閆利成 李國輝 張建龍

(內(nèi)蒙古鐵道勘察設(shè)計院有限公司，內(nèi)蒙古呼和浩特 010050)

時間序列分析在某滑坡變形監(jiān)測預(yù)報中的應(yīng)用

閆利成 李國輝 張建龍

(內(nèi)蒙古鐵道勘察設(shè)計院有限公司，內(nèi)蒙古呼和浩特 010050)

為了預(yù)防滑坡的發(fā)生，需要不斷對監(jiān)測點的高程進(jìn)行測量，觀測其變化，并對滑坡的動態(tài)變化做出預(yù)報。在簡要介紹時間序列模型的基礎(chǔ)上，以某露天礦滑坡為例，對某監(jiān)測點數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理建立差分回歸模型，分析模型的應(yīng)用。計算結(jié)果表明，預(yù)報趨勢基本符合滑坡動態(tài)發(fā)展規(guī)律，進(jìn)而說明運用時間序列分析法對滑坡變形監(jiān)測進(jìn)行預(yù)報可行。

時間序列 差分回歸模型 滑坡 變形監(jiān)測

對滑坡變形進(jìn)行監(jiān)測預(yù)報是一項重要的研究內(nèi)容?；掠兄薮蟮钠茐牧?，一旦發(fā)生，可以損壞建筑、破壞農(nóng)田、中斷交通等，往往會造成大量的人員和財產(chǎn)損失[1]。加強對滑坡變形的監(jiān)測預(yù)報，對于做好防災(zāi)減災(zāi)工作有著積極意義。

滑坡是一個動態(tài)的變化過程，盡管導(dǎo)致滑坡發(fā)生的因素很復(fù)雜，除內(nèi)部巖土性質(zhì)結(jié)構(gòu)外，還有水、采礦爆破振動等外界影響因素[1]，不考慮眾多力學(xué)影響因素，作為最終表現(xiàn)形式的監(jiān)測點前后各期高程變化之間存在著一定聯(lián)系。高程變化是一組依賴于時間t的隨機(jī)序列，t可視為影響高程變化各種因素的一個綜合量。通過大量觀測得到的監(jiān)測點高程變化數(shù)據(jù)，建立數(shù)據(jù)隨時間動態(tài)變化、反映相互關(guān)聯(lián)的模型，進(jìn)而對其進(jìn)行預(yù)報。

1 時間序列分析

時間序列是一種描述動態(tài)數(shù)據(jù)統(tǒng)計特性的方法，分為確定性變化分析和隨機(jī)性變化分析。確定性變化包含趨勢變化和季節(jié)變化等，趨勢變化是指具有趨勢變化的數(shù)據(jù)隨時間按照一定的規(guī)律表現(xiàn)為持續(xù)增長或下降，常用分析方法有：移動平均法、指數(shù)平滑法、模型擬合法等；季節(jié)變化是指受季節(jié)等外界客觀事物的影響，數(shù)據(jù)按照一個固定周期有規(guī)律的變化，常用的方法是季節(jié)指數(shù)法[2]。隨機(jī)性變化不同于上述確定性變化，是由許多不確定因素共同作用引起的序列變化，所使用的分析方法是時間序列分析法。

1.1 時間序列法常用模型[3，4]

(1)自回歸模型(AR(p))模型

(1)

(2)

(2)滑動平均模型(MA(q))模型

(3)

若采用后移算子Bqat=at-q，(3)式可以寫成

(4)

(3)自回歸滑動平均模型(ARMA(p，q))模型

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+at-θ1at-1-

(5)

采用后移算子(5)式可以寫成

(6)

(4)非平穩(wěn)時間序列模型(ARIMA(p，d，q))模型

實際問題中許多數(shù)據(jù)不具有平穩(wěn)性，對于非平穩(wěn)情形，需要對Yt序列d階差分，形成平穩(wěn)的時間序列模型，通常經(jīng)過一次或兩次差分就會穩(wěn)定下來[5]。該過程實質(zhì)上是先對觀測數(shù)據(jù)d階差分，然后再擬合ARMA(p，q)模型。引入差分算子

=1-B有

(7)

