周方奇，施安峰，王曉宏

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)熱科學(xué)和能源工程系）

0 引言

壓裂技術(shù)作為開發(fā)低滲透油藏的有效增產(chǎn)手段已被廣泛應(yīng)用[1-4]。壓裂中產(chǎn)生若干條尺度較大的導(dǎo)流裂縫，為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)壓裂后油藏中的流體流動(dòng)狀況，需采用準(zhǔn)確的導(dǎo)流裂縫數(shù)值模擬方法。

對(duì)于裂縫型油藏，雙重介質(zhì)模型[5-8]已被廣泛應(yīng)用，而含有大尺度導(dǎo)流裂縫的油藏并不滿足該模型的使用條件。早期學(xué)者們使用單重介質(zhì)模型模擬導(dǎo)流裂縫，但由于該模型需要極細(xì)密的網(wǎng)格描述裂縫和基質(zhì)，所以計(jì)算量很大、效率很低，難以應(yīng)用到實(shí)際的油藏?cái)?shù)值模擬中。為了提高計(jì)算效率，一些學(xué)者提出離散裂縫模型[9-15]，假設(shè)N維的系統(tǒng)中裂縫內(nèi)流體的流動(dòng)是N?1維的，在劃分網(wǎng)格時(shí)裂縫節(jié)點(diǎn)與基質(zhì)節(jié)點(diǎn)相互重合，并把裂縫及基質(zhì)方程疊加后進(jìn)行計(jì)算，該模型可較準(zhǔn)確地模擬單相流動(dòng)，但無(wú)法應(yīng)用于多相流動(dòng)問題。隨后一些學(xué)者對(duì)離散裂縫模型進(jìn)行了改進(jìn)[16-19]，使用基于達(dá)西定律的交換流量耦合裂縫及基質(zhì)方程，改進(jìn)后的模型可以模擬裂縫油藏中的多相流動(dòng)，但是仍然需要沿著裂縫的走勢(shì)劃分基質(zhì)網(wǎng)格。Lee等[20-22]提出了嵌入裂縫模型，把裂縫近似地看作基質(zhì)網(wǎng)格中的井源，采用類Peaceman公式[23-24]計(jì)算裂縫與基質(zhì)網(wǎng)格之間的物質(zhì)交換，雖然該模型可以提高網(wǎng)格劃分的效率，但在多相流動(dòng)問題中，并不能準(zhǔn)確描述裂縫和基質(zhì)之間的物質(zhì)交換。

本文考慮基質(zhì)相飽和度在裂縫兩側(cè)的不連續(xù)性，提出一種新的嵌入裂縫模型，以期提高計(jì)算效率和精度，準(zhǔn)確模擬壓裂后油藏中的流動(dòng)狀況。

1 數(shù)學(xué)模型

在人工壓裂低滲透油藏中，油藏介質(zhì)為流體的主要存儲(chǔ)空間，其滲透率較低，通常被稱為基質(zhì)。裂縫滲透能力強(qiáng)，成為流體的主要流通通道。本文考慮油水兩相流問題，以二維空間為例進(jìn)行研究。由于裂縫的開度很小，其中流體的流動(dòng)可以認(rèn)為是一維的，設(shè)裂縫的開度為wf，單位時(shí)間內(nèi)從單位長(zhǎng)度裂縫流入基質(zhì)的α（α=w, o）相流體流量為qα，則裂縫中α相流體的質(zhì)量守恒方程為：

把裂縫看作基質(zhì)中的源項(xiàng)，基質(zhì)方程可寫作：

其中α相流體的流速滿足達(dá)西定律：

由于裂縫開度很小，基質(zhì)中的壓力場(chǎng)在跨越裂縫時(shí)保持連續(xù)，但裂縫和基質(zhì)中多相流體流動(dòng)特征不同，所以在兩者界面處相飽和度發(fā)生間斷，基質(zhì)的相飽和度場(chǎng)在越過裂縫時(shí)并不連續(xù)（見圖 1），因此裂縫和其兩側(cè)基質(zhì)的物質(zhì)交換并不相等，基質(zhì)與裂縫的交換流量為：

