劉 明，李永新，吳金璽，李天齊，吳巍巍

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，安徽 合肥 230027)

基于響應(yīng)面法的蜂窩芯固有頻率優(yōu)化設(shè)計(jì)*

劉 明，李永新，吳金璽，李天齊，吳巍巍

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，安徽 合肥 230027)

對(duì)負(fù)泊松比蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行研究，選擇蜂窩芯單元橫梁長(zhǎng)度、斜梁長(zhǎng)度和其夾角三個(gè)參數(shù)為優(yōu)化變量，運(yùn)用響應(yīng)面法理論模型建立了蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)前2階固有頻率近似顯式數(shù)學(xué)模型；以提高蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)抗振性為研究目標(biāo)，運(yùn)用加權(quán)系數(shù)法將2階固有頻率模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題研究，采用遺傳算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。參數(shù)優(yōu)化結(jié)果表明，其前2階固有頻率分別提高了20%和35%，為航空航天結(jié)構(gòu)應(yīng)用提供了一定的參考價(jià)值。

負(fù)泊松比蜂窩芯；響應(yīng)面法；固有頻率；正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)；多目標(biāo)優(yōu)化

Abstract: The dynamic performance is researched for the honeycomb core structure with negative Poisson′s ratio, and aiming to improve its resistance to vibration. Explicit expressions of the first-two-order modal′s natural frequencies were established using the response surface method, and the optimized parameters included the length of the beam and the oblique beam, as well as the angle between them. Then weighting coefficient method was adopted to fuse the two modals into one cost function, and genetic algorithm was used to optimize it. Experimental results showed that the natural frequencies of the first-two-order modals is increased by 20%, 35% , respectively, which may provide some references for its application in aerospace.

Key words: negative Poisson′s ratio honeycomb core; response surface method; natural frequency; orthogonal experimental design; multi-objective optimization

0 引 言

蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)在航空航天方面應(yīng)用的研究被廣泛關(guān)注，負(fù)泊松比六邊形蜂窩芯單元具有很高的比強(qiáng)度、比剛度等優(yōu)良特性，是組成超彈性蒙皮結(jié)構(gòu)的基本組成元件。筆者以超彈性蜂窩芯蒙皮為基礎(chǔ)，選取典型的負(fù)泊松比六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)[1-2]作為研究對(duì)象，對(duì)其動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行深入研究。筆者的設(shè)計(jì)目的是使蜂窩結(jié)構(gòu)具有大的固有頻率；采用最小二乘法建立的固有頻率響應(yīng)面的數(shù)學(xué)模型可以反映結(jié)構(gòu)的抗振能力，而蜂窩結(jié)構(gòu)單元需要有大的抗震能力，因而需要盡可能大的固有頻率，優(yōu)化后的蜂窩芯尺寸結(jié)構(gòu)在航天航空上的應(yīng)用有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

1 建立固有頻率數(shù)學(xué)模型

圖1為負(fù)泊松比六邊形蜂窩芯結(jié)構(gòu)的最小結(jié)構(gòu)單元。其中a、b、θ、t、w、h分別為蜂窩芯單元橫梁長(zhǎng)度、斜梁長(zhǎng)度、斜梁與橫梁夾角、斜梁厚度、橫梁厚度、單元z向厚度尺寸參數(shù)。

基于響應(yīng)面法的蜂窩芯結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖2，首先選擇橫梁長(zhǎng)度a、斜梁長(zhǎng)度b和夾角θ這三個(gè)關(guān)鍵尺寸作為設(shè)計(jì)變量，固有頻率f作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，用正交試驗(yàn)的方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)，和ANSYS-APDL語(yǔ)言對(duì)不同蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)組合條件下進(jìn)行參數(shù)化模態(tài)分析，用遺傳算法對(duì)建立的固有頻率響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，最終得到優(yōu)化后新型蜂窩芯結(jié)構(gòu)。

