)計信號處理和數(shù)據(jù)分析方法。目前，ICA方法已經(jīng)成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，在工程結(jié)構(gòu)振動信號分析、結(jié)構(gòu)損傷識別及模態(tài)分析等方面取得了突破性的進展。如文獻[3]提出了基于獨立分量分析的振動信號降噪方法；文獻[4]提出了利用ICA方法來有效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷識別；文獻[5]將ICA用于結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，從結(jié)構(gòu)的自由振動響應(yīng)中準確提取模態(tài)振型和模態(tài)坐標。然而目前關(guān)于ICA在隨機激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中應(yīng)用的研究鮮有報道。

本文將在ICA的基礎(chǔ)上嘗試一種新思路，即將ICA與隨機減量法（RDT）結(jié)合起來用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。在簡要介紹ICA的基本原理后，探討了隨機激勵下多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)模態(tài)提取與獨立分量分析之間的關(guān)系，進而提出隨機激勵下基于ICA的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法與流程。最后，結(jié)合數(shù)值仿真算例和振動試驗分析，驗證了所提出方法用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的有效性。

1 獨立分量分析(ICA)

1.1 ICA模型

設(shè)有n個信號源和m個傳感器，且測量信號和源信號之間關(guān)系式為：

s為未知的n維源信號向量，s=[s1，s2，···，sn]T；x為m維觀測信號向量，x=[x1，x2，···，xm]T；A為未知的m×n的混合矩陣；觀測信號x為未知信源s的線性組合。

根據(jù)上述，ICA問題可以描述為：在僅能觀測到信號x的情況下，同時估計出混合矩陣A和源信號s，即求解出一個解混矩陣W，并把W對混合信號矢量x的線性變換y=Wx作為源信號s的估計，進而對W求逆就能得到矩陣A的估計。

由于對源信號和混合矩陣無任何先驗知識可以利用，當把一組混合信號分解成若干獨立成分時，分解結(jié)果肯定存在多解。因此為了保證上述ICA模型可以被估計，通常需要對源信號以及混合矩陣作出相應(yīng)假設(shè)[2,6]：

(1)源信號的各個分量之間是相互統(tǒng)計獨立的；

(2)源信號的各分量必須是非高斯信號或最多只能有一個是高斯信號；

(3)源信號的分量個數(shù)m小于觀測信號分量的個數(shù)n。也就是說，由n個觀測信號最多能分解出n個源信號分量。同時假定混合矩陣A是可逆的。這些假定在分析某些特定類型信號時還可適當放寬。例如源信號是時間信號時，各分量之間相互統(tǒng)計獨立的假定就可放寬至相互不相關(guān)[6]。

另外需要說明的是，根據(jù)ICA模型的描述，分離矩陣W不是A的求逆過程，利用ICA得到的源信號只是真實源信號的最優(yōu)估計，它們之間可能是某種比例關(guān)系，也就是一個信號可能等于另一個信號乘以一個常數(shù)，而且目前ICA也無法決定分離出源信號的順序。然而在實際應(yīng)用中，這些不確定性都是能夠接受的。

1.2 基于負熵的固定點算法

ICA方法的問題核心就是尋找一個可以判別分離結(jié)果獨立性的準則，以及相應(yīng)的分離算法。根據(jù)中心極值定理，非高斯隨機變量之和比原變量更接近高斯分布。對ICA模型來說,觀測信號是多個獨立源信號的線性混合,故觀測信號較各獨立源信號更接近高斯分布。因此可以利用非高斯性來判別分離結(jié)果之間的相互獨立性，當各分離結(jié)果的非高斯性達到最強時，表明已完成對各獨立分量的分離。

基于負熵的快速固定點算法(Fast ICA)就是用負熵來度量非高斯性從而尋找極大化非高斯性的不動點迭代方法。Fast ICA算法步驟可總結(jié)如下[2]：

（1）對觀測信號進行中心化；

（2）白化處理，得到z；

（3）任選一個初始化向量w（w為單位范數(shù)）；

（4）由牛頓迭代定理，令

（5）歸一化：w=w+/‖w+‖；

（6）如不收斂返回步驟（4）。

其中g(shù)′為近似計算負熵方法中的非二次型函數(shù)的導數(shù)。

以上僅探討了如何提取單個獨立分量。如果要提取多個源信號，則需多次重復運行上述算法，通過取不同的w值以提取出多個信源。為防止收斂相同，返回步驟（4）之前需進行正交化處理并去除已經(jīng)提取過的分量。如此直至分離出所有的獨立分量。