圖1 油藏基質(zhì)對(duì)角線（裂縫法向）上的油相飽和度分布曲線

裂縫流入兩側(cè)基質(zhì)的流量qα,1和qα,2滿足：

2 控制方程的數(shù)值求解

2.1 裂縫及基質(zhì)的網(wǎng)格劃分

對(duì)于含有復(fù)雜裂縫的油藏，使用不規(guī)則網(wǎng)格劃分基質(zhì)系統(tǒng)可以有效地貼合裂縫，但當(dāng)裂縫分布較為密集時(shí)，這類網(wǎng)格的劃分過程十分復(fù)雜，且工作量巨大。本文使用正交結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分油藏基質(zhì)，網(wǎng)格的空間步長(zhǎng)為 Δx=Δy=1.0 m，將裂縫看作嵌入在基質(zhì)網(wǎng)格中，這樣可以對(duì)含有復(fù)雜裂縫的油藏進(jìn)行高效網(wǎng)格劃分，以提高模擬效率。

2.2 裂縫網(wǎng)格的計(jì)算

嵌入基質(zhì)的裂縫被規(guī)則的基質(zhì)網(wǎng)格分割為Nf段一維裂縫網(wǎng)格，假設(shè)其開度都為wf，取第k段裂縫網(wǎng)格為研究對(duì)象，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)k。由于裂縫內(nèi)流體的流動(dòng)被認(rèn)為是一維的，所以可以使用常規(guī)的一維離散格式將（1）式全隱式離散為：

通過裂縫網(wǎng)格2個(gè)界面的流速可由下式得到：

對(duì)于裂縫與基質(zhì)之間的流量交換，無(wú)法使用常規(guī)格式進(jìn)行離散。本文在裂縫兩側(cè)分別建立參考點(diǎn)A和B（見圖 2），其位于裂縫網(wǎng)格的垂直平分線上，與裂縫的距離分別為dA和dB。由于壓力場(chǎng)在裂縫附近連續(xù)分布，且其導(dǎo)數(shù)在單側(cè)基質(zhì)中也保持連續(xù)，所以參考點(diǎn)A和B上的壓力可以通過裂縫及基質(zhì)網(wǎng)格中的壓力單側(cè)插值予以確定，因此裂縫與兩側(cè)基質(zhì)的流量交換可由下式求出：

圖2 裂縫網(wǎng)格兩側(cè)參考點(diǎn)示意圖

2.3 基質(zhì)網(wǎng)格的處理

在油藏中，把空間坐標(biāo)為（i，j）的網(wǎng)格作為研究對(duì)象，使用二維九點(diǎn)離散格式，（2）式可以被全隱式離散為：

其中λα=TKrα,mρα/μα，系數(shù)T滿足：

利用（12）式可以對(duì)常規(guī)基質(zhì)網(wǎng)格進(jìn)行離散，由于裂縫穿過基質(zhì)網(wǎng)格，受其影響流體的某些物理量會(huì)在網(wǎng)格中發(fā)生間斷，導(dǎo)致該網(wǎng)格的參數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確定義，因此本文在對(duì)基質(zhì)方程進(jìn)行離散時(shí)，這種網(wǎng)格將不參與實(shí)際計(jì)算，而是為其他網(wǎng)格的計(jì)算提供邊界條件。由于裂縫兩側(cè)基質(zhì)中壓力梯度分別保持連續(xù)，可以通過單側(cè)插值的方法由相鄰基質(zhì)網(wǎng)格及裂縫網(wǎng)格中的壓力確定被裂縫隔開的兩部分基質(zhì)中的壓力分布，然后得到由網(wǎng)格（i，j）進(jìn)入網(wǎng)格（i－1，j）和（i，j+1）的流量qi－1/2,j和qi,j+1/2（見圖 3），從而為網(wǎng)格（i－1，j）和（i，j+1）的計(jì)算提供邊界條件。同理，該類網(wǎng)格與相鄰常規(guī)網(wǎng)格的流量交換都可以使用以上的方法求出，因此，圖 3中虛線界面可以被認(rèn)為是整個(gè)油藏基質(zhì)中的內(nèi)邊界，且滿足第二類邊界條件。

圖3 內(nèi)邊界替代覆蓋裂縫的基質(zhì)網(wǎng)格

在求解裂縫控制方程時(shí)，若裂縫位于油藏內(nèi)部，則在兩端取絕流邊界條件；若裂縫延伸至油藏邊界，其兩端的邊界條件則由油藏的外邊界條件確定。

3 算例

本文用 2個(gè)算例驗(yàn)證模型的可靠性，并將計(jì)算結(jié)果與改進(jìn)后的離散裂縫模型（參考模型）及 Lee的模型進(jìn)行比較。

