李娜

［摘要］在“強(qiáng)擬凸域上邊界攝動(dòng)的B-M型積分的穩(wěn)定性”【11】中，討論了攝動(dòng)函數(shù)r對(duì)全純函數(shù)B-M公式邊界攝動(dòng)的影響。本文我們將視角擴(kuò)大，介紹了含1-形式的BD算子和含函數(shù)的BαD算子、含有任意次數(shù)的微分形式的BD算子和BαD，并進(jìn)一步討論攝動(dòng)函數(shù)r對(duì)連續(xù)函數(shù)Martinelli-Bochner 公式積分邊界攝動(dòng)的影響，得到連續(xù)函數(shù)Martinelli-Bochner 公式的積分邊界受到攝動(dòng)以后，Martinelli-Bochner 公式是相對(duì)穩(wěn)定的。

［關(guān)鍵詞］強(qiáng)擬凸域Martinelli-Bochner 公式邊界攝動(dòng)穩(wěn)定性算子

［中圖分類號(hào)］O174［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2014）06-0141-03

一、預(yù)備知識(shí)

（一）復(fù)流形上的相關(guān)預(yù)備知識(shí)

定義1令D∈Cn是一個(gè)開集，

（1）D中的一個(gè)連續(xù)多次調(diào)和函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)ρ：D→R1，使得下列條件滿足：任意的ν，ω∈Cn，函數(shù)ζ→ρ（ν+ζω）在C1上是次調(diào)和的。D上連續(xù)多次調(diào)和函數(shù)的集合，記為P0（D）.

（2）一個(gè)C2函數(shù)ρ：D→R1稱為強(qiáng)多次調(diào)和的，如果對(duì)任意的z，ω∈Cn，ω≠0，函數(shù)ζ→ρ（z+ζω）在C1上是強(qiáng)次調(diào)和的。

定義2一個(gè)開集D?奐Cn稱為是擬凸的，如果函數(shù)-lndist（z，αD）在D是多次調(diào)和的。Cn稱為是擬凸的。

命題1：令D?哿Cn是一個(gè)開集，如果在αD的某個(gè)鄰域θ，存在一個(gè)連續(xù)多次調(diào)和ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝，則D是擬凸的。

定義3令D?奐?奐Cn是一個(gè)開集。D稱為是強(qiáng)擬凸的，如果在αD的邊界的某個(gè)鄰域θ存在一個(gè)強(qiáng)多次調(diào)和C2函數(shù)ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝.

定義4設(shè)X是一n維復(fù)流形。如果D?奐?奐X是強(qiáng)擬凸開集，D的邊界αD稱為逐塊C2的，如果存在開集V1，V2，…，VN包含于X，及C2函數(shù)ρk:Vk→R，k=1，2，…，N，使得下列條件滿足：

（1）αD?哿V1∪V2∪…∪VN，

（2）z∈（V1∪V2∪…∪VN）且z∈D?圳1≤k≤N，z∈Vk，ρk（z）＜0，

（3）任意指標(biāo)集1≤k1＜…＜k1≤N，有dρ■∧dρ■∧…∧dρ■≠0，

z∈V■∩V■∩…∩V■.

定義5設(shè)D?奐?奐Cn是具有逐塊C2-邊界的強(qiáng)擬凸開集。對(duì)X選擇下列定向：如果z1，z2，…，zn是X中的局部全純坐標(biāo)，且zj是相應(yīng)的實(shí)坐標(biāo)，使得zj=zj+izj+n，則形式dx■∧dx2∧…∧dxn定義了X的一個(gè)定向。

設(shè)Sk:={z∈αD∩Vk:ρk（z）=0}，k=1，2，…，N，其中Vk和ρk如逐塊C2-邊界的定義中所示。對(duì)任意的整數(shù)集K=（k1，k2，…，kl），1≤k1，…，kl≤kN，當(dāng)k1，k2，…，kl兩兩不同時(shí)，定義：SK：=Sk■∩…∩Sk■，其它的則定義：SK：=?覫。我們選擇SK的一個(gè)定向，使得αD＝■■■SK及αSK＝■■■S■，其中αD與αSk的定向分別由D和SK的定向誘導(dǎo)K=（k1，k2，…，kl），Kj:=（k1，k2，…，kl，j）。

定義6設(shè)θ為αD的鄰域，使得θ?奐?奐X，記P■■（θ）為θ上的強(qiáng)多次調(diào)和C2-函數(shù)類，如果Φ∈θ是z某鄰域的強(qiáng)多次調(diào)和C2-函數(shù)，可找到函數(shù)，rj∈C■■（Vj），■■■rj=1，則定義：

||Φ（z）||）2：｜Φ（z）｜+■■■（z）［■■■|■|+■■■|■|］.

