董 晶

(信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 信陽 464000)

一個(gè)帶有潛伏感染和不完全治療的肺結(jié)核模型研究

董 晶

(信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 信陽 464000)

介紹了一個(gè)帶有潛伏感染和不完全治療的肺結(jié)核傳染病模型，結(jié)果表明，持續(xù)振蕩不可能產(chǎn)生，地方病的大小趨于無病平衡點(diǎn)或某個(gè)地方病平衡點(diǎn)，得到了無病平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.

不完全治療；基本再生數(shù)；基本置換率；局部漸近穩(wěn)定；全局漸近穩(wěn)定

0 引言

肺結(jié)核是由感染肺部的結(jié)核分支桿菌引起的一種傳染性細(xì)菌疾病，在全世界持續(xù)引起發(fā)病和死亡.它通過患有活躍呼吸道疾病的人的咽喉與肺部濺出的飛沫在人與人之間傳播.這些飛沫攜帶的結(jié)核桿菌只能在空氣中短暫存活大約2 h，因此普遍認(rèn)為，與患者的偶然接觸極少導(dǎo)致感染[1].通常情況下，人體能抑制細(xì)菌增長，使其轉(zhuǎn)入不活躍狀態(tài)，但是它們?nèi)匀淮婊?，可以再變活躍.剛感染肺結(jié)核的人不會(huì)感覺不舒服，沒有任何癥狀，也不具有傳染力，但是可以在將來某一時(shí)刻表現(xiàn)出肺結(jié)核病.肺結(jié)核病的癥狀是咳嗽(時(shí)常帶痰或血)、胸痛、虛弱、體重減輕、發(fā)燒和夜間盜汗等.

據(jù)估計(jì)，全世界約有1/3的人口感染過結(jié)核分支桿菌，這是全球范圍疾病與死亡的主要原因之一，亞洲與非洲尤甚[2].感染肺結(jié)核桿菌的每10個(gè)人中就有1人攜帶肺結(jié)核桿菌而患病，如果不治療，每一個(gè)活躍肺結(jié)核患者平均每年傳染10到15人.目前每年新發(fā)肺結(jié)核病人870萬例，每年死于肺結(jié)核病的人數(shù)達(dá)200萬例.

肺結(jié)核是可治療的，全球肺結(jié)核控制進(jìn)展可觀，4 000多萬人在“現(xiàn)代結(jié)核病控制策略”工程中被治愈(1995～2012年)，與此同時(shí)，多達(dá)1 000余萬例的死亡因此被避免，87%的全球治療成功率也早已超過了1991年定下的85%的目標(biāo).然而，肺結(jié)核桿菌能對(duì)治療肺結(jié)核慣用的藥物產(chǎn)生耐藥性，這意味著藥物不再能殺死病菌，多重抗藥性肺結(jié)核治療難度大、成本高，并且標(biāo)準(zhǔn)一線藥物對(duì)其無效.廣泛耐藥性肺結(jié)核是由多重抗藥性肺結(jié)核在對(duì)二線藥物有抗藥性時(shí)發(fā)展而成的，多種數(shù)據(jù)顯示，全部肺結(jié)核病例的5%患有多重抗藥性肺結(jié)核.

表1 2010年肺結(jié)核在不同區(qū)域的發(fā)生率、患病率和死亡率估計(jì)值

很長一段時(shí)間以來，肺結(jié)核傳染病動(dòng)力學(xué)受到了相當(dāng)關(guān)注，不同的數(shù)學(xué)模型合并多方面因素都已經(jīng)被建立，例如急慢性階段治療[3]、抗藥病菌、再次感染、與HIV共同感染[4]、遷移、化學(xué)預(yù)防、舊病復(fù)發(fā)、外源性再感染、季節(jié)性和年齡依賴風(fēng)險(xiǎn)等.

然而上述大部分模型假設(shè)潛伏感染的個(gè)體既沒有臨床癥狀，也不能傳染肺結(jié)核病，本文假設(shè)潛伏期的人也具有隨疾病發(fā)展而體現(xiàn)出來的傳染性，考慮潛伏期有較弱的感染性和不完全治療，構(gòu)建常微分方程模型.

