顧建祖，歐曉林，李龍元，虞 波，李 康

(1.江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212013；2.普利茅斯大學(xué) 海洋科學(xué)與工程學(xué)院，普利茅斯 英國PL48AA)

薄壁圓柱殼在純彎曲下的非線性自由振動

顧建祖1，歐曉林1，李龍元2，虞 波1，李 康1

(1.江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212013；2.普利茅斯大學(xué) 海洋科學(xué)與工程學(xué)院，普利茅斯 英國PL48AA)

分析了薄壁圓柱殼在純彎曲下的非線性自由振動?；诟牧嫉腂razier簡單理論，將圓柱殼的純彎曲變形簡化為以下兩個階段：第一階段殼體沒有彎曲，橫截面由圓形變成橢圓形；第二階段殼體是橫力彎矩作用下的變截面梁。通過Brazier簡單理論獲得殼體的應(yīng)變能，然后利用拉格朗日方程求得薄壁圓柱殼的幾何非線性自由振動方程，最終得到自由振動頻率，并對線性解與非線性解進行對比分析。

振動與波；自由振動；非線性；拉格朗日方程

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，航天航空和船舶等工業(yè)中所使用的圓柱殼越來越薄，所以薄壁圓柱殼的靜態(tài)或動態(tài)分析已成為現(xiàn)今的研究重點。由Brazier簡單理論可知，殼體的橫向彎曲和橫截面的橢圓化耦合將產(chǎn)生附加的應(yīng)變能，從而使得殼體非線性振動。

1874年Aron的彈性力學(xué)方程中第一次提到了薄壁圓柱殼，而薄壁圓柱殼彎曲的簡單理論是在1927年Brazier[1]首次提出的。Brazier指出當(dāng)直管處于純彎曲情況時，彎矩會使管的橫截面趨向扁平化或橢圓化，這會導(dǎo)致殼體抗彎剛度的減小，隨著彎矩的增加，抗彎剛度進一步降低，彎矩將存在一個最大值。但這一理論僅適用于無限長圓柱殼，直到1965年，Aksel’rad[2,3]通過Valasov的半膜結(jié)構(gòu)理論確定殼的橫截面變形對屈曲行為的影響，才將Brazier簡單理論應(yīng)用到有限長殼體中。1997年，A.Lakis[4]等人將薄殼理論和有限元方法結(jié)合起來，研究了正交各向異性層合圓柱殼的非線性自由振動，并指出有限元—經(jīng)典薄殼理論的結(jié)合方法不僅比現(xiàn)有理論精確，還可以獲得高精度的頻率。1999年，李龍元[5]分析了加筋圓柱殼的屈曲和非線性彎曲響應(yīng)，他指出因為鋼筋可以抵抗橢圓化變形，提高了整個殼體的抗彎剛度，所以臨界彎矩隨著鋼筋數(shù)目和剛度的增加而增加。2003[6]年高傳寶、張維衡等用波傳播的方法分析了復(fù)合材料層合圓柱殼的振動。2005年肖漢林、劉土光[7]等研究了復(fù)合材料縱橫加筋圓柱殼自由振動。2009[8]年顧紅軍、郭盛鵬分析了受沖擊圓柱殼的非對稱屈曲分析。2009年王巍[9]研究了彈性圓柱殼結(jié)構(gòu)振動有源控制，采用不同控制策略，對圓柱殼結(jié)構(gòu)振動進行有源控制，并結(jié)合二次最優(yōu)理論建立圓柱殼振動有源控制理論模型，得出了不同控制策略下的最優(yōu)次級力。

1 物理模型

當(dāng)薄壁圓柱殼受到橫力彎矩時，中性面兩側(cè)的縱向拉伸與壓縮應(yīng)力使得截面成橢圓形，因此，殼體的變形可以看成橫向彎曲變形和橫截面橢圓化變形兩個階段。

如圖1所示的圓柱殼長為L，平均半徑為R，厚度為h。殼體曲面上任一點的軸向、切向和徑向位移分別記為u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)，θ是該點所在半徑與z軸的半徑之間的角度。

圖1 柱殼的幾何形狀及坐標(biāo)

殼體受到橫力彎矩時，位移表示為

其中位移u1(x,t),v1(x,t)和w1(x,t)表示殼體橫向彎曲的變形位移，而u2(x,t),v2(x,t)和w2(x, t)表示殼體橫截面橢圓化的變形位移。

薄壁圓柱殼的應(yīng)變能和動能可以表示為[5]

其中ρ為殼體的密度，Ex為殼體軸向的彈性模量，Gxθ為殼體的剪切模量，Dθ為殼體單位周長的抗彎剛度，U1是第1階段的應(yīng)變能，U2是第2階段應(yīng)變能。

考慮到薄壁圓柱殼的簡支邊界條件，w(x，θ)=0(當(dāng)x=0，x=L)。橫截面形狀約束v(x，θ)= 0(當(dāng)x=0，x=L)。桿端剛性旋轉(zhuǎn)u(x，θ)=ΩRcos θ，(當(dāng)x=0，x=L)(Ω為旋轉(zhuǎn)角)[5]。位移按傅里葉級數(shù)展開如下(因為殼體受純彎曲，占主導(dǎo)地位的變形是彎曲變形，且為了簡化繁雜的計算過程，這里只取第一項)