圖1 負(fù)泊松比蜂窩特征單元

圖2 基于響應(yīng)面法進(jìn)行優(yōu)化流程

1.1 響應(yīng)面法理論模型

響應(yīng)面法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法[3-5]，通過(guò)合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法解決了建立目標(biāo)與約束，同設(shè)計(jì)變量之間近似函數(shù)問(wèn)題。筆者采用由二次多項(xiàng)式建立的響應(yīng)面模型，其非線性部分構(gòu)造簡(jiǎn)單固有頻率與尺寸參數(shù)xi的響應(yīng)面表達(dá)式為:

(1)

β=(β0,β1,…,β(n+1)(n+2)/2-1)T

式中：β為頻率響應(yīng)值系數(shù)矩陣，其求解方程為：

β=(XTX)-1(XTf)

(2)

(3)

(4)

式中：X、f分別為試驗(yàn)點(diǎn)矩陣、響應(yīng)值固有頻率值矩陣，m、n為試驗(yàn)次數(shù)和因素個(gè)數(shù)。

1.2 有限元法確定響應(yīng)面系數(shù)

應(yīng)用響應(yīng)面法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)為擬合的準(zhǔn)確度和效率，因此選擇合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是非常重要的。為兼顧時(shí)間和擬合精度并減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，提高實(shí)驗(yàn)效率，采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[6]，其可在設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)尋找分布均勻的狀態(tài)點(diǎn)。筆者對(duì)眾多蜂窩芯單元尺寸參數(shù)進(jìn)行取舍，選取a、b和θ三個(gè)尺寸參數(shù)作為因素進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。以蜂窩單元試驗(yàn)件為基礎(chǔ)，使a、b和θ尺寸上下變動(dòng)10%為邊界約束范圍，其他參數(shù)尺寸值不變。設(shè)計(jì)為因素、水平試驗(yàn)，如表1。

根據(jù)表1中的因素水平，設(shè)計(jì)16次正交試驗(yàn)L16(43)，如表2，進(jìn)行有限元ANSYS模態(tài)仿真分析。

通過(guò)對(duì)試驗(yàn)件的模態(tài)分析可知，低階模態(tài)振型對(duì)結(jié)構(gòu)的影響較大，可能產(chǎn)生共振破壞。如圖3為蜂窩芯單元第1階振動(dòng)模態(tài)圖，在X-Y平面內(nèi)存在明顯變形，而圖4為第2階振動(dòng)模態(tài)圖，發(fā)生了彎曲扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

表1 因素和水平

表2 正交試驗(yàn)表

因此選取具有代表性的前2階振型進(jìn)行固有頻率多目標(biāo)優(yōu)化。對(duì)表2中試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行有限元分析，利用ANSYS-APDL語(yǔ)言對(duì)16組試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)化建模和模態(tài)分析，因此根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，單元類型選擇SOLID187，并對(duì)蜂窩芯下部進(jìn)行全約束，分析類型為模態(tài)(modal)，提取方法為分塊的蘭索斯法(Block Lanczos)，得到前2階固有頻率，如表3。

圖3 蜂窩單元第1階 圖4 蜂窩單元第2階 模態(tài)陣型 模態(tài)振型

在表3中，fi(i=1,2)表示第i階固有頻率。將表2、3中數(shù)據(jù)代入式(2)得到前2階響應(yīng)面模型的系數(shù)矩陣：

表3 前2階頻率

β1= [349.5632 -0.3025 -1.0325

-11.8201 0.0024 0.0065 0.1039

-0.0098 0.0107 0.0190]

β2= [ 424.0367 -5.3016 -0.1788

-8.0746 0.0736 0.0076 0.0553

-0.0444 -0.0142 0.0393]

則固有頻率響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型為：

f1(a,b,θ)=349.5632-0.3025θ-1.0325a-11.8201b+0.0024θ2+0.0065a2+0.1039b2-0.0098θa+ 0.0107θb+0.019ab

f2(a,b,θ)=424.0367-5.3016-0.1788a-8.0746b+0.0736θ2+0.0076a2+0.0553b2-0.0444θa-0.0142θb+0.0393ab

1.3 響應(yīng)面模型的準(zhǔn)確性驗(yàn)證

采用復(fù)相關(guān)系數(shù)的方法，評(píng)價(jià)頻率響應(yīng)面函數(shù)對(duì)試驗(yàn)點(diǎn)的擬合程度：