1 模型的建立

本節(jié)從分析帶有潛伏期感染性和不完全治療的常微分方程模型開始.由于疾病發(fā)展緩慢，模型必須加入人口數(shù)量的人口統(tǒng)計(jì)學(xué)變化，即假定人口指數(shù)增長.記t時(shí)刻人口總大小為N(t)，分為3類：S(t)為易感者類；E(t)為疾病潛伏者類；I(t)為染病者類，可能在接受不完全治療后再次進(jìn)入潛伏者類E(t).事實(shí)上，疾病潛伏個(gè)體也可能接受治療康復(fù)，而進(jìn)入易感者類S(t)而非染病者類I(t).此外，假設(shè)潛伏個(gè)體具有相對(duì)患病者較弱的傳染力,模型形式如下，

(1)

其中b為人口的出生/補(bǔ)充率，μ為人均自然死亡率，k為感染衰退系數(shù)，δ為潛伏的個(gè)體具有傳染性的比率，a為E類中人均康復(fù)率，γ1為I類中人均康復(fù)率，γ2為人均不完全治愈率.

假設(shè)所有的參數(shù)非負(fù)，并且μ>0，總?cè)丝谝?guī)模(N=S+E+I)的動(dòng)力學(xué)人口方程由Nt=bN-μN(yùn)給出，有N=N0exp(rt)，其中γ=b-μ.因此，γ給出人口增長率，如果γ>0，即b>μ時(shí)，人口指數(shù)增長；如果γ<0，即b<μ，人口指數(shù)減少.γ=0的情況意味著人口是固定的，這些閾值通常依據(jù)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)的再生數(shù)來解釋.

2 閾值

本節(jié)先考慮用地方平衡點(diǎn)的存在性推導(dǎo)閾值，也就是基本再生數(shù)，再分析各部分代表的意義.因?yàn)槟Ｐ?1)是一次齊次的，考慮歸一化的方程，令s=S/N，e=E/N，i=I/N，導(dǎo)出下列等價(jià)的非齊次系統(tǒng)，

(2)

其中s+e+i=1，顯然系統(tǒng)(2)總有一個(gè)無病平衡點(diǎn)P0=(1，0,0).為得出地方病平衡點(diǎn)的存在性，定義基本再生數(shù)

特別地，當(dāng)R0>1時(shí)，有唯一地方病平衡點(diǎn)R*=(s*，e*，i*)，其中

(3)

及

易知R0是關(guān)于β和k的增函數(shù)，關(guān)于b，γ1和a單調(diào)遞減.然而，R0與δ和γ2卻有著更復(fù)雜的關(guān)系，通過計(jì)算導(dǎo)數(shù)得

這說明當(dāng)(b+a)(β+γ2)-(b+γ1+γ2)kβ>0時(shí)，R0是δ的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)(b+a)(β+γ2)-(b+γ1+γ2)kβ<0時(shí)，R0是δ的單調(diào)遞減函數(shù).同時(shí)，R0是γ2的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)b+γ1-β>0時(shí)，R0是γ2的單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)b+γ1-β<0，由于s+e+i=1，系統(tǒng)(2)可以通過把s替換為1-e-i化簡為等價(jià)系統(tǒng)(4)，

(4)

因此只需考察系統(tǒng)(4)的無病平衡點(diǎn)Q0=(0,0)和地方病平衡點(diǎn)Q*=(e*,i*)的性質(zhì)，e*和i*已經(jīng)在公式(3)中給出，分別與P0和P*對(duì)應(yīng)一致.

3 無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

本節(jié)首先通過計(jì)算系統(tǒng)(4)在Q0處的雅可比行列式，證明當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的(locally asymptotically stable, LAS)，然后選取合適的李雅普諾夫函數(shù)得到無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性(globally asymptotically stable, GAS).

定理1 如果R0<1，無病平衡點(diǎn)Q0是局部漸近穩(wěn)定的，如果R0=1，那么Q0是穩(wěn)定的，如果R0>1，那么Q0是不穩(wěn)定的.

證明 系統(tǒng)(4)在Q0處的雅可比矩陣為

易知雅可比矩陣的兩個(gè)特征值ω1和ω2滿足

ω1+ω2=kβ-(b+δ+a)-(b+γ1+γ2),

ω1ω2=(b+δ+a)(b+γ1+γ2)(1-R0).

若R0<1，則ω1+ω2<0且ω1ω2>0，因此ω1和ω2均為負(fù)值，這說明Q0是局部漸近穩(wěn)定的；若R0=1，其中一個(gè)特征值為0，另一個(gè)為負(fù)值，故Q0是局部穩(wěn)定的；若R0>1，則矩陣存在一個(gè)正特征值，因此Q0不穩(wěn)定.

定理2 如果R0≤1，則無病平衡點(diǎn)Q0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 選取一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)V=[δ+k(b+γ1+γ2)]e+(b+δ+a+kγ2)i，計(jì)算得

V′=[δ+k(b+γ1+γ2)]e′+(b+δ+a+kγ2)i′≤[δ+k(b+γ1+γ2)][λ-(b+δ+a)e+γ2i]+(b+δ+a+kγ2)[δe-(μ+γ1+γ2)i]=(b+δ+a)(b+γ1+γ2)(R0-1)(ke+i).