記：||Φ||2，θ，：supz∈θ||Φ（z）||2。對(duì)θ的鄰域賦予范數(shù)||·||2，θ，所得的強(qiáng)多次調(diào)和C2-函數(shù)賦范空間記為m2（θ）。

定義7令D是Cn上的一個(gè)開集。如果文獻(xiàn)【14】中定理1.1.5中的等價(jià)條件成立，那么D上的賦值函數(shù)稱為是全純的（或者解析的）。

（二）B-M型積分[14][15]與邊界攝動(dòng)的B-M型積分

B-M型積分：

?覫（?漬）（z）■?漬（ζ）K（ζ，z），z∈αD，

其中K（ζ，z）=■■為B-M核。?漬為αD某鄰域θ的強(qiáng)多次調(diào)和函數(shù)。

ω′ζ（■-■）=■■■?漬（-1）j-1（■j-■j）d■1∧…∧［d■1］∧…∧d■n，ω（ζ）=dζ1∧…∧dζn，

［d■j］表示除去第j項(xiàng)。r（z）為αD某鄰域θ上的強(qiáng)多次調(diào)和函數(shù)。αD（z∈αD）對(duì)邊界加一個(gè)攝動(dòng)r（z）（把稱為攝動(dòng)函數(shù)），得邊界αDr，（z*=z+r（z）∈αDr，z∈αD），于是，上述B-M型積分就相應(yīng)地變?yōu)椋?/p>

?覫r（?漬）（z）■?漬（ζ*）K（ζ*，z）=■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

其中K（t+r（t），z）

=■■

ω′ζ（t■-■）=■■■?漬（-1）j-1（t■-■j）d（t■∧…∧［d（t■］∧…∧d（t■

二、歷史結(jié)果[11]

全純函數(shù)B-M公式及攝動(dòng)函數(shù)r（z）對(duì)它的影響[11]

引理1（全純函數(shù)Bochner-Martinelli公式）設(shè)函數(shù)?漬∈AC（D），其中D是Cn上的有界域，具有逐塊光滑邊界αD，那么下面的Bochner-Martinelli公式成立：

■?漬（ζ）K（ζ，z）=?漬（z），z∈D■?漬（ζ）K（ζ，z）=0，z■D

其中K（ζ，z）=■為B-M核。積分定向的選擇是使形式（-i）ndζ∧dζ是正的。

定理1[11] 設(shè)函數(shù)?漬∈AC（D），其中D是Cn上的有界域αD，具有逐塊光滑邊界，θ是αD的一個(gè)鄰域，r（t），是上的全純C2函數(shù)，則

（1）當(dāng)r∈D時(shí)，有■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）=0

（2）當(dāng)r∈D時(shí)，存在一常數(shù)M，使得|■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）|≤M|?漬（z+r（z））|.

三、主要結(jié)果部分

（一）積分算子BαD和BD等相關(guān)準(zhǔn)備知識(shí)

1.Cn的定向

如果xj=xj（ζ），j=1，…，2n，ζ∈Cn是的實(shí)坐標(biāo)，使得ζj=xj（ζ）+ixj+n（ζ），則微分形式dx1∧…∧dx2n定義了Cn的定向。對(duì)開集D?哿Cn，我們用相同的定向。如果D?哿Cn是一個(gè)開集，M是C1光滑邊界αD的相對(duì)開子集，則M的定向由D的定向誘導(dǎo)。

注：Cn的定向也可定義為dx1∧dx1+n∧…∧dxn∧dx2n=（-1）■dx1∧…∧dx2n，則我們得到積分公式里符號(hào)的相應(yīng)地改變。

2.具有逐塊C1邊界的開集

令D?奐?奐Cn是一個(gè)開集。D的邊界αD稱為是逐塊C1的，如果存在Cn上有限多的實(shí)值C1函數(shù)ρ1…，ρk，使得D={D∈Cn:ρj（z）＜0，j=1，…，k}，且，對(duì)任意的指標(biāo)，且對(duì)所有的ρ∈αD有ρj■（z）=…=ρj■（z）=0.