R2=1-SSE/SSY

(5)

SSE=fTf-βTΦTf

(6)

SSY=fTf-(1Tf)2/m

(7)

當(dāng)R2=1時(shí)，說(shuō)明數(shù)學(xué)模型擬合的曲線與真實(shí)模型完全重合；當(dāng)R2越趨近于1，說(shuō)明數(shù)學(xué)模型擬合出的曲線越能真實(shí)的反應(yīng)實(shí)際模型，即精度越高。本試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果證明，擬合出的固有頻率數(shù)學(xué)模型可取代實(shí)際數(shù)學(xué)模型。

2 多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型概述

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[7-8]中，各分項(xiàng)目標(biāo)值同時(shí)達(dá)到最優(yōu)比較困難，其中一個(gè)或幾個(gè)目標(biāo)值優(yōu)化會(huì)引起其它目標(biāo)值變壞。因此需要在目標(biāo)值之間引入加權(quán)的處理方法，來(lái)協(xié)調(diào)各分項(xiàng)的值，以達(dá)到整體最優(yōu)效果。

設(shè)有n個(gè)目標(biāo)，且這n個(gè)目標(biāo)很有可能存在沖突，則其多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

Fv-min(max)(X)表示向量目標(biāo)函數(shù)中的各個(gè)子目標(biāo)函數(shù)Fi(X)達(dá)到最小值(最大值)。

2.1 蜂窩芯單元多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果分析

對(duì)蜂窩芯單元前2階固有頻率為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以a、b和θ的原始尺寸作為設(shè)計(jì)空間的中心點(diǎn)，通過(guò)權(quán)重因子ω1、ω2得到多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

F(a,b,θ)min=ω1f1(a,b,θ)+ω2f2(a,b,θ)

其邊界條件范圍為：

由于兩階頻率在優(yōu)化過(guò)程中同樣重要，因此賦予權(quán)重因子ω1=ω2=0.5。通過(guò)MATLAB編寫(xiě)遺傳算法[8-10]程序?qū)(a,b,θ)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，選擇兩點(diǎn)交叉和非均勻變異方式，經(jīng)過(guò)100代遺傳優(yōu)化后，優(yōu)化結(jié)果如表3所列。

表3 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)特性

注：優(yōu)化率=(最優(yōu)值-原始數(shù)據(jù))/最優(yōu)值

由表3可看出，通過(guò)對(duì)蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)固有頻率多目標(biāo)優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比可知，第1階和第2階固有頻率分別提高了20.07%和35.35%。這證明筆者提出的基于響應(yīng)面理論的多目標(biāo)優(yōu)化方法是有效且合理可行的。

3 結(jié) 論

首次將響應(yīng)面理論和遺傳算法應(yīng)用于蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化上，為超彈性蜂窩蒙皮的設(shè)計(jì)提供定量的優(yōu)化方法和參考。其次基于響應(yīng)面法，在給定橫梁長(zhǎng)度、斜梁長(zhǎng)度及其夾角的基礎(chǔ)上，通過(guò)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和ANSYS-APDL參數(shù)化數(shù)值模擬，快速的建立了蜂窩芯單元結(jié)構(gòu)尺寸與固有頻率響應(yīng)面數(shù)學(xué)，提高了設(shè)計(jì)質(zhì)量。同時(shí)，筆者提出的多目標(biāo)優(yōu)化方法具有普適性，響應(yīng)面法建立數(shù)學(xué)模型與具體分析結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，可推廣到2階以上的頻率多目標(biāo)優(yōu)化上。

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The Optimization and Design of Natural Frequency for Honeycomb Core Based on Response Surface Method

LIU Ming, LI Yong-xin, WU Jin-xi, LI Tian-qi, WU Wei-wei

(DepartmentofPrecisionMachineryandPrecisionInstrument,UniversityofScienceandTechnologyofChina，HefeiAnhui230027，China)

2014-05-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào)：51075380)；國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(編號(hào)：90816026)

劉 明(1988-)，男，安徽合肥人，碩士，研究方向：智能材料與機(jī)構(gòu)。

V214.6

A

1007-4414(2014)04-0015-03