李曉敏

(鹽城工學院 基礎教學部,江蘇 鹽城 224051)

C余弦函數(shù)的概率型逼近問題

李曉敏

(鹽城工學院 基礎教學部,江蘇 鹽城 224051)

借助于算子值數(shù)學期望以及概率論方法,利用C余弦函數(shù)與C半群之間關系、Taylor展開式、H?lder不等式及適當?shù)碾S機變量矩生成函數(shù)等工具,得到C余弦函數(shù)概率型逼近表達式及其更一般的結論,并利用推得的結論從生成元的角度給出了C余弦函數(shù)概率型逼近的指數(shù)公式。

C余弦函數(shù)；泰勒展開式；矩生成函數(shù)；概率型逼近

近年來算子的表示和逼近得到了廣泛的發(fā)展,Pfeifer[1-4]給出了C0半群的形式簡單而又普遍適用的概率表示式，并提供了這些公式收斂速度的精確估計；陳文忠等[5-6]對于C0半群及C半群概率型的表示做了深入的研究;指數(shù)有界C余弦函數(shù)的概念由Tanaka[7]引入，同時在C具稠值域時引入了其完全無窮小生成元的概念，并給出了指數(shù)有界C余弦函數(shù)的生成定理極其對二階抽象cauchy問題的應用。

本文在半群概率型逼近基礎上討論了指數(shù)有界C余弦函數(shù)的概率型逼近問題,利用指數(shù)有界C余弦函數(shù)與C半群之間關系推得的泰勒展開式(引理3)及H?lder不等式，得到了C余弦函數(shù)概率型逼近表達式(定理2),從而推出了其更一般的概率型逼近結論(推論1),并利用所得結論從生成元的角度給出了C余弦函數(shù)概率型逼近的指數(shù)公式(定理3)。

1 C余弦函數(shù)的定義及性質(zhì)

假設X是Banach空間,B(X)為X上的一切有界線性算子的集合,D(A)表示A的定義域,R(A)表示A的值域,C∈B(X)。

定義1[7]設(X,‖·‖)是Banach空間,C∈B(X)為單射,若算子C:R→B(X)滿足

(1)C(t+s)C+C(t-s)C=2C(t)C(s),?t,s∈R；

(2)C(0)=C；

(3)t→C(t)x對每一固定的x∈X在R上是連續(xù)的；

(4)存在M,ω≥0,使得‖C(t)‖≤Meω|t|。

則C:R→B(X)稱為是X上的一個指數(shù)有界的強連續(xù)C余弦函數(shù),簡稱為指數(shù)有界的C余弦函數(shù),記作C(t)∈G(M,ω)。

性質(zhì)2[8]設A是指數(shù)有界C余弦函數(shù)

C(t)的無窮小生成元,則下面結論成立

(3)?x∈D(A),C(t)x∈D(A),且

2 C余弦函數(shù)的概率型逼近問題

引理1[2]設S(·)x是可測的,且對所有x∈X其賦值是獨立的,若‖S(·)‖≤g(·),其中g(g≥0)是一般意義下的可積函數(shù),則S是廣義Pettis可積的,且

引理3[6](泰勒展開式)設B為C半群

{T(t)}t≥0的無窮小生成元,若x∈D(Br),r≥1,則對?s,t≥0,有：

T(t)x-T(s)x=

定理1 設A是C余弦函數(shù)C(t)的無窮小生成元,A=B2,若x∈D(Br),r≥1,則對?s,

t≥0,有：

C(t)x-C(s)x=

證明：

C(t)x-C(s)x=

(1)

其中x∈D(A)

(2)

其中x∈D(A2)

證明：當x∈D(A)時,由Taylor展開式和H?lder不等式,得

‖E∫tU(U-u)h(u)Axdu‖≤

(1)式得證。

當x∈D(A2)時,由于

C(U)x-C(t)x=

所以

(2)式得證。

類似的,我們可以得到以下推論：

下面從生成元的角度給出一般形式的C余弦函數(shù)C(t)概率逼近式及指數(shù)公式

(3)

(4)

在(1)式中令p=2得

(4)式的證明同(3)式。

從而得出C余弦函數(shù)概率逼近指數(shù)公式。

[1]PfeiferD.Onaprobabilisticrepresentationforsemigroupsofoperator[J].Math.Esponsition,1984(1):93-98.

[2] Pfeifer D. Approximation theoretic aspect of probabilistic representation for operator semigroups[J].Journal of Approximation theory,1985,43(3):271-296.

[3] Pfeifer D. Probabilistic concepts of Approximation theory in connection with operator semigroups[J].Journal of Approximation theory,1985,1(4):93-118.

[4] Pfeifer D. Butzer P L. A Probabilistic to representation formulate or semigroups of operator with rates of convergence[J].Applicable Analysis,1986，23:111-118.

[5] Chen W Z, Zhou M. Asymptotic formula for probabilistic representations of (C0) operator semigroups[J].Northeast Math, 1994,10(2):159-166.

[6] 陳文忠.C半群概率表示的飽和定理[J].廈門大學學報:自然科學版,1995,34(1):1-6.

[7] Tanaka N. On the exponentially bounded C-cosine family[J].Gokujutsu Kenkyu(Academic Studies),Math,1988,37:37-44.

[8] 鄭權,雷巖松.指數(shù)有界的C余弦算子函數(shù)[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學.1996.16(3):242-252.

[9] 嚴士健,劉秀芳.測度與概率[M].北京:北京師范大學出版社,2003:308-309.

(責任編輯：張英健)

Probabilistic Approximations ofCCosine Functions

LI Xiaomin

(Department of Basic Education, Yancheng Institute of Technology, Yancheng Jiangsu 224051, China)

Probabilistic approximations and general conclusion are given forCcosine function by means of operator-valued

mathematical expect and probabilistic methods, using the Taylor expansion given by the association ofCcosine function andCsemigroups' inequality and moment-generating function. Finally, using these given conclusion, the exponential formula of probabilistic approximations forCcosine function is produced by virtue of generator.

Ccosine function；Taylor expansion；moment-generating function； probabilistic approximations

2014-09-29

李曉敏(1978-)，女，江蘇徐州人，助教，碩士，主要研究方向為算子半群。

O177

A

1671-5322(2014)04-0018-03