劉志紅

(鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，河南 鄭州 450044)

對(duì)角占優(yōu)矩陣在偏微分方程中的應(yīng)用

劉志紅

(鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)系，河南 鄭州 450044)

主要討論對(duì)角占優(yōu)及嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)(strictly diagonally dominant)矩陣的相關(guān)引理和定理，以及在偏微分方程邊值問(wèn)題中的應(yīng)用(指數(shù)衰減因子).

對(duì)角占優(yōu)矩陣；邊值問(wèn)題；衰減因子；特征根；整體經(jīng)典解

對(duì)角占優(yōu)矩陣是應(yīng)用非常廣泛的矩陣類，較多出現(xiàn)于經(jīng)濟(jì)價(jià)值模型和反網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣及某些確定微分方程的數(shù)值解法中[1-2].

定義1 n階方陣A=(aij)n，如果其主對(duì)角線元素的絕對(duì)值大于同列(行)其他元素的絕對(duì)值之和，則稱A=(aij)n是行(列)對(duì)角占優(yōu)陣,即滿足

(1)

定義2n階方陣A=(aij)n，若存在β>1，使得

由定義1和定義2可知，若A是嚴(yán)格占優(yōu)矩陣則一定是對(duì)角占優(yōu)矩陣，若A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則關(guān)于它的線性代數(shù)方程組有解.

由文獻(xiàn)[3],有以下引理1.

(2)

由引理1可證明下面的定理1.

定理1 若A是行(列)對(duì)角占優(yōu)矩陣,即A滿足(1)式,則

證明 僅證行占優(yōu)情形,對(duì)于列占優(yōu)同理可證.情形1)的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

(3)

可見(jiàn)A1的主對(duì)角線上元素為βaii,i=1,2,…,n.再作A2=A+(β-1)aI，其中I為單位陣,可見(jiàn)A2的主對(duì)角線上的元素為(β-1)a+aii,i=1,2,…,n，在(1)式兩邊同時(shí)乘以β,得

(4)

由引理1及(3)式,可知A1是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的.

(5)

因A2的主對(duì)角線上的元素為(β-1)a+aii,由(5)知A2也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的,即?δ2>0,使得A2所有特征根μi,i=1,2,…,n，由引理1，有Reμi≥δ2.

而由

即有

這時(shí),即證得了在(1)式下，(2)式成立.至此,定理1證畢.

注記 (2)式中引入的“δ”即為雙曲型微分方程中的指數(shù)衰減因子.

下面討論指數(shù)衰減因子δ在具耗散項(xiàng)擬線性雙曲型方程組的邊值問(wèn)題中的應(yīng)用.一般來(lái)說(shuō),擬線性雙曲型方程組的邊值問(wèn)題在t>0上并不存在整體經(jīng)典解,這主要是因?yàn)檫吔鐢?shù)據(jù)的存在造成在邊界上反射波的強(qiáng)度可能會(huì)大于入射波的強(qiáng)度,或者在邊界上有波的連續(xù)反射現(xiàn)象發(fā)生[4]，但對(duì)于特殊的邊界情況則不同.

考慮具耗散項(xiàng)擬線性雙曲型方程組

(6)

(7)

在光滑邊界x=x2(t)(x2(0)=0)上，

(8)

其中x1(t)0，記xl(t)=Fl(t),l=1,2.

這里需要作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，

假設(shè)H1λi,θijk,θij,gijk,gi,Fl(t)是適當(dāng)光滑的函數(shù),且在t≥0上保持有界.

假設(shè)H2 邊界條件(7)～(8)式存在唯一的解u≡u(píng)0(不失一般性，設(shè)u0=0).

假設(shè)H3 過(guò)原點(diǎn)的特征線不進(jìn)入?yún)^(qū)域D,即λr(0)

令

則得到不等式

0≤σr,σs≤1 ,r=1,2,…,m;s=m+1,m+2,…,n.

假設(shè)H4A=L(0)▽g(0)L-1(0)=(aij)是對(duì)角占優(yōu)的,即(1)式成立,由定理1可知(2)式成立.

定理2 在假設(shè)H1～H4之下，如果存在充分小的ε>0使

定理2的證明可通過(guò)一致先驗(yàn)估計(jì)，接著沿特征線積分，再根據(jù)局部延拓法可得.

[1] 劉法貴.具線性退化特征擬線性雙曲型方程組的Cauchy問(wèn)題[J].華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào),1999,20(4):63-67.

[2]LIUFAGUI.Cauchyproblemforquasilinearhyperbolicsystems[M].Zhengzhou:YellowRiverConservancyPress,2006:33-38.

[3]LITATSIEN.Globalclassicalsolutionsforquasilinearhyperbolicsystems[M].NewYork:Wiley, 1994:1 263-1 317.

[4]GREENBERGJM，LITATSIEN.Theeffectofboundarydampingforthequasilinearwaveequation[J].JofDiffEquations, 1984(52): 66-75.

Application in the Partial Differential Equation ofDiagonally Dominant Matrix

LIU Zhi-hong

(DepartmentofComputer,ZhengzhouInstituteofFinanceandEconomics,Zhengzhou450044,China)

The diagonally dominant and strictly diagonally dominant (strictly diagonally dominant) related lemma and the theorem of matrix are discussed, and the application of boundary value problems of partial differential equations (exponential attenuation factor) is also stated.

diagonally dominant matrix; boundary value problem; attenuation factor; characteristic root; global classical solution

2014-05-14

劉志紅(1983—)，男，河北邯鄲人，鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.005

O175.27

A

1007-0834(2014)04-0020-03