薛麗紅

（集寧師范學院 數學系，內蒙古 烏蘭察布 012000）

在高等代數中用類比的方法構造反例

薛麗紅

（集寧師范學院 數學系，內蒙古 烏蘭察布 012000）

在學習高等代數過程中反例對問題的理解起著其至關重要作用，構造反例就成為解決問題的關鍵.本文介紹了構造反例的方法-運用類比的思維方法來構造反例，并通過高等代數中知識說明了該方法的實用性.

類比；反例；命題

高等代數這門課程開設在大一第一學期，它具有概念多、理論性強、抽象等特點.對于剛剛邁進大學校門的新生來說，學習高等代數有些吃力.對于這個情況我們不能忽視.我們知道反例在認知理解事物起著特殊的作用.本文介紹了構造反例的方法—運用類比的思維方法來構造反例，并通過高等代數中知識來驗證該方法的實用性.本文利用該方法來構造恰當的反例，從而幫助學生更加深刻地理解掌握概念、命題、定理，提高學生學好高等代數的自信心，同時啟發(fā)學生主動地構造反例，培養(yǎng)學生的逆向思維和創(chuàng)造力.

運用類比方法構造反例就是利用我們所學過的知識（如定理、命題、熟知的結論）對比新問題，對比出該問題與我們認知的不同地方，從而利用該問題的特點在新的范圍內構造反例.

命題1 實對稱矩陣A的所有順序主子式大于等于零，則A半正定

分析：可供類比的定理是實對稱矩陣A的所有順序主子式大于零，則A正定.

這樣我們構造反例時先保證順序主子式大于等于零，而對于主子式來說可有正有負的，于是我們有顯然滿足命題條件，但A是半負定，可見結論不成立.問題就出在沒有滿足主子式大于等于零，于是我們放寬條件可得這樣結論：

實對稱矩陣A的所有主子式大于等于零，則A半正定.

命題2 設V1和V2是線性空間V的子空間，則V1YV2未必是V的子空間.

分析：可供類比的命題是設V1和V2是線性空間V的子空間，則V1IV2是V的子空間.

由子空間判定定理可知我們要考慮加法、數乘的封閉性，對集合V1YV2來說數乘的封閉性顯然滿足，而對加法運算我們需要驗證，可構造反例：在R2中V1={(a,0)|a∈R}和V2={(0,b)|b∈R}為R2的子空間，取α=(1,0),β=(0,1)∈V1YV2，有α+β=(1,1)?V1YV2不滿足加法的封閉性，可見V1YV2不是V的子空間.

注意命題條件再加上V1?V2或V1?V2，V1YV2就會滿足加法的封閉性，使得結論成立.

命題3設A、B分別為n×s、s×n矩陣，若n>s，則|λI-AB|=|λI-BA|.

分析：可供類比的命題是:設A、B為n階方陣，則|λI-AB|=|λI-BA|.

于是我們構造反例時要滿足A、B不是方陣，再分別求出它們的特征多項式.可有有于是可得|λI-AB|λ-8，顯然它們的特征多項式不同，結論不成立.細心一些我們會觀察到它們還是有一定關系：僅差一個因子，我們會有結論：

設A、B分別為n×s、s×n矩陣，若n>s，則|λI-AB|=λn-s|λI-BA|.

命題4設V是有限維線性空間，σ∈L(V)，則V=σV⊕σ-1(0),其中

分析：對線性變換 σ我們熟知的結論dimσV+dimσ-1(0)=dimV，于是焦點成為證明V=σV+ σ-1(0)成立.我們對比熟知的結論：設V是有限維線性空間，σ∈L(V)，且σ2=σ，則V=σV⊕σ-1(0)，可見一般的線性變換是不能使結論成立的.顯然有σV+σ-1(0)?V關鍵證明σV+σ-1(0)?V，這樣構造反例的線性變換σ不要滿足σV+σ-1(0)?V，于是有反例：

設V=R[x]5，V上的線性變換σ：σ(f(x))=f'(x)，?f (x)∈V，則有σV=R[x]4和σ-1(0)=R，于是可得σV+ σ-1(0)=R[x]4+R≠R[x]5，所以一般V不等于值域σV和核σ-1(0)的直和.

從這個反例觀察到是值域σV不能使結論成立，但我們能找到與σV同構的子空間W能有結論.設α1,α2,…,αs是σV的一組基，σ(ηi)=αi,?ηi∈V, i=1,2,..s，W=L(η1,η2,…,ηs)，則V=W⊕σ-1(0).

命題5設A、B為正定矩陣，則A-B正定.

分析：可供類比的結論是：設A、B為正定矩陣，則A+B正定.

由A、B對稱，則A-B也對稱，特別地當這兩個矩陣相同時A-B就為零矩陣，顯然結論不成立.反例如下：

命題6設A、B為正交矩陣，則A+B也為正交矩陣.

分析：可類比的結論：設A、B為正交矩陣，則AB仍為正交矩陣.

要證(A+B)'(A+B)=I，左式展開為2I+B'A+A'B≠I，則反例：

結語

本文就高等代數中一些命題給出了運用類比思想構造反例.通過本文構造反例的過程，我們可引導學生在學習高等代數時積極主動地構造反例，從而加深對問題的理解，并養(yǎng)成獨立思考、解決問題的習慣.

〔1〕張禾瑞.高等代數(第五版)[M].高等教育出版社，2007.

〔2〕黎伯堂，劉桂真.高等代數解題技巧與方法[M].山東科學技術出版社，2001.

〔3〕楊俠，孫自行.關于高等代數中命題的反例研究[J].阜陽師范學院學報，2010.27-4.

〔4〕徐言超.簡析高等代數有關定理的條件反例[J].萊陽農學院學報，2004.

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1673-260X（2014）03-0009-02