胡 鋼,吳傳良,唐 亮

(安徽工業(yè)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽馬鞍山243032)

基于中值-半寬（M-H）的區(qū)間多屬性決策方法

胡 鋼,吳傳良,唐 亮

(安徽工業(yè)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽馬鞍山243032)

從不確定區(qū)間數(shù)的中值與半寬角度出發(fā)研究屬性權(quán)重信息完全未知且屬性值以區(qū)間數(shù)形式給出的多屬性決策問題。文中給出區(qū)間數(shù)定義，構(gòu)建中值-半寬（M-H）區(qū)間數(shù)排序方法與運(yùn)算法則；給出基于（M-H）區(qū)間數(shù)決策矩陣的規(guī)范化方法，依據(jù)決策方案與理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)離差最大化原則，提出求解屬性權(quán)重的優(yōu)化方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性和有效性。

多屬性決策;區(qū)間數(shù);規(guī)范化;排序方法;運(yùn)算法則

多屬性決策越來越廣泛地應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)、投資決策、項(xiàng)目評(píng)估、工廠選址等領(lǐng)域。由于客觀情況的復(fù)雜多變性以及主觀思維的不確定性,決策者往往不能給出屬性權(quán)重信息，且給出的屬性值常以區(qū)間數(shù)而不是具體數(shù)據(jù)的形式表示，對(duì)于這類問題的研究主要涉及3個(gè)方面：1）數(shù)據(jù)的處理，特別是區(qū)間數(shù)決策矩陣的規(guī)范化；2）屬性權(quán)重的確定；3）根據(jù)區(qū)間數(shù)綜合屬性值確定方案的排序。對(duì)于規(guī)范化問題，Moore R等[1]在數(shù)字決策矩陣規(guī)范化的基礎(chǔ)上做適當(dāng)改進(jìn)，但沒有充分利用區(qū)間數(shù)決策矩陣的特性；樊治平等[2]、劉樹林等[3]基于誤差傳遞的規(guī)范化方法，適用性較差；徐澤水等[4]、胡鋼等[5]從主觀和客觀兩個(gè)方面進(jìn)行屬性權(quán)重研究。排序問題主要解決對(duì)區(qū)間數(shù)的排序，其中周光明等[6]給出M-V的方法簡(jiǎn)單實(shí)用，徐澤水等[4,7-8]給出基于可能度的排序方法。這些研究中區(qū)間數(shù)用上下限的形式來表示。于少偉等[9]基于信息中值與半寬給出動(dòng)態(tài)區(qū)間系統(tǒng)魯棒性測(cè)度分析，但未對(duì)區(qū)間信息的中值半寬偏好信息進(jìn)行預(yù)處理，且對(duì)信息集結(jié)提取方式?jīng)]有深入分析。本文采用對(duì)區(qū)間數(shù)偏好信息提取與集結(jié)方式——中值和半寬（M-H）形式對(duì)多屬性決策問題進(jìn)行研究。

1 區(qū)間數(shù)定義及排序

定義1記a=[aL，aU]={x|0＜aL≤x≤aU，aL，aU∈R},稱a為一個(gè)區(qū)間數(shù)。

顯然,當(dāng)aL=aU時(shí),區(qū)間數(shù)a退化為實(shí)數(shù)。

周光明等[6]提出關(guān)于不確定性決策中區(qū)間數(shù)的一種期望－方差(E-V)排序方法，這里的期望值即是區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)值，方差的大小代表了區(qū)間數(shù)信息的不確定程度，因此可以用 w(·)來代替方差。設(shè)，建立如下M-H優(yōu)先序關(guān)系：

定義2a優(yōu)于b是指以下兩種情形之一發(fā)生：1)m(a)＞m(b);2)m(a)=m(b)且w(a)＜w(b)。

定義3a等價(jià)于b是指m(a)=m(b)且w(a)=w(b)。

定義4a劣于b是指以下兩種情形之一發(fā)生：1)m(a)＜m(b);2)m(a)=m(b)且w(a)＞w(b)。把a(bǔ)優(yōu)于b記作a?b，a等價(jià)于b記作a～b，a不劣于b記作a≥b，a劣于b記作a?b。顯然以上定義的區(qū)間數(shù)的偏序序關(guān)系具有傳遞性、連通性。

2 區(qū)間數(shù)運(yùn)算法則

現(xiàn)有的區(qū)間數(shù)二元運(yùn)算關(guān)系都是針對(duì)上下限形式表示的區(qū)間數(shù)給出的，本文給出針對(duì)中點(diǎn)半寬形式表示的區(qū)間數(shù)給出區(qū)間數(shù)的二元運(yùn)算關(guān)系如下：

表1 決策矩陣Tab.1Decision-matrix

3 區(qū)間數(shù)多屬性決策

屬性集U中有效益型和成本型兩種類型屬性。效益型屬性其值越大越好；成本型屬性其值越小越好。設(shè)I1和I2分別表示效益型和成本型屬性的下標(biāo)集。

3.1 區(qū)間數(shù)決策矩陣規(guī)范化處理方案

為消除各屬性的不同物理量綱對(duì)決策結(jié)果的影響，先對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化。這里基于區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)和半寬給出區(qū)間數(shù)決策矩陣的規(guī)范化方法。

1)中值決策矩陣規(guī)范化

2)半寬矩陣規(guī)范化

3)標(biāo)準(zhǔn)化

因?yàn)閞1ij，r2ij∈[0，1]，所以m(ij)-w(ij)∈[0，1]，m(ij)+w(ij)∈[0，1]，則=(ij)m×n為規(guī)范化的區(qū)間數(shù)決策矩陣。