2 隨機減量法(RDT)

隨機減量法（RDT）是指從線性振動系統(tǒng)的一個或多個平穩(wěn)隨機響應(yīng)樣本中提取該系統(tǒng)自由振動響應(yīng)的數(shù)據(jù)處理方法。其原理敘述如下[7,8]。

對于線性單自由度系統(tǒng)，在任意激勵下某測點的受迫振動響應(yīng)可表示為

式中D(t)是初始位移為1、初始速度為0的系統(tǒng)自由振動響應(yīng)；V(t)是初始位移為0、初始速度為1的系統(tǒng)自由振動響應(yīng)；h(t)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)；f(t)為外部激勵；x(0)和x˙(0)分別為系統(tǒng)初始位移和初始速度。

選取一個適當?shù)恼穹礎(chǔ)去截取系統(tǒng)的隨機響應(yīng)信號x(t)，則水平線x=A與響應(yīng)信號x(t)的交點所對應(yīng)的時刻為ti(i=1,2,…,n)。對于自ti時刻開始的響應(yīng)x(t-ti)可以表示為：

將x(t-ti)的時間起始點ti移至坐標原點，可獲得一系列隨機過程的子樣本函數(shù)yi(t)(i=1,2,…,n)：

取yi(t)的統(tǒng)計平均為

若激勵f(t)是均值為0的平穩(wěn)隨機過程，則系統(tǒng)的振動響應(yīng)x(t)和同樣是均值為0的平穩(wěn)隨機過程，進而E[f(t)]=0、，則

由此得到了初始位移為A初始速度為0的自由振動響應(yīng)信號。

3 模態(tài)參數(shù)識別方法

任一n個自由度結(jié)構(gòu)體系的振動運動方程為：

式中M、C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x、x˙和¨分別為結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度向量；f(t)為外荷載向量。對于小阻尼的一般工程結(jié)構(gòu)，其位移響應(yīng)可以用模態(tài)坐標表示為

其中ψi為第i階模態(tài)振型向量；qi為模態(tài)坐標；Φ為振型矩陣，由n個獨立的振型向量ψi組成；q(t)為模態(tài)坐標向量。

隨機激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)，一般僅能通過統(tǒng)計特性進行描述，而很難用時間函數(shù)進行描述。然而，對于無阻尼或阻尼較小的系統(tǒng)，在寬帶隨機激勵作用下(如白噪聲激勵)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)坐標qi是以結(jié)構(gòu)固有頻率ωi為頻率振動的，其幅值在大小值之間不規(guī)則且緩慢的變化[9,10]。只要在系統(tǒng)帶寬上的激勵譜比較平坦，且在固有頻率附近沒有出現(xiàn)高峰，就認為該結(jié)論近似成立。進而可以推測[11]

其中ei(t)是振動峰值的包絡(luò)線，如果隨機激勵為高斯白噪聲，則ei(t)將具有瑞利分布[10]。令模態(tài)坐標qi(t)≌ei(t)sin(ωit+φi)，在寬帶隨機激勵下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)坐標就可看作是一種特殊的時間序列源信號，不難看出其滿足ICA算法對源信號作出的相關(guān)假定。

通過以上論述，在隨機激勵作用下，多自由度系統(tǒng)動力響應(yīng)的模態(tài)分解可看作是一個ICA問題。因此，在僅知道隨機振動響應(yīng)時域信號的情況下，可以利用ICA方法對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)參數(shù)識別。其基本思路是：

（1）通過振動試驗得到結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)時域信號（如位移、速度或者是加速度信號）；

（2）利用ICA方法分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)x(t)，提取出結(jié)構(gòu)的各獨立源信號s(t)，同時估計出混合矩陣A；

（3）混合矩陣A中包含了模態(tài)振型的信息，對矩陣A中列向量進行歸一化處理，即得到了結(jié)構(gòu)模態(tài)振型；

（4）對于隨機響應(yīng)信號，提取出的源信號也是隨機過程，要先利用隨機減量法去除隨機部分，得到結(jié)構(gòu)的自振響應(yīng)信號，進而再利用單模態(tài)識別法識別出結(jié)構(gòu)的自振頻率和阻尼比。

