劉旭亮，黃玉平，崔佩娟，徐禎祥

(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司 第一研究院 十八所，北京100076)

柔性機(jī)械臂建模及動(dòng)力學(xué)特性分析

劉旭亮，黃玉平，崔佩娟，徐禎祥

(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司 第一研究院 十八所，北京100076)

以仿人手臂的三旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂為研究對(duì)象，對(duì)柔性部分建立理論模型并分析其動(dòng)態(tài)特性。為了提高模型精確度，利用有限段方法分析研究不同邊界條件下柔性臂各階固有頻率及振型函數(shù)，通過(guò)假設(shè)模態(tài)法和漢密爾頓原理，考慮重力，建立機(jī)械臂柔性部分動(dòng)力學(xué)模型。引入角度軌跡，在Matlab中利用四階Runge-Kutta法求解非線性時(shí)變微分方程組，獲得柔性臂末端負(fù)載的殘余振動(dòng)。為實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂模型的進(jìn)一步精確化和主動(dòng)殘余振動(dòng)控制提供參考。

振動(dòng)與波；柔性機(jī)械臂；模態(tài)分析；彈性變形；動(dòng)力學(xué)建模；振動(dòng)分析

近幾年，小型化、輕型化成為航天產(chǎn)品重要的發(fā)展方向；空間站建立、維護(hù)，空間垃圾回收以及深空探索是我國(guó)航天事業(yè)的發(fā)展目標(biāo)。在當(dāng)前形勢(shì)下，傳統(tǒng)大質(zhì)量、大余量的剛性結(jié)構(gòu)不能滿足未來(lái)發(fā)展的需求，更加小型輕質(zhì)、靈巧的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及其控制方法是研究的重要方向之一。本文著眼于研究柔性體主動(dòng)抑振控制方法，以仿人手臂的三旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂為研究對(duì)象，建立模型并分析其動(dòng)態(tài)特性，為后續(xù)控制方法的研究奠定基礎(chǔ)。

柔性機(jī)器人手臂采用了低慣量的結(jié)構(gòu)，具有以下潛在優(yōu)點(diǎn)：更大的負(fù)載重量比、更低的經(jīng)濟(jì)成本、更少的能量消耗、更小的體積和更高的操作速度等。柔性機(jī)構(gòu)帶來(lái)輕質(zhì)化等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，其最大的缺點(diǎn)是低剛度引起的振動(dòng)。振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響定位精度和速度，甚至可能危及整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全。如何準(zhǔn)確描述和正確處理系統(tǒng)中柔性結(jié)構(gòu)帶來(lái)的振動(dòng)是柔性機(jī)械手臂的研究重點(diǎn)。近30年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在柔性機(jī)械臂相關(guān)領(lǐng)域發(fā)表了大量研究成果。2003年，宋秩民等人對(duì)柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)分析與振動(dòng)控制研究進(jìn)行了綜述分析。2006年Dwivedy和Eberhard回顧了1974—2005年間柔性機(jī)械臂領(lǐng)域的相關(guān)研究成果，內(nèi)容涵蓋柔性機(jī)械臂建模、動(dòng)力學(xué)計(jì)算、控制與實(shí)驗(yàn)各個(gè)方面[1]。柔性臂主動(dòng)振動(dòng)控制的基礎(chǔ)在于對(duì)柔性機(jī)械臂特性分析，針對(duì)不同對(duì)象的模態(tài)和動(dòng)態(tài)特性分析十分重要。

1 柔性機(jī)械臂理論建模

3R剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂主動(dòng)抑振控制方法研究試驗(yàn)臺(tái)三維模型如圖1所示，試驗(yàn)臺(tái)由剛性部分和柔性部分組成，本文旨在分析末端柔性臂和負(fù)載的動(dòng)力學(xué)特性。

圖1 主動(dòng)抑振控制方法研究試驗(yàn)臺(tái)