3.2 決策方法

定義4稱R+={r1+，r2+，…，rn+}為區(qū)間型理想方案，其中rj+=1，0。

定義5方案xi和區(qū)間型理想方案R+關(guān)于指標(biāo)uj的關(guān)聯(lián)系數(shù)為

其中Lij為區(qū)間數(shù)ij到r+j的距離，這里的距離采用第2節(jié)給出的區(qū)間數(shù)距離公式，ρ為分辨系數(shù)，ρ∈[0，1]，一般取值0.5。

各方案與理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣為

為確定第 j個(gè)指標(biāo)uj的權(quán)重，建立下面最優(yōu)化模型：

該最優(yōu)化模型意義在于：指標(biāo)權(quán)重的確定取決于該指標(biāo)下所有方案與理想方案關(guān)聯(lián)度的離差程度，若其離差程度越大，則說明所有方案的指標(biāo)值的離差程度越大，則該指標(biāo)對(duì)方案排序所起的作用越大，應(yīng)賦予較大的權(quán)重；反之，則應(yīng)該賦予較小的權(quán)重。通過求解最優(yōu)化模型，并歸一化得

根據(jù)多屬性決策分析中的加權(quán)法,令

基于上述討論，給出具體的算法如下：

Step1根據(jù)決策問題構(gòu)造決策矩陣A=(aij)m×n，并利用提出的規(guī)范化方法把其轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)范化決策矩陣

Step4根據(jù)式(12)求得各個(gè)方案的綜合屬性值，并利用M-H方法對(duì)方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

表2區(qū)間數(shù)決策矩陣ATab.2 M axtrix of interal-number decision

4 實(shí)例分析

采用文獻(xiàn)[8]提供的數(shù)據(jù)驗(yàn)證所提出的決策方法合理性。為開發(fā)新產(chǎn)品，對(duì)五個(gè)投資方案進(jìn)行選擇。有4項(xiàng)評(píng)價(jià)因素(屬性)：投資額(u1)，期望凈現(xiàn)值(u2)，風(fēng)險(xiǎn)盈利值(u3)，風(fēng)險(xiǎn)損失值(un)。其中投資額和風(fēng)險(xiǎn)損失值為成本型屬性，期望凈現(xiàn)值和風(fēng)險(xiǎn)盈利值為效益型屬性。區(qū)間數(shù)決策矩陣見表2。

由式(6)、(9)計(jì)算規(guī)范化中值矩陣R1

由式(8)計(jì)算規(guī)范化半寬矩陣R2

用式(11)求得最優(yōu)權(quán)重向量

由式(12)求得方案的綜合屬性值分別為

利用M-H方法對(duì)方案進(jìn)行排序易得：x1?x3?x5?x4?x2。因此x1具有較大的投資價(jià)值。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)屬性權(quán)重信息完全未知、且屬性值以區(qū)間數(shù)給出的區(qū)間數(shù)多屬性決策，給出了基于中值半寬（M-H）區(qū)間數(shù)不確定偏好信息的提取、融合、規(guī)范化以及排序新方法。該方法簡(jiǎn)潔、直觀、便于計(jì)算，為多屬性區(qū)間網(wǎng)絡(luò)決策、區(qū)間系統(tǒng)多順序時(shí)段動(dòng)態(tài)決策提供新的理論根據(jù)與方法。

[1]Moore R,Lodw ickW.Intervalanalysisand fuzzy set theory[J].Fuzzy Setsand Systems,2003,135:5-9.

[2]樊治平,宮賢斌,張全.區(qū)間數(shù)多屬性決策中決策矩陣的規(guī)范化方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),1999,20(3):326-329.

[3]劉樹林,邱菀華.多屬性決策基礎(chǔ)理論研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1998,18(1):38-43.

[4]徐澤水,達(dá)慶利.區(qū)間數(shù)排序的可能度法及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2003,18(1):67-70.

[5]胡鋼,馮向前,魏翠萍等.區(qū)間數(shù)判斷矩陣滿意一致性遞推排序方法研究[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版,2007(11):89-93.

[6]周光明,劉樹人.不確定多屬性決策中區(qū)間數(shù)的一種新排序法[J].系統(tǒng)工程,2006,24(4):115-117.

[7]徐澤水.不確定多屬性決策方法及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

[8]徐澤水,孫在東.一類不確定型多屬性決策問題的排序方法[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2002,5(3):35-39.

[9]于少偉,史忠科.基于正態(tài)分布區(qū)間數(shù)的逆向云新算法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2011(10):2021-2026.

責(zé)任編輯：丁吉海

NovelMethod for theM id-pointand Half-w idth IntervalMultiple Attribute Decision Making

HUGang,WU Chuanliang,TANG Liang
(School of Management Science&Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032, China)

Multipleattribute decisionmaking problemswith intervalnumbers isstudied from theview of themid-point and half-w idth of indefinite interval numbers,in which the information about the attribute weights is unknown completely.Firstofall,rankingmethod and operation rulesof intervalnumbersare instituted.Then new formula for normalizing the decisionmatrixw ith intervalnumbers isgiven.Furthermore,anew method forobtaining the attribute weights is proposed based onmaxim izing deviation of connection coefficientbetween each scheme and the ideal scheme.Finally,a numericalexample isgiven to show the feasibility and effectivenessof themethod.

multipleattributedecisionmaking;intervalnumbers;normalization;rankingmethods;operation rule

C934,O223

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2014.01.021

1671-7872(2014)01-0094-05

2012-10-25

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2011Z035)；安徽省社科規(guī)劃項(xiàng)目（AHSK11-12D74）

胡鋼(1970－),男,甘肅天水人,博士,副教授,研究方向?yàn)槲锪鞴こ獭Q策分析。