4 數(shù)值算例與試驗研究

4.1 數(shù)值算例

如圖1所示，為一二維簡支撐的三層框架結(jié)構(gòu)。其中質(zhì)量m1=1，m2=m3=2，剛度k1=800，k2=1 600，k3=2 400，阻尼為c1=a m1，c2=a m2，c3=a m3，這里取比例系數(shù)a=0.1。采用穩(wěn)態(tài)的高斯白噪聲對結(jié)構(gòu)進行激勵，并采用有限單元法計算每一層的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。取前50 s的加速度信號為分析對象，如圖2（a）所示，結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的采樣頻率為100 Hz。

圖1 三層框架結(jié)構(gòu)示意圖

為了識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，首先利用ICA方法對結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進行分析，提取出獨立源信號（如圖2（b）所示）并估計出混合矩陣A?？梢钥闯觯R別出的各獨立源信號是一系列窄帶的隨機響應(yīng)。圖2（c）是與源信號相對應(yīng)的Fourier變換幅值譜，可以看出，其幅值是不斷變化的，而振動頻率卻是一定的，且頻率值分布與結(jié)構(gòu)的固有頻率的理論解是吻合的。因此這些源信號可看作是各階模態(tài)坐標的估計值。對混合矩陣A中列向量進行歸一化處理，可以得到如圖3所示的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型。可以看出，對于結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)信號，ICA方法識別出的模態(tài)振型結(jié)果是非常理想的。

對于隨機響應(yīng)信號，提取的源信號也是隨機變量，要先利用隨機減量法（RDT）去掉響應(yīng)中的隨機成分，提取出各階模態(tài)的自由衰減響應(yīng)信號（如圖4所示）。其截取振幅值取為原始信號標準差的1.2倍，衰減長度取5 s，平均次數(shù)分別為173，498，677次。進而再利用單一模態(tài)識別法（這里采用Hilbert變換[12]）從圖4所示自由衰減響應(yīng)中識別出系統(tǒng)各階自振頻率和阻尼比，結(jié)果見表1?？梢钥闯?，ICA與RDT方法結(jié)合識別結(jié)果是非常理想的，識別出各階自振頻率的誤差分別為0.182%、0.729%和2.236%。雖然識別阻尼比的結(jié)果誤差相對較大，但仍在可接受的范圍內(nèi)。

圖2 結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)信號的獨立分量分析

圖3 模態(tài)振型識別結(jié)果

圖4 RDT提取的各階模態(tài)自由衰減響應(yīng)曲線

4.2 框架結(jié)構(gòu)振動試驗

這里采用的試驗數(shù)據(jù)來源于美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室的網(wǎng)站[13]，他們根據(jù)一三層框架結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)實驗來進行結(jié)構(gòu)損傷識別的研究。這里以該結(jié)構(gòu)基準狀態(tài)的響應(yīng)數(shù)據(jù)為對象以驗證上述基于ICA進行模態(tài)參數(shù)識別的有效性。圖5所示為實驗所用的三層框架結(jié)構(gòu)以及激勵裝置圖，實驗中框架結(jié)構(gòu)是由鋁柱與鋁板通過螺栓連接而形成的一個4自由度體系，且在結(jié)構(gòu)基底設(shè)置滑行軌道限定結(jié)構(gòu)只能沿圖示x方向運動。在各層鋁板側(cè)邊中點設(shè)置傳感器，共5個通道：其中一個通道用于記錄激勵信號，另外4個通道用于記錄結(jié)構(gòu)各層及其基底的加速度響應(yīng)。在分析中可以忽略結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)作用（測點和激勵點全部位于結(jié)構(gòu)中心線上，使得扭轉(zhuǎn)作用產(chǎn)生的影響降到最?。Ｔ诮Y(jié)構(gòu)基底側(cè)邊中點處，采用電磁激振器進行激勵，激勵信號為平穩(wěn)隨機激勵（帶寬在20 Hz～150 Hz之間），采樣頻率為320 Hz，采樣時間為25.6 s，共設(shè)置8 192個采樣點。