其中φ′(B)=φ(B)d

這時φ′(B)=0有d個根在單位圓上，其余根在單位圓外。

1.2 時間序列法預(yù)測問題的步驟

(1)模型初步識別

利用自相關(guān)系數(shù)(acf)和偏相關(guān)系數(shù)(pacf)來識別，計算公式為

rk和Φkk的分布漸進(jìn)于正態(tài)分布

對于AR(p)模型，它的自相關(guān)系數(shù)隨時滯k衰減呈正弦波或指數(shù)，并趨于零，稱為“拖尾性”，偏相關(guān)系數(shù)在p步之后迅速減為零，稱為“截尾性”。對于MA(q)模型則有自相關(guān)系數(shù)q步截尾，偏相關(guān)系數(shù)呈拖尾性。ARMA(p，q)模型自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)同時具有拖尾性。

(2)參數(shù)估計

主要方法有Y-W法、矩估計法、極大似然估計法、牛頓-拉夫森法、最小方差法、最小二乘法等。采用最小二乘法，將(5)式改寫為下面形式

(8)

將(8)式表示為向量形式Y(jié)=F(X，β)+e

其中Y=[Yp+1，Yp+2，…，YN]T，F(xiàn)=[fp+1，fp+2，…，fN]T，e=[ap+1，ap+2，…，aN]T

X表示觀測值Y1，…，YN，β表示待求參數(shù)φ1，…，φp，θ1，…，θq

應(yīng)用最小二乘就是要使殘差平方和

Q=[Y-F(X，β)]T[Y-F(X，β)]達(dá)到最小來求參數(shù)β。

(3)模型檢驗

對p階自回歸模型有

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+at

對p-s階自回歸模型有

檢驗Yt-p+s+1，Yt-p+s+2…Yt-p是否對回歸模型有顯著性影響，若有顯著性影響，則選擇第一個模型，否則選擇第二個模型。

H0:φp-s+1=φp-s+2=…=φp=0

H1:φp-s+1≠0，φp-s+2≠0，…，φp≠0

若H0成立

若H1成立

采用準(zhǔn)則函數(shù)確定具體階數(shù)時要求使AIC最小，當(dāng)數(shù)據(jù)樣本N較大時，ARMA(p，q)擬合的最小階數(shù)應(yīng)使得

(4)模型預(yù)報

時間序列建模的主要目的是監(jiān)測預(yù)報，在經(jīng)過上述模型識別、參數(shù)估計、模型檢驗三個關(guān)鍵步驟后，完成了建模過程。下一步使用建立好的模型對露天礦滑坡監(jiān)測點高程變化進(jìn)行預(yù)測。平穩(wěn)時間序列模型(5)式以t+l代替下標(biāo)t并兩邊取期望

E(Yt+l)=φ1E(Yt+l-1)+φ2E(Yt+l-2)+…+

φpE(Yi+l-p)+E(at+l)-θ1E(at+l-1)-

E(at+j)=0，j=1，2，3…

2 實例分析

某滑坡位于內(nèi)蒙古錫林郭勒盟西烏珠穆沁旗境內(nèi)，所在區(qū)域為丘陵山區(qū)，剝蝕堆積地形，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，在不斷開挖過程中邊坡受爆破、大型機(jī)械作業(yè)震動影響強烈，前期開采排土場建在開挖工程周邊，不斷堆積擴(kuò)大的排土場對滑坡體壓力不斷增大，穩(wěn)定性逐漸變差，加之該礦潛水區(qū)含水層屬于中等富水性也導(dǎo)致邊坡巖土抗剪強度降低，最終產(chǎn)生滑坡。