試驗(yàn)臺(tái)由一個(gè)水平面旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)底座和兩個(gè)豎直面旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成。其末端為柔性臂—負(fù)載，靜止時(shí)在重力作用下柔性臂帶負(fù)載會(huì)發(fā)生初始形變。系統(tǒng)殘余振動(dòng)主要由柔性部分引起。因此，本文研究針對(duì)柔性臂和負(fù)載。

柔性體變形十分復(fù)雜，包含不同的耦合因素，用解析的形式表達(dá)十分困難，一般采用多種離散的方法[1]。假設(shè)模態(tài)方法將有限個(gè)假設(shè)模態(tài)振動(dòng)的線性之和來(lái)近似描述彈性體的振動(dòng)，把系統(tǒng)的慣性和彈性特性轉(zhuǎn)化到一些振型上去，這些振型本身是物理坐標(biāo)的確定函數(shù)。針對(duì)柔性臂—負(fù)載模型提出以下假設(shè)：

（1）柔性臂均質(zhì)等截面；

（2）末端負(fù)載對(duì)稱，柔性臂不發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形；

（3）柔性臂長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于截面半徑，軸向伸縮變形近似為零。則柔性臂末端負(fù)載在空間中的變形量可以表示為

上式中qi(t)為模態(tài)坐標(biāo)，Φi(x)為振型函數(shù)。根據(jù)假設(shè)模態(tài)理論，柔性臂任意位置t時(shí)刻的彈性變形都可以用N個(gè)模態(tài)坐標(biāo)和振型函數(shù)的線性之和來(lái)描述。其中，振型函數(shù)由描述對(duì)象的固有特性決定，每1階固有頻率對(duì)應(yīng)一特定振型函數(shù)[2]。

1.1 基于有限段的模態(tài)分析方法

為了能更準(zhǔn)確的建立柔性部分模型，正確描述彈性變形，對(duì)柔性臂—負(fù)載進(jìn)行模態(tài)分析，求解其各階固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)?？紤]到柔性臂為均勻圓柱細(xì)長(zhǎng)桿，基于有限段方法，建立柔性桿運(yùn)動(dòng)方程，帶入邊界條件后求解[3]。

柔性臂可以利用有限段方法離散成N個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為dL，每個(gè)單元的橫向應(yīng)變方程為u(x,t)，對(duì)于每一個(gè)單元，橫向變形都可以表示為u(x,t)=C1+C2x+C3x2+C4x3，第一個(gè)單元兩端的應(yīng)變和應(yīng)力如圖2所示，第一個(gè)單元節(jié)點(diǎn)的邊界條件

圖2 基于有限段法柔性臂離散模型

上式中v1、v2分別表示第一個(gè)單元兩端橫向變形，θ1、θ2分別表示第一個(gè)單元兩端偏轉(zhuǎn)角度。F、M分別為剪力和轉(zhuǎn)矩。第一個(gè)單元橫向應(yīng)變

則，單元?jiǎng)菽芎蛣?dòng)能分別表示為

利用拉格朗日方程得到所有單元的振動(dòng)方程都可以表示成

其中mi、ki分別為i單元的質(zhì)量和剛度矩陣

模型中每一個(gè)單元與相鄰單元節(jié)點(diǎn)重合，可以將各個(gè)單元的振動(dòng)方程組合起來(lái)得到整個(gè)柔性臂的運(yùn)動(dòng)方程

上式中

柔性臂末端負(fù)載和始端轉(zhuǎn)軸材料為不銹鋼，遠(yuǎn)大于柔性臂楊氏模量，可以將其看作集中質(zhì)量點(diǎn)。集中質(zhì)量點(diǎn)加在相應(yīng)的單元上，在計(jì)算單元運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，增加了單元總動(dòng)能，令集中質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量為M，單元的動(dòng)能變?yōu)?/p>

其中x′為集中質(zhì)量在單元的位置。末端負(fù)載集中質(zhì)量點(diǎn)加在第N個(gè)單元末端，即x′=dL，始端轉(zhuǎn)軸集中質(zhì)量點(diǎn)加在第一個(gè)單元中間位置，即x′=dL/2。添加集中質(zhì)量后柔性臂自由振動(dòng)方程為：

