蔣曉勇

縱觀高中數(shù)學(xué)知識，給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發(fā)展水平如何呢？從高中學(xué)生學(xué)齡特點來看，學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢？實踐經(jīng)驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發(fā)展區(qū)原理，不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還會影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維，應(yīng)重視形象思維的教育功能，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析，望能有助于教學(xué)實踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個層次，包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結(jié)DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學(xué)生將問題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對應(yīng)著的，例如在解決代數(shù)問題時運用類幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯(lián)想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應(yīng)該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中，我都會構(gòu)作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1．形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如：在介紹誘導(dǎo)公式時，需要學(xué)生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學(xué)習(xí)時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構(gòu)圖來實現(xiàn)形象化，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2．形象思維能有效促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難，主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知，而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時，如果不注重實例分析，學(xué)生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實生活中具體的對應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā)，激活形象的思維，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的，也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們在和學(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后，學(xué)生是不是真的懂了呢？筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā)，我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形，給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數(shù)學(xué)教材的安排來看，教材注重知識學(xué)習(xí)過程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發(fā)，激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生問題的解決.學(xué)生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認(rèn)識，這個時候給出原理的內(nèi)容，實現(xiàn)從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實生活中的價值，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3．形象思維推動學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源？筆者根據(jù)教學(xué)實踐經(jīng)驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學(xué)中用到的實物、標(biāo)本，給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實驗等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對橢圓的特點進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補運算”時，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識.

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

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縱觀高中數(shù)學(xué)知識，給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發(fā)展水平如何呢？從高中學(xué)生學(xué)齡特點來看，學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢？實踐經(jīng)驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發(fā)展區(qū)原理，不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還會影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維，應(yīng)重視形象思維的教育功能，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析，望能有助于教學(xué)實踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個層次，包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結(jié)DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學(xué)生將問題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對應(yīng)著的，例如在解決代數(shù)問題時運用類幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯(lián)想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應(yīng)該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中，我都會構(gòu)作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1．形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如：在介紹誘導(dǎo)公式時，需要學(xué)生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學(xué)習(xí)時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構(gòu)圖來實現(xiàn)形象化，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2．形象思維能有效促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難，主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知，而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時，如果不注重實例分析，學(xué)生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實生活中具體的對應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā)，激活形象的思維，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的，也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們在和學(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后，學(xué)生是不是真的懂了呢？筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā)，我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形，給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數(shù)學(xué)教材的安排來看，教材注重知識學(xué)習(xí)過程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發(fā)，激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生問題的解決.學(xué)生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認(rèn)識，這個時候給出原理的內(nèi)容，實現(xiàn)從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實生活中的價值，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3．形象思維推動學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源？筆者根據(jù)教學(xué)實踐經(jīng)驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學(xué)中用到的實物、標(biāo)本，給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實驗等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對橢圓的特點進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補運算”時，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識.

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

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縱觀高中數(shù)學(xué)知識，給老師、學(xué)生“抽象”、“概括”的感覺，的確要學(xué)好高中數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有很強的抽象思維能力.不過高中生的思維發(fā)展水平如何呢？從高中學(xué)生學(xué)齡特點來看，學(xué)生的抽象思維處于發(fā)展階段，還不夠成熟，尤其是剛剛步入高一時，學(xué)生的思維主體還是形象思維.那么，我們的教學(xué)是不是一下子到達(dá)抽象思維要求呢？實踐經(jīng)驗表明，如果直接跳躍到抽象思維，不符合最近發(fā)展區(qū)原理，不僅僅不利于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還會影響高中生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，造成嚴(yán)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，影響后續(xù)學(xué)習(xí).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失了形象思維，應(yīng)重視形象思維的教育功能，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的提升.本文結(jié)合案例就形象思維的層次及教育功能進(jìn)行分析，望能有助于教學(xué)實踐.

一、數(shù)學(xué)形象思維的層次

1．幾何思維

幾何思維是數(shù)學(xué)形象思維的第一個層次，包括函數(shù)圖象、平面幾何圖形和立體幾何圖形等.該層次的幾何思維涉及到的或是直觀的幾何問題，或是在原有圖形上添加輔助線進(jìn)一步直觀化研究，或是將文字表征化為圖形表征進(jìn)行研究，或是把生活中實際問題化為幾何問題的研究.

例如，在立體幾何中存在著一類問題——折疊問題，將某一平面圖形沿一條直線折起，從而形成一個空間圖形.接著探究折疊后的空間圖形中某些線或面之間的位置關(guān)系.解決這類問題就需要在原有圖形的基礎(chǔ)上做輔助線完成問題的解答.

例1已知矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，沿對角線AC將它折成一個直二面角，求折疊

后AC與BD所成角.