本工程在進(jìn)行滑坡變形監(jiān)測之前需進(jìn)行方案設(shè)計。方案設(shè)計就是選用常規(guī)或先進(jìn)的測量手段獲取所需變形量及其隨時間的變化情況，對測量方法選擇、網(wǎng)形布設(shè)、監(jiān)測頻率、精度要求作出具體安排。測量方法的選取按精度較高的水準(zhǔn)測量或電磁波測距三角高程法進(jìn)行，監(jiān)測網(wǎng)布設(shè)包括基準(zhǔn)點和待監(jiān)測點組成，基準(zhǔn)點應(yīng)布設(shè)在離滑坡體較遠(yuǎn)的穩(wěn)定點上，其高程視為不發(fā)生變化。待監(jiān)測點即目標(biāo)點，布設(shè)在滑坡體上，目標(biāo)點的運動描述了變形體的變形過程，根據(jù)目的要求和變形體形狀，變形監(jiān)測網(wǎng)可以布設(shè)成一維、二維或三維網(wǎng)，監(jiān)測頻率應(yīng)根據(jù)滑坡體的規(guī)模大小、滑坡變形速度、監(jiān)測點的布設(shè)位置及數(shù)目綜合確定?；聹y量精度要求使變形值不超過閾值，中誤差限定在變形量的0.05至0.1倍內(nèi)，一般在數(shù)毫米至5 cm之間。

以某監(jiān)測點滑坡前45期變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析為例(如表1所示)，說明時間序列模型在該滑坡變形監(jiān)測預(yù)報中的應(yīng)用。

表1 各期觀測值高程 m

2.1 平穩(wěn)化處理

隨機(jī)序列平穩(wěn)性是建立時間序列模型的前提基礎(chǔ)，對于非平穩(wěn)過程可以采用多次差分的方法平穩(wěn)化，滑坡監(jiān)測點的高程變化隨時間總體趨勢是下降的，其中還包含一些無規(guī)律的隨機(jī)因素起作用，是由測量誤差引起的。該序列是一個非平穩(wěn)過程，但前后各期相關(guān)性較強，應(yīng)用模型之前經(jīng)過一階差分即可以去除趨勢性成為一個平穩(wěn)過程。利用Matlab系統(tǒng)辨識工具箱提供的有關(guān)時間序列預(yù)測的函數(shù)進(jìn)行計算[5]，將原始序列經(jīng)差分去掉趨勢性，成為一個平穩(wěn)過程的圖像(如圖1所示)。

圖1 差分后圖像

2.2 階數(shù)的確定

通過計算自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)可以初步確定階數(shù)，自相關(guān)系數(shù)如圖2所示，偏相關(guān)系數(shù)如圖3所示?？梢钥闯?，自相關(guān)系數(shù)變化緩慢具有拖尾性，偏相關(guān)系數(shù)迅速下降具有截尾性。可以確定這是一個一階差分自回歸模型，初步確定模型階數(shù)為1，即采用ARIMA(1，1，0)。

圖2 自相關(guān)系數(shù)

圖3 偏相關(guān)系數(shù)

2.3 參數(shù)估計

不同階數(shù)下各參數(shù)估計如表2所示。

表2 參數(shù)估計結(jié)果

2.4 模型檢驗

以下檢驗過程給定的統(tǒng)計顯著性水平均為0.05，檢驗ARIMA(1，0，0)與ARIMA(2，0，0)的顯著性差異

計算得F=0.8，F(xiàn)0.05(1，43)=4

∵F

檢驗ARIMA(2，0，0)與ARIMA(3，0，0)的顯著性差異

計算得F=0.12，F(xiàn)0.05(1，42)=4

∵F

最終確定為一階差分回歸模型

(10)

2.5 模型預(yù)報

采用(10)式對該監(jiān)測點46～50期高程進(jìn)行計算，計算結(jié)果及與觀測值之間的偏差見表3。此外，各期觀測值和采用模型的擬合值對比見圖4。

表3 測量值與預(yù)測值對照 m

圖4 測量值與擬合值對比

3 結(jié)束語

通過建立差分回歸模型，進(jìn)行滑坡預(yù)報研究，預(yù)報值和觀測值之間的偏差均不超過8 mm，可以保持較高的預(yù)測精度，說明模型的建立是合理的。此外，在其他監(jiān)測點中應(yīng)用該模型也取得了較高的精度，說明應(yīng)用時間序列分析對該滑坡變形監(jiān)測的預(yù)測可行。

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Applicationforlandslidedeformationmonitoringandpredictionbasedontime-seriesanalysis

YAN Li-cheng LI Guo-hui ZHANG Jian-long

2014-06-16

閆利成(1976—)，男，2008年畢業(yè)于北京交通大學(xué)交通(鐵路)運輸工程專業(yè)，工程師。

1672-7479(2014)05-0015-04

TB22；TU433

： B