帶入懸臂—負(fù)載邊界條件，由懸臂條件可知A端第一個(gè)單元第一節(jié)點(diǎn)的變形和角度都為0，即U(1)=U(2)=0[4]。利用Matlab求解得到前4階固有頻率。

在Ansys 12.0的Model Analysis工具中建立圖3模型。

圖3 ，柔性臂Ansys模型

如上圖所示，柔性臂模型左端固定，同時(shí)添加集中質(zhì)量C（0.2 kg），右端自由，在端面上添加集中質(zhì)量B（0.5 kg）。兩種方法結(jié)果對(duì)比如下。

表1 有限段法和Ansys計(jì)算固有頻率對(duì)比

對(duì)比結(jié)果顯示兩種方法得出的前4階固有頻率基本一致，兩種方法得到的各階模態(tài)振型如下：

每個(gè)模態(tài)振型相當(dāng)于一組坐標(biāo)，因此振型乘以任意非零系數(shù)都可以作為這1階模態(tài)的振型[5]。對(duì)比圖4、5兩種不同方法計(jì)算結(jié)果，有限段法和Ansys軟件計(jì)算的振型結(jié)果基本一致，本文利用五次多項(xiàng)式擬合有限段方法得出的振型，得到各階振型函數(shù)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

柔性臂和負(fù)載可以簡(jiǎn)化成以下模型。

如圖6所示，坐標(biāo)系X0OY0為基坐標(biāo)系，X1OY1為關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，X0為重力方向，X1指向柔性臂未發(fā)生變形時(shí)的軸線方向，dy為末端負(fù)載偏移量，方向垂直于X1，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為q。本文選取假設(shè)模態(tài)法的截?cái)囝l率為2階，即柔性臂的變形可以表示成[6—8]

圖4 基于有限段方法前4階振型

圖5 基于Ansys前4階振型

圖6 柔性臂—負(fù)載簡(jiǎn)化模型

柔性臂長(zhǎng)度為l，則柔性臂上任意一點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的位置向量為

首先，不考慮重力，即柔性臂與負(fù)載重力勢(shì)能為零。令柔性臂密度為ρ，橫截面積為A，楊氏模量和截面慣性矩分別為E、I，末端負(fù)載質(zhì)量為m，則負(fù)載的動(dòng)能

柔性桿自身動(dòng)能

柔性桿的彈性勢(shì)能

令T為系統(tǒng)動(dòng)能，U為系統(tǒng)勢(shì)能，W為虛功，根據(jù)漢密爾頓原理可知

柔性桿末端負(fù)載的動(dòng)能

柔性桿自身動(dòng)能

柔性桿的彈性勢(shì)能

系統(tǒng)虛功

將上述方程帶入哈密爾頓方程中，令含有δq1和δq2項(xiàng)的系數(shù)為0，得到柔性臂動(dòng)力學(xué)方程

其中

考慮重力時(shí)，向系統(tǒng)中加入柔性桿重力勢(shì)能Epl，末端負(fù)載重力勢(shì)能Epm。

其中rx為位置向量r在X0軸方向分量，系統(tǒng)勢(shì)能為U=Eul+Epl+Epm，同理可得柔性臂動(dòng)力學(xué)方程。

上文中參數(shù)定義

2 仿真結(jié)果

在Matlab中建立柔性臂動(dòng)力學(xué)模型，令負(fù)載質(zhì)量為0.5 kg，重力加速度為9.8 m/s2。柔性臂參數(shù)如下表。

表2 柔性臂參數(shù)

為了能夠清晰的反映柔性臂的殘余振動(dòng)，仿真輸入關(guān)節(jié)角度期望從初始角度θ0到終止角度θ1，用時(shí)T。引入角度軌跡方程當(dāng)時(shí)