2 非線性振動求解

將方程(3a)至方程(3d)代入方程(2a)至方程(2c)，由拉格朗日方程求得

忽略非線性項，方程(4a)、(4c)簡化為

由此可以解得自由振動頻率ω1，ω2和ω3（此為線性解）。

假設(shè)ξ(t)=ξ1(t)+ξ2(t)（此為非線性解），ξ1(t)= ξlin(t)=非線性解中的線性部分，ξ2(t)=ξnon-lin(t)=非線性解中的非線性部分，并且ξ(t)=ξlin(t)，則方程(4a)簡化為

由于因為ξlin(t)和ξ2(t)非常小，所以他們的乘積遠小于方程(6)中的其他項，方程(6)可簡化為

假設(shè)殼體自由振動為

其中，A、B、C為殼體振幅。

方程(7)可化為

利用初始條件ξ2(0)=0，=0解得ξ2(t)的一次漸近解

3 算例

薄壁圓柱殼的各項參數(shù)見表1，取R=0.100 m，此時R/h=100，改變C得到如圖2-5所示的線性解與非線性解曲線。

圖3 線性解與非線性解(C=0.1)

圖4 線性解與非線性解(C=0.5)

圖5 線性解與非線性解(C=1)

取C=0.1，改變薄壁圓柱殼的半徑R，即改變薄壁圓柱殼的R/h。圖6、7分別是R/h=25、300時的線性解與非線性解曲線；

表1 薄壁圓柱殼參數(shù)

圖6 線性解與非線性解(R/h=25)

圖7 線性解與非線性解(R/h=300)

4 討論與結(jié)語

4.1 參數(shù)C對非線性振動的影響

由圖2—圖5可知，當(dāng)C的值較小時，線性解與非線性解基本吻合，此時的非線性影響較小，可以用線性解近似代替非線性解；當(dāng)C的值較大時，線性解與非線性解相差較大，非線性影響不能忽略；綜上所述：薄壁圓柱殼變形越大，線性解與非線性解相差越大。

4.2 參數(shù)R/h對非線性振動的影響

由圖3、圖6以及圖7可知，當(dāng)R/h=25時，線性解與非線性解吻合的相當(dāng)好；當(dāng)R/h=100時，線性解與非線性解曲線吻合度雖然沒有R/h=25時好，但差別也不是很大；當(dāng)R/h=300時，線性解與非線性解相差很大，此時不能再用線性解近似代替非線性解。綜上所述，薄壁圓柱殼的壁厚越薄，線性解與非線性解相差越大。

[1]Brazier L.G.On the flexture of thin cylindrical shells and other thin sections.Proc.R.Soc.Ser.A,London,UK 1927,116∶104-114.

[2]Aksel’rad E.L.Pinpointing the upper critical bending load of a pipe by calculating geometric nonlinearity.Izv.Akad.Nauk SSR Mekh.1965,4∶133-139.

[3]Aksel’rad E.L.,Emmerling F.A.Collapse load of elastic tubes under bending.Isr.J.Technol.1984,22∶89-94.

[4]A.A.Lakis,A.Selman and A.Toledano.Non-linear free vibration analysis of laminated orthotropic cylindrical shell.Elsevier Science Ltd,Quebec.1997,1∶27-49.

[5]Long-yuan Li.Nonlinear bending response and buckling of ring-stiffened cylindrical shells under pure bending.Birmingham B4 7ET,UK.1999,39∶765-781.

[6]高傳寶，張維衡，戴起生.用波傳播方法分析復(fù)合材料層合圓柱殼的振動[J].噪聲與振動控制，2003，6：1-4.

[7]肖漢林，劉土光，張濤，等.復(fù)合材料縱橫加筋圓柱殼自由振動分析[J].噪聲與振動控制，2005，6：4-7.

[8]顧紅軍，郭盛鵬.受軸向沖擊圓柱殼非對稱屈曲分析[J].噪聲與振動控制，2005，3：12-15.

[9]王巍.彈性圓柱殼結(jié)構(gòu)振動有源控制理論分析[J].噪聲與振動控制，2009，3：23-26.

Nonlinear Free Vibration of Thin-walled Cylindrical Shells under Pure Bending

GU Jian-zu1,OU Xiao-lin1,LI Long-yuan2,YUBo1,LIKang1

(1.School of Civil Engineering and Mechanics,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,Jiangsu China; 2.School of Ocean Science and Engineering,University of Plymouth,Plymouth PL48AA,UK)

∶The non-linear free vibration of thin-walled cylindrical shells under pure bending is analyzed.Based on the modified Brazier simple theory,deformation of the shell subjected to pure bending can be simplified to two stages.One is that the sections of the shell become elliptic but its axis remains straight;the other is the transverse bending deformation with the shell regarded as a beam with variable elliptic sections.The strain energy of the shell can be obtained based on the Brazier simple theory,and the non-linear free vibration equation of the thin-walled cylindrical shells will be derived by the Lagrange equation.As a result,the free vibration frequency is obtained,and the linear and nonlinear solutions are compared mutually.

∶vibration and wave;free vibration;nonlinearity;Lagrange equation

O422.6< class="emphasis_bold">文獻標(biāo)識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.007

1006-1355(2014)06-0029-04

2014-03-05

顧建祖（1961-），男，江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，副教授，主要從事振動測試、智能材料與結(jié)構(gòu)的研究。

E-mail∶gjz@ujs.edu.cn