如果R0≤1，則V′≤0，且V′=0等價(jià)于e=i=0，故Q0全局吸引，結(jié)合定理1可以導(dǎo)出當(dāng)R0≤1，Q0是全局漸近穩(wěn)定的.

4 地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

本節(jié)首先證明地方病平衡點(diǎn)一旦存在就是漸近穩(wěn)定的.通過計(jì)算系統(tǒng)(4)在Q*處的雅可比行列式可得到結(jié)論，然后選取合適的杜拉克(Dulac)函數(shù)排除系統(tǒng)的周期解.

定理3 若R0>1，則地方病平衡點(diǎn)Q*局部漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(4)在Q*處的雅可比矩陣為

其中l(wèi)=ke*+i*，在系統(tǒng)(4)中令導(dǎo)數(shù)為0得出地方病平衡點(diǎn)，故雅可比矩陣第(1，1)位置的式子可以寫為

則易知兩個(gè)特征值ω3和ω4滿足ω3+ω4<0和ω3ω4=βl(b+γ1+γ2+δ)>0，說明兩個(gè)特征值均為負(fù)值，因此斷定Q*局部漸近穩(wěn)定.

推論1 系統(tǒng)(4)在D內(nèi)沒有周期解、同宿環(huán)或者定向多邊形.

由定理3和推論1，立即得到下列定理4：

定理4 若R0>1，地方病平衡點(diǎn)Q*全局漸近穩(wěn)定.

5 基本置換率

地方病的比值可能達(dá)到地方病平衡點(diǎn)或者無病平衡點(diǎn)，無論哪種情況總?cè)丝诖笮〉脑黾?、減少或者不變都依賴于增長率r.類似地，比例的性質(zhì)并不能充分反映出染病類總體I(t)的性質(zhì).特別地，如果感染者數(shù)量指數(shù)增長，但速度比總?cè)丝谠鲩L得慢，則二者的比值趨于0，也就是總?cè)丝诘脑鲩L勝過患病者的增長，結(jié)果比值越來越小.可以想象相反的情況——染病者和總?cè)丝诙稼呌?，但二者的比例幾乎始終是常數(shù)(并且非0).但這種情況下，只要人口存在，疾病就會(huì)在人群中存在.為了描述I(t)的性質(zhì)，此時(shí)需要另外一個(gè)閾值參數(shù).下列術(shù)語由Thieme引進(jìn)，定義基本置換率

其中x*是方程的唯一正解，

(β+γ2)x*2+(kβ-δ-a+γ1+γ2)x*-δ=0.

基本置換率的有效性建立在推論2的基礎(chǔ)上，推論2還給出了S(t),E(t),I(t)增加(減少)的指數(shù)比率.

從系統(tǒng)(1)的第2個(gè)方程可得

從系統(tǒng)(1)的第3個(gè)方程可得

6 結(jié)論

本文建立了常見疾病肺結(jié)核的一個(gè)新模型，假設(shè)人口在潛伏階段具有弱感染性，在潛伏階段和染病階段的所有人都可以接受成功或者不成功的治療.介紹了一個(gè)簡單的常微分方程模型，并證明由于地方病比例要么趨于無病平衡點(diǎn)，要么趨于地方病平衡點(diǎn)，持續(xù)振蕩是不可能的.證明當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，R0>1時(shí)地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

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[2] DYE C, FLOYD K, UPLEKARM. World health report 2008: Global tuberculosis control: Surveillance, planning, financing[R]. World Health Organization, 2008:393.

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[4] LIH-LNG W R, FENG ZHILAN, CARLOS C C. Modeling TB and HIV coinfections[J]. Math Biosci Eng, 2009, 6:815-837.

A Tuberculosis Model withInfectivity in Latent Period and Imperfect Treatment

DONG Jing

(DepartmentofMathematics,XinyangVocationalandTechnicalCollege,Xinyang464000,China)

An epidemiological model of tuberculosis with infectivity in latent period and imperfect treatment are introduced. As is shown that sustained oscillations are not possible and the endemic proportions either approach the disease-free equilibrium or an endemic equilibrium. The global asymptotic stability of the infection-free state is established as well as local asymptotic stability of the endemic equilibrium.

imperfect treatment; basic reproduction number; basic replacement ratio; locally asymptotically stable; globally asymptotically stable

2014-06-10

董 晶(1983—)，男，河南信陽人，信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.008

O29

A

1007-0834(2014)04-0030-05