表1 自振頻率和阻尼比識別結(jié)果（隨機響應(yīng)）

圖5 三層框架結(jié)構(gòu)與激勵裝置圖

從結(jié)構(gòu)第三層的加速度響應(yīng)以及功率譜密度（如圖6所示）可以看出，系統(tǒng)3階模態(tài)均已被激發(fā)出來，對應(yīng)的結(jié)構(gòu)固有頻率在30 Hz、54 Hz和70 Hz附近。

首先利用ICA方法分析各層的加速度響應(yīng)，提取出各獨立源信號以及功率譜密度（如圖7所示）。顯而易見，各獨立源信號是以相應(yīng)的固有頻率振動的隨機響應(yīng)。雖然前兩階模態(tài)坐標相對應(yīng)的獨立分量含有程度不等的噪聲污染，帶寬相對較寬，但主要的能量仍然集中在固有頻率附近。而與第3階模態(tài)坐標相對應(yīng)的獨立源信號的識別結(jié)果非常理想。

同樣，鑒于識別出的源信號是隨機響應(yīng)信號，不能直接利用Hilbert變換進行模態(tài)識別。先利用RDT法對各獨立源信號進行分析，提取出各階模態(tài)的自由衰減響應(yīng)，之后再利用Hilbert變換從提取的自由衰減信號中識別出結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比，結(jié)果見表2。

表2 框架結(jié)構(gòu)固有頻率和阻尼比識別結(jié)果

作為比較，這里同時給出了運用峰值提取法[14]（Peak Picking，簡稱PP）識別的模態(tài)參數(shù)結(jié)果，具體過程這里不再詳述。從表2能夠看出，ICA與峰值法識別的頻率值基本是一致的。盡管兩種方法識別的阻尼比差別較大，但都在合理的范圍內(nèi)。峰值法和ICA法識別的模態(tài)振型見圖8。

圖6 框架結(jié)構(gòu)第三層加速度響應(yīng)及其功率譜密度

圖7 ICA識別的獨立源信號及其功率譜密度

圖8 框架結(jié)構(gòu)模態(tài)振型識別結(jié)果

5 結(jié)語

本文嘗試將ICA方法與隨機減量法等技術(shù)結(jié)合用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。分析認為結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)的振型疊加法可以看作是一個ICA問題，利用ICA方法可直接從結(jié)構(gòu)的隨機振動響應(yīng)信號中提取出與模態(tài)坐標相對應(yīng)的獨立源信號并估計出相應(yīng)的模態(tài)振型。由于隨機振動響應(yīng)信號提取的源信號也是隨機過程，采用隨機減量法從獨立源信號中提取單模態(tài)自振響應(yīng)，再通過單模態(tài)識別法識別出各階模態(tài)頻率和阻尼比。數(shù)值算例和振動試驗分析結(jié)果表明了該方法用于隨機激勵下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別的可行性。該方法僅利用振動系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進行分析，是一種時域工作模態(tài)參數(shù)識別方法，具有良好的工程應(yīng)用前景。

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Structural Modal Parameter Identification Based on ICAunder Random Excitation

JINGHang,LIU Zhen-zhen,YUANFang

(School of Civil Engineering andArchitecture,Henan University of Technology, Zhengzhou 450001,China)

∶The basic principle of independent component analysis(ICA)is briefly introduced.The ICA and random decrement technique(RDT)are combined and used to identify modal parameters of structures under random excitation.Both numerical and experimental results show that the ICA can extract the modal coordinates and estimate the mode shape vectors from the random response signals of the structures directly.Free vibration responses can be obtained from the modal coordinates by using RDT.Finally,the natural frequencies and damping ratios are calculated by using the classical one-DOF technique.It can be seen that the proposed method is effective since it only uses the output response of the vibration system for analysis,and is suitable for modal parameter identification of the structures under random excitation.

∶vibration and wave;modal parameter identification;independent component analysis;random excitation;signal processing

O422.6< class="emphasis_bold">文獻標識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.040

1006-1355(2014)06-0178-06

2014-04-24

國家自然科學基金資助項目（51178164）；

河南工業(yè)大學高層次人才基金項目（2011BS007）；

鄭州市科技計劃項目（院士工作站建設(shè)計劃）（項目編號：131PYSGZ205）。

靜行（1982-），男，副教授，博士，主要從事結(jié)構(gòu)模態(tài)分析與模態(tài)實驗方面的研究。

E-mail∶hautjh@126.com