解如圖1所示，在折疊前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延長BE至點G，使EG=BE，連結(jié)DG,得EG∥DF，EG=DF，得四邊形EFDG為平行四邊形，得DG∥EF，∠BDG是異面直線AC與BD所成角.折疊后，如圖1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，則EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．類幾何思維

類幾何思維要比幾何思維深一個層次，往往是要求學(xué)生將問題與頭腦中的原有認(rèn)知和經(jīng)驗形象進(jìn)行溝通.數(shù)學(xué)中的“式”、“形”或“結(jié)構(gòu)”通常是對應(yīng)著的，例如在解決代數(shù)問題時運用類幾何思維或?qū)⒋鷶?shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，聯(lián)想與之相似、相近的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行問題解決.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的結(jié)構(gòu)具有聯(lián)系.

例2已知點P(x,y)滿足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求點P的軌跡方程.

解析解決這個問題可以聯(lián)想到

點P(x,y)到兩個定點(0,-3)，(0,3)的距離和為4.又因為4>23，聯(lián)系到橢圓的定義則可以知道，P點的軌跡應(yīng)該是橢圓，則其方程為y24+x2=1.

3．意會形象思維

這是形象思維的最高層次，著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)說：“在我所從事的全部數(shù)學(xué)研究中，我都會構(gòu)作這樣的圖像，它一定是一幅模糊的東西，有了這個圖，我才不會誤入歧途.”阿達(dá)瑪(Hadamard)所說的“圖像”即是意會形象.

二、數(shù)學(xué)形象思維的教育功能

1．形象思維能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

教師應(yīng)注意在課堂教學(xué)中有效地使用形象思維，突出形象思維的直觀、形象的特點，就會使更多的學(xué)生遠(yuǎn)離高度抽象的數(shù)學(xué).

例如：在介紹誘導(dǎo)公式時，需要學(xué)生掌握六組基本公式，抽象而瑣碎.若在證得六組公式后，把其特點編成順口溜：“奇變偶不變，符號看象限”，實踐演練后會收到意想不到的效果.

學(xué)生在求知過程中，喜歡新鮮、有趣、多樣化.因此，學(xué)習(xí)時配以貼切形象的歌訣，能引起他們的興趣，且便于記憶.此外，我們還可以通過構(gòu)圖來實現(xiàn)形象化，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化抽象為具體、化深奧為淺顯，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2．形象思維能有效促進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的理解、記憶和提取

為什么學(xué)生感覺數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)難，主要原因在于數(shù)學(xué)概念和法則都很抽象，表象都比較隱晦，學(xué)生需要借助于具體的模型和先行組織者，將學(xué)習(xí)內(nèi)容“翻譯”、“轉(zhuǎn)換”才能被學(xué)生直接感知，而要抽象成數(shù)學(xué)概念還必須借助于數(shù)學(xué)形象思維才行.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念時，如果不注重實例分析，學(xué)生的思維是不積極的，知識理解程度低.筆者認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生所接觸現(xiàn)實生活中具體的對應(yīng)關(guān)系的量、事物出發(fā)，激活形象的思維，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解.

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)和證明同樣不應(yīng)該是純理性的，也需要數(shù)學(xué)形象思維的參與.我們在和學(xué)生學(xué)習(xí)了一條數(shù)學(xué)定理及其證明后，學(xué)生是不是真的懂了呢？筆者認(rèn)為必須從概念的直觀含義出發(fā)，我們教師要呈現(xiàn)出可視化的圖形，給學(xué)生展示證明的直觀思路.只有建立在直觀的思路上，學(xué)生的懂才是真正的懂.

其實，從高中數(shù)學(xué)教材的安排來看，教材注重知識學(xué)習(xí)過程形象思維的直觀呈現(xiàn).比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先從生活中實際例子出發(fā)，激活學(xué)生頭腦中的已有經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生問題的解決.學(xué)生在解決問題的過程中對生活中的問題有了一個整體認(rèn)識，這個時候給出原理的內(nèi)容，實現(xiàn)從生活到知識的自然過渡，感受到生活是知識的本源，也體驗到了數(shù)學(xué)定理在現(xiàn)實生活中的價值，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)情感.

3．形象思維推動學(xué)生思維向深刻性、概括性方向發(fā)展

教學(xué)中有哪些形象的資源？筆者根據(jù)教學(xué)實踐經(jīng)驗，將形象的資源分為三類：

（1）實物資源：教學(xué)中用到的實物、標(biāo)本，給學(xué)生演示的或是和學(xué)生一起完成的實驗等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實驗演示：在豎直平面上固定兩個釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對橢圓的特點進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補運算”時，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識的理解和運用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號和圖形表征.

我們在教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識.

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗、實物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識的高級階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

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