帶入基于有限段法的模態(tài)分析得到的前兩階振型函數(shù)、柔性臂參數(shù)以及關(guān)節(jié)輸入角度軌跡，利用4階Runge-Kutta法分別求解不考慮重力和考慮重力情況下，柔性臂末端彈性變形的前兩階模態(tài)坐標(biāo)，得到柔性臂末端負(fù)載運(yùn)動(dòng)情況

如圖7所示，當(dāng)關(guān)節(jié)角度θ耗時(shí)從1 s從0度變化到45度，由于慣性力和角加速度作用，柔性臂末端先出現(xiàn)負(fù)向偏移，再向正向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)關(guān)節(jié)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，機(jī)械臂末端產(chǎn)生有初始狀態(tài)的自由振動(dòng)，在無(wú)阻尼情況下繼續(xù)等幅振動(dòng)。對(duì)比有、無(wú)重力的仿真結(jié)果，重力會(huì)改變振動(dòng)峰值和穩(wěn)態(tài)偏差，但對(duì)殘余振動(dòng)的頻率等柔性臂固有特性沒(méi)有影響。

由懸臂梁繞度方程可知，最大繞度可以表示為

式中l(wèi)為懸臂梁長(zhǎng)度，E、I分別為楊氏模量和截面慣性矩，m為負(fù)載質(zhì)量。帶入仿真柔性臂參數(shù)，得ωmax=-0.055 m。在考慮重力的仿真結(jié)果中，自由振動(dòng)的振動(dòng)中心位置（穩(wěn)態(tài)偏差）為-0.057 m，與最大繞度基本一致。

考慮重力情況下，柔性臂末端運(yùn)動(dòng)及前2階模態(tài)坐標(biāo)如下圖。

圖8 仿真前2階模態(tài)坐標(biāo)

由上圖可以看出1階模態(tài)坐標(biāo)頻率與柔性臂末端運(yùn)動(dòng)頻率和波形相似，幅值遠(yuǎn)小于1階模態(tài)坐標(biāo)；2階模態(tài)坐標(biāo)存在波形疊加現(xiàn)象，其中一種和1階模態(tài)頻率近似，另一種頻率較高。對(duì)2階模態(tài)坐標(biāo)做頻譜分析，確定它的包含的主要頻率波形。

圖9顯示2階模態(tài)坐標(biāo)中主要含有兩種頻率波形，頻率分別為f1=1.76 Hz，f2=46.9 Hz，f1與柔性臂1階固有頻率和1階模態(tài)坐標(biāo)頻率一致，f2與柔性臂2階固有頻率近似。

仿真分析結(jié)果顯示，前文建立的動(dòng)力學(xué)模型能夠較為準(zhǔn)確的描述柔性臂運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以作為后續(xù)殘余振動(dòng)主動(dòng)控制狀態(tài)方程的基礎(chǔ)；重力對(duì)柔性臂的影響不可以忽略，對(duì)柔性臂的振動(dòng)峰值和穩(wěn)態(tài)偏差影響很大。

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)3R剛?cè)釞C(jī)械臂試驗(yàn)臺(tái)的柔性臂部分，建立動(dòng)力學(xué)方程，為了準(zhǔn)確的描述柔性變形，用有限段方法分析柔性臂模態(tài)，得到其各階固有頻率和振型。分析結(jié)果與Ansys仿真軟件對(duì)比，兩種方法結(jié)果一致。

通過(guò)漢密爾頓原理建立柔性臂動(dòng)力學(xué)方程，在描述彈性變形的假設(shè)模態(tài)方法中引入了有限段方法擬合出的振型函數(shù)。帶入柔性臂實(shí)際參數(shù)，仿真分析了已知角度軌跡輸入下柔性臂末端負(fù)載的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)動(dòng)態(tài)過(guò)程分析和靜態(tài)偏差對(duì)比，初步證明模型的正確性。