注：對(duì)具有逐塊C1邊界的開集，容易找到一個(gè)具有C∞邊界的開集序列Dm?奐?奐D，使得下列兩個(gè)條件滿足：

（1） 對(duì)任意的緊集K?奐?奐D，存在一個(gè)數(shù)，使得K?奐?奐Dm，對(duì)任意的m≥mk.

（2） 如果f和g分別是D上的雙次數(shù)2n和2n-1的連續(xù)微分形式，則■f=lim■f和■g=lim■g.

（二）主要結(jié)果

連續(xù)函數(shù)的Martinelli-Bochner公式及邊界攝動(dòng)對(duì)它的影響

引理2[14]（連續(xù)函數(shù)Martinelli-Bochner公式）

令D?奐?奐Cn是具有逐塊C1邊界的開集，令f是D上的連續(xù)函數(shù)，使得α f也是在D上的連續(xù)，則D在中有：f=BαD f-BD α f。

其中BαD和BD是上面定義的連續(xù)算子。

定理2令D?奐?奐Cn是具有逐塊C2邊界的開集，令?漬是D上的連續(xù)函數(shù)，使得α?漬也在上連續(xù)，r是αD的鄰域θ上的全純函數(shù)，則存在常數(shù)M，使得：■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）≤M?漬（z+r（z））.

證明：

對(duì)固定的z∈D，令K（t+r（t），z）=■

■

由定理1【11】的證明可知K（t+r（t），z）是一閉形式，因此dK（t+r（t），z）=0 inDz .

∵α?漬（t+r（t），z）∧ω（t+r（t））

=（■■dt1+…+■■dtn）∧（d（t1+r（t1））∧…∧d（tn+r（tn）））

（其中Qi=ti+αr（ti），1≤i≤n）

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［dt1+αr（t1）］∧…∧［dtn+αr（tn）］

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］dt1∧…∧［1+αr（tn）］dtn

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］…∧［1+αr（tn）］dt1∧…∧dtn=0

d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=α［?漬（t+r（t））K（t+r（t），z］+α［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=0+α?漬（t+r（t））·K（t+r（t），z］+?漬（t+r（t）·αK（t+r（t），z］

α?漬（t+r（t））·K（t+r（t），z）+0，inD/z

于是，對(duì)任意充分小的ε＞0，由stokes公式得：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

■■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］-■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

■■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）………………(*)

其中Dε:{ζ∈D:|ζ-z|＞ε}，

下面只要證不等式的左邊，當(dāng)ε→0時(shí)，趨于M?漬（z+r（z））：

事實(shí)上：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

=?漬（z+r（z））■K（t+r（t），z）+■（?漬（t+r（t）-?漬（z+r（z）））K（t+r（t），z）

|■K（t+r（t），z）|M≤

■（?漬（t+r（t）-?漬（z+r（z）））K（t+r（t），z）

≤sup|ζ-z|=ε|?漬（t+r（t））-?漬（z+r（z））｜·｜■K（t+r（t），z）｜

由定理1【11】的證明可知，存在常數(shù)M＞0，使得

≤M·sup|ζ-z|=ε|?漬（t+r（t））-?漬（z+r（z））｜→0，當(dāng)（ε→0）

（*）式的右邊即所要證的不等式的左邊，于是當(dāng)ε→0時(shí)，有：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）M?漬（z+r（z））

證畢。

推論1令D?奐?奐Cn是一開集，f∈AαD，r是αD某鄰域上的全純函數(shù)，則存在常數(shù)M＞0使得：■?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）≤M?漬（z+r（z））.

證明：結(jié)合以上定理證明中的(*)式和定理2即可得證：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

=■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）■（z+r（z））

證畢。

這與定理1的（2）是一致的。

［參考文獻(xiàn)］

［1］Keldysh M V,Lavrendev M A.On the stability of solutions of Dirichlet problem ［J］.IZV AN SSSR Ser Mat,1937,1:551-595.

［2］Keldysh M V.On the solvability and stability of the Dirichlet problem［J］.Uspekhi Mat Nauk,1941,8:171-231.

［3］Hedberg L I.Approximation by harmonic functions and stability of the Dirichlet problem ［J］.Exposition Math,1993,11:193-259.

［4］王小林，龔亞方.一類奇異積分和Cauchy型積分關(guān)于積分曲線的穩(wěn)定性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999,42（2）：343-350.

［5］王傳榮.邊界攝動(dòng)的奇異積分方程與邊值問(wèn)題［J］.寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006,27（20）：169-173.

［責(zé)任編輯：左蕓］