段舒文，林 滸，鄭飂默，孫樹杰

(1.中國科學(xué)院研究生院，北京 100039;2.中國科學(xué)院 沈陽計(jì)算技術(shù)研究所，沈陽 110168)

0 引言

五軸聯(lián)動數(shù)控系統(tǒng)在當(dāng)今精密工件的加工中發(fā)揮著舉足輕重的作用，可以用于加工諸如螺旋槳、渦輪葉片、螺旋錐齒輪［1］等質(zhì)量要求高、曲面復(fù)雜的精密工件。在實(shí)際加工過程中，用G 代碼可以較容易的得到刀位數(shù)據(jù)文件，然則由于機(jī)床種類多，運(yùn)動鏈各不相同，所以由刀位數(shù)據(jù)文件求解機(jī)床軸運(yùn)動數(shù)據(jù)成為后置處理的難點(diǎn)［2］。本文對三大類機(jī)床進(jìn)行建模，給出一種簡單通用的求解方法，克服常規(guī)后置處理中坐標(biāo)變換的兩大缺點(diǎn):第一，常規(guī)后置處理主要針對旋轉(zhuǎn)矢量是特殊矢量的情形，而不是任意的空間矢量;第二，少數(shù)后置處理模型可以處理任意空間矢量，然而反解運(yùn)動學(xué)方程困難，不利于編程實(shí)現(xiàn)［3］。

1 五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)運(yùn)動通用模型

五軸機(jī)床按照旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)方式的不同，可以分為三類:雙擺頭機(jī)床，雙轉(zhuǎn)臺機(jī)床，混合型機(jī)床。每一類機(jī)床又可以根據(jù)主動軸、從動軸的選擇不同，可分為六種，然而其中兩種機(jī)床的實(shí)現(xiàn)無意義，所以有四種機(jī)床。比如，雙擺頭機(jī)床有BA，AB，CA，CB(前面的字母表示主動軸)這四種。對于每一類機(jī)床的四種具體類型機(jī)床，其運(yùn)動學(xué)的模型基本相同。本文針對每類機(jī)床建立其各自對應(yīng)的運(yùn)動學(xué)模型。

1.1 齊次運(yùn)動變換

平移運(yùn)動變換Trans［4］:

Trans(T)表示沿向量T進(jìn)行的平移變換。定義如下:

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動變換Rot［5］:

在實(shí)際的生產(chǎn)加工中，有時會用到斜旋轉(zhuǎn)軸的數(shù)控機(jī)床。這就造成當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的時候，所繞的向量可能并不是［1;0;0］或［0;1;0］或［0;0;1］，而是任意的空間向量n。在此，定義矩陣Rot(n，α)為繞任意向量n旋轉(zhuǎn)角度α 的旋轉(zhuǎn)矩陣。定義第一旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)矢量為n1，旋轉(zhuǎn)角度為α;第二旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)矢量為n2，旋轉(zhuǎn)角度為β。

矩陣Rot(n，α)的定義如下:

1.1 擺頭類機(jī)床的運(yùn)動學(xué)模型

Ow為機(jī)床坐標(biāo)系;Ot為刀具坐標(biāo)系，其中刀具方向不一定為Zt方向，所以用矢量v1=［i1;j1;k1;0］來表示。O1、O2分別為刀具第一旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系和刀具第二旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系。Ow、Ot、O1、O2這四個坐標(biāo)系相互平行。向量T1、T2為O1、O2、Ot之間的偏移。向量T為編程坐標(biāo)系下機(jī)床各直線軸的運(yùn)動矢量。變換后的刀具方向用向量v2=［i2;j2;k2;0］表示。

圖1 雙擺頭五軸機(jī)床及其運(yùn)動鏈?zhǔn)疽鈭D

根據(jù)圖1 所示雙擺頭［6］五軸機(jī)床和坐標(biāo)系對應(yīng)關(guān)系，可得如下的正向運(yùn)動學(xué)方程:

由于刀具方向與平移運(yùn)動無關(guān)，則方程可化簡為:

1.2 轉(zhuǎn)臺類機(jī)床的運(yùn)動學(xué)模型

根據(jù)轉(zhuǎn)臺類機(jī)床運(yùn)動學(xué)特點(diǎn)，同理可得如下運(yùn)動學(xué)模型:

圖2 雙轉(zhuǎn)臺機(jī)床示意圖

方程可化簡為:

1.3 混合類機(jī)床的運(yùn)動學(xué)模型

圖3 混合類機(jī)床示意圖

根據(jù)混合類機(jī)床運(yùn)動學(xué)特點(diǎn)，同理可得如下運(yùn)動學(xué)模型:

方程可化簡為:

2 反解運(yùn)動學(xué)方程

由三類機(jī)床的運(yùn)動學(xué)模型及式(1)、(2)、(3)可知，在反解旋轉(zhuǎn)運(yùn)動學(xué)方程中，即已知刀具方向在變換前和變換后的方程矢量v1=［i1;j1;k1;0］和v2=［i2;j2;k2;0］，以及兩個旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)矢量n1=［x1;y1;z1］、n2=［x2;y2;z2］，求兩個旋轉(zhuǎn)角度α，β，即是求解方程:

矩陣RotT(n，α)定義為矩陣Rot(n，α)的轉(zhuǎn)置。

可以 驗(yàn) 證，Rot(n，α)·RotT(n，α)= E，則Rot(n，α)為正交矩陣。所以式(4)可變形為:

根據(jù)式(5)，可得方程組:

其中:

方程組可由Gauss 消元法［7］解得。然而在方程有解的情況下，求得的解不唯一，在一個周期內(nèi)，至少有兩組解滿足方程。我們要根據(jù)一些具體的限制條件，找出最優(yōu)解。

確定最優(yōu)解的策略:

1)解滿足原方程組。

2)解可通過周期性變化后符合機(jī)床角度運(yùn)動范圍的上下限。

3)角度變化絕對值小(可設(shè)置主動軸變化值和從動軸變化值的權(quán)值)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

下面通過vericut 仿真一個斜旋轉(zhuǎn)軸機(jī)床的加工過程，來檢測模型的正確性。機(jī)床模型為一個BC 混合型機(jī)床，且刀具軸的旋轉(zhuǎn)矢量為即一個斜擺頭混合型機(jī)床。

圖4 斜擺頭混合型五軸機(jī)床

加工毛坯為500 ×500 ×500 的一個正方體，預(yù)期將這一正方體加工成一個側(cè)面為梯形的類棱柱體，其上表面為300 ×300 的正方形，加工后工件示意圖如圖5 所示，圖中綠色矩形為刀尖點(diǎn)路徑。為了達(dá)到加工的目的，用C 語言寫程序造型，編制刀具路徑，之后通過上述所建立的五軸機(jī)床旋轉(zhuǎn)運(yùn)動學(xué)通用模型，求解獲得刀位文件，再把刀位文件導(dǎo)入vericut 中進(jìn)行加工，加工結(jié)果如圖6 所示。經(jīng)過測量，符合預(yù)期結(jié)果。

圖5 加工后零件示意圖

圖6 加工后零件側(cè)視圖

在主頻為2.2GHz 的電腦上，分別以上述BC 斜擺頭混合型五軸機(jī)床(圖4)、CA 雙擺頭機(jī)床、AB 雙轉(zhuǎn)臺機(jī)床、AB 混合型機(jī)床為原型，用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動學(xué)通用模型求解刀軸時，所耗時間的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1 所示。除BC斜擺頭混合型五軸機(jī)床外，其余機(jī)床的刀具矢量均為［0;0;1］。表1 中數(shù)據(jù)單位為ms。

表1求解模型耗時統(tǒng)計(jì)表

分析上述表格可知，在不計(jì)數(shù)據(jù)的讀入和寫出時間情況下，用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動學(xué)通用模型求解刀軸，平均每條數(shù)據(jù)處理時間約為0.02ms，可以滿足實(shí)時運(yùn)動控制系統(tǒng)的需求(一般情況下，機(jī)床系統(tǒng)周期為2ms，運(yùn)動控制最多占1/4 的時間，即0.5ms)。

4 結(jié)束語

本文通過對三類五軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動學(xué)建模，從而推導(dǎo)出五軸數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)運(yùn)動統(tǒng)一的運(yùn)動學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，對模型進(jìn)行分析，給出求解方法，并在方程多解的情況下，進(jìn)一步給出確定最優(yōu)解的策略。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的可行性和高效性。

［1］張傳生，張安清.五軸數(shù)控機(jī)床中的坐標(biāo)變換［J］.河南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，17(3):47 -49.

［2］Zheng Kui-jing，Shang Bo. Circular Interpolation Algorithms of 5-Axis Simultaneous CNC System［J］. JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY，2006，28(z2):407 -411.

［3］李永橋，陳強(qiáng)，諶永祥. 五軸數(shù)控機(jī)床通用坐標(biāo)運(yùn)動變換及求解方法的研究［J］. 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2010(10):4 -7.

［4］靳陽，郇極，肖文磊，等. 適合多種機(jī)床結(jié)構(gòu)的數(shù)控系統(tǒng)5坐標(biāo)變換庫［J］. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38(6):842 -844.

［5］鄭飂默，林滸，蓋榮麗. 基于通用運(yùn)動模型的五軸機(jī)床后置處理［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2010，16(5):1006 -1011.

［6］張紀(jì)可，范建新，屠尉立，等. 雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機(jī)床定軸運(yùn)動學(xué)研究［J］.柴油機(jī)，2012，34(2):41 -56.

［7］吳元生. 對增廣矩陣同時使用行、列初等變換解線性方程組［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1992(10):20 -21.