圖9 2階模態(tài)坐標(biāo)頻譜分析

根據(jù)仿真結(jié)果，分析了殘余振動(dòng)的組成，為3R剛?cè)釞C(jī)械臂的建模和振動(dòng)控制打下基礎(chǔ)。

文中，模型建立和仿真求解過(guò)程中考慮了非線性因素，模態(tài)坐標(biāo)存在耦合現(xiàn)象。耦合現(xiàn)象會(huì)對(duì)后續(xù)的主動(dòng)抑振控制帶來(lái)影響，因此控制模型的建立需要進(jìn)一步解耦；耦合現(xiàn)象存在的另一種可能是振型選取不準(zhǔn)確，在模態(tài)分析過(guò)程中，邊界條件選取正確與否決定了模型的正確性，作者也將鉸接——自由和旋轉(zhuǎn)——自由兩種邊界條件帶入模態(tài)分析，得出相應(yīng)的固有頻率和振型函數(shù)，這種情況下會(huì)出現(xiàn)零階振型，在將振型函數(shù)引入動(dòng)力學(xué)模型后求解結(jié)果有明顯錯(cuò)誤。因此對(duì)柔性臂模態(tài)分析過(guò)程中邊界條件的選取和描述，有必要更進(jìn)一步的研究。

[1]Dwivedy.Dynamic analysis of flexible manipulators,a literature review[J].Mechanism and Machine Theory.2006,41∶749-777.

[2]Singiresu S.Rao.Mechanical Vibrations[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009，439-452.

[3]張策.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2000，120-124.

[4]崔佩娟.帶有動(dòng)力減震器的柔性機(jī)械臂的振動(dòng)及其主動(dòng)控制[D].北京：北京科技大學(xué)，2008.

[5]清華大學(xué)工程力學(xué)系.機(jī)械振動(dòng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1980.311-389.

[6]H.R.Heidari.A new nonlinear finite element model for the dynamic modeling of flexible link manipulators undergoing large deflections[R].International Conference on Mechatronics.Istanbul,Turkey.April 13-15,2011∶375-380.

[7]蒙樹(shù)立，熊靜琪，呂志剛.折疊式高空作業(yè)車(chē)臂架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模[J].噪聲與振動(dòng)控制，2012，32(4)：63-67.

[8]謝向榮.柔性板基礎(chǔ)隔振系統(tǒng)的柔性多體動(dòng)力學(xué)理論建模[J].噪聲與振動(dòng)控制，2010，30(6)：58-62.

Modeling and Dynamic CharacteristicAnalysis of Flexible RoboticArm

LIU Xu-liang,HUANG Yu-ping,CUI Pei-juan,XU Zhen-xiang

(The 18 th Institute,ChinaAcademy of Launch Vehicle Technology,Beijing 100076,China)

∶Taking humanoid rigid-flexible coupling robotic arm with three rotating joints as the object,the dynamic model of the flexible part of the robotic arm is established and its dynamic characteristic is analyzed.For improving the accuracy of the model,the finite segment method is used to analyse the intrinsic frequencies and vibration-mode functions of the flexible part of the robotic arm with different boundary conditions.The gravity effect is considered and the modal-assumption method and Hamilton’s principle are used to describe the deformation of the flexible shaft.Introducing the angular function of the joints,the 4th order Runge-Kutta method is utilized to solve the time-varying non-linear differential equations by means of MATLAB code.The residual oscillation of the loaded flexible arm end is derived.This research has provided a foundation for refinement of the flexible robotic arm model and for the active control of the residual oscillation.

∶vibration and wave;flexible robotic arm;modal analysis;elastic deformation;dynamic model;oscillation analysis

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.002

1006-1355(2014)06-0007-05

2014-04-08

863項(xiàng)目：機(jī)電作動(dòng)子系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān)及研制（2012AA70607051）

劉旭亮（1990-），男，新疆烏蘇人，碩士研究生，主要研究方向：機(jī)電一體化，機(jī)械動(dòng)力學(xué)。

黃玉平，男，研究員，碩士生導(dǎo)師。

E-mail∶huangyuping18@126.com