首先考慮包含直裂縫（即裂縫與油藏邊界正交）的油藏，基質(zhì)和裂縫的滲透率分別為 1.0 μm2和10 000.0 μm2[22]，注入井和生產(chǎn)井井底壓力分別為10 MPa和 7 MPa，油相和水相的初始飽和度分別為 0.7和0.3。開井2 d后，油藏中基質(zhì)和裂縫的油相飽和度分布情況見圖4?？梢钥闯霰疚哪Ｐ团c參考模型的計(jì)算結(jié)果基本相同（見圖5），這是因?yàn)楸疚哪Ｐ涂紤]了裂縫兩側(cè)相飽和度的間斷，分別計(jì)算裂縫與兩側(cè)基質(zhì)的流量交換，所以可以準(zhǔn)確地描述裂縫對(duì)油藏的影響，得到較精確的結(jié)果；而 Lee模型并未考慮裂縫兩側(cè)基質(zhì)流場(chǎng)，所以對(duì)交換流量的描述存在誤差，從而影響了模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖4 包含直裂縫的油藏開井2 d后油相飽和度分布圖

對(duì)于含有斜裂縫的油藏，即裂縫與邊界并不正交的油藏，假設(shè)其中基質(zhì)和裂縫的滲透率分別為1.0×10?3μm2和20.0 μm2，注入井和生產(chǎn)井井底壓力分別為100 MPa和70 MPa[22]，通過數(shù)值模擬計(jì)算出開井100 d后基質(zhì)和裂縫中油相飽和度分布情況（見圖 6），與直裂縫油藏中的情況類似，無(wú)論是在基質(zhì)中還是在裂縫中，本文模型的結(jié)果都與參考結(jié)果保持一致，且優(yōu)于 Lee模型（見圖7）。

圖5 直裂縫中的油相飽和度分布曲線

圖6 包含斜裂縫的油藏開井100 d后油相飽和度分布圖

圖7 斜裂縫中的油相飽和度分布曲線

以上計(jì)算實(shí)例說明，對(duì)于油藏中不同形態(tài)的導(dǎo)流裂縫，本文模型都可以準(zhǔn)確地進(jìn)行模擬，而且計(jì)算精度與改進(jìn)后的離散裂縫模型相同，高于Lee模型。

4 結(jié)論

本文采用規(guī)則網(wǎng)格劃分油藏區(qū)域，裂縫被覆蓋在基質(zhì)網(wǎng)格中，大幅度降低了網(wǎng)格劃分難度和計(jì)算量；同時(shí)考慮到流體相飽和度在裂縫兩側(cè)的不連續(xù)性，分別計(jì)算裂縫和其兩側(cè)基質(zhì)之間的物質(zhì)交換量；在離散基質(zhì)方程時(shí)，使用內(nèi)邊界替代含有裂縫的基質(zhì)網(wǎng)格參與計(jì)算，有效避免了因這種網(wǎng)格內(nèi)物理量被模糊定義而產(chǎn)生的誤差；算例表明，本文模型可以對(duì)含有導(dǎo)流裂縫的油藏進(jìn)行高效準(zhǔn)確的流動(dòng)模擬。

本文只考慮了獨(dú)立的裂縫，應(yīng)對(duì)裂縫與裂縫之間的相互交叉與影響作進(jìn)一步研究。

符號(hào)注釋：

φ——孔隙度，f；ρ——流體密度，kg/m3；S——流體飽和度，f；um——基質(zhì)中流體的流速，m/s；uf——裂縫中流體的流速，m/s；q——流量，m3/s；t——時(shí)間，s；r——原點(diǎn)到方程控制點(diǎn)的向量，m；τf——裂縫的切向向量，m；τf——裂縫切向向量的模，m；μ——流體的黏度，Pa·s；K——絕對(duì)滲透率，μm2；Kr——相對(duì)滲透率，f；p——流體的壓力，Pa；n——裂縫表面法向向量；Δt——時(shí)間步長(zhǎng)，s；d——參考點(diǎn)與裂縫的距離，m。下標(biāo)：α——相，α=w，o；β——介質(zhì)，β= m，f；m——基質(zhì)；f——裂縫；0——上時(shí)刻的變量；1，2——裂縫的2個(gè)表面。

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