孔亮

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000）

ε-近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值映射

孔亮

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000）

在復(fù)Hilbert空間中給出了近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值映射的定義，研究了近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值線性映射的性質(zhì)，應(yīng)用復(fù)Hilbert空間中的平行四邊形法則證明了非零近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值線性映射是有界且下有界的，推廣了近似保正交線性映射的定義和結(jié)論。

Hilbert空間；正交；近似正交；特定值映射

Hilbert空間中的正交性是泛函分析的重要概念之一,由正交性定義的正交基、投影算子等概念，豐富了Hilbert空間理論，從而是研究Hilbert空間的重要工具。一般賦范空間幾何性質(zhì)的研究，在20世紀(jì)初得到了很大的發(fā)展，各種正交性概念被相繼引入[1-3]。近年來(lái)，保持各種正交和近似保持各種正交映射的性質(zhì)，得到了眾多學(xué)者的深入研究：Chmieliński J[4]在內(nèi)積空間給出了保正交線性映射的刻畫,Chmieliński J[5]在有限維內(nèi)積空間中給出了保正交線性映射的穩(wěn)定性，Blanco A等[6]在賦范線性空間中證明了保正交線性映射是等距的常數(shù)倍，Turns'ek A[7]研究了與正交定義有關(guān)的穩(wěn)定性問(wèn)題，Chmieliński J[8]在一般的Hilbert空間推廣了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果，孔亮等[9]在賦范線性空間中給出了近似Birkhoff正交的定義和性質(zhì)，Ilis'evic D等[10]在Hilbert空間中給出了一個(gè)新的近似保正交映射的定義和性質(zhì)，孔亮等[11]將文獻(xiàn)[7]的結(jié)果推廣到準(zhǔn)Hilbert C*-模上，Chmieliński J等[12]在Hilbert空間中給出了映射是ε-近似保正交映射的充分條件并得到了ε-近似保正交映射的擾動(dòng)定理,Mojkerc B等[13]在實(shí)賦范線性空間中給出了近似保等腰正交映射的刻畫[14-17]。關(guān)于其它各種近似保正交映射已有許多研究。受文獻(xiàn)[1-17]概念和結(jié)果的啟發(fā),本文在復(fù)Hilbert空間中引入ε-近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值映射的定義，證明非零近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值線性映射是有界且下有界的，推廣了ε-近似保正交線性映射的定義和結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)和結(jié)論

H和K在本文中均表示復(fù)Hilbert空間，〈.，.〉是它們的內(nèi)積,i是虛數(shù)單位，R表示實(shí)數(shù)集，C表示復(fù)數(shù)集。

定義1[8]設(shè)x,y∈H，若〈x,y〉=0則稱x和y是正交的，記為x⊥y。

定義2[8]設(shè)x,y∈H，ε∈[0,1)，若｜〈x,y〉｜≤ε｜x｜｜y｜，則稱x和y是近似正交的，記為x⊥εy。

定義3[8]設(shè)x,y∈H，ε∈[0,1)，若映射T：H→K滿足x⊥y?T(x)⊥εT(y)，則稱T是ε-近似保正交的。

定義4設(shè)x,y∈H,c∈[0,1],ε∈[0,1),若映射T：H→K滿足

則稱T是ε-近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值。

注1特別地，在定義4中令c=0，則得〈x,y〉=0?｜〈T(x)，T(y)〉｜≤ε｜T(x)｜｜T(y)｜，則T是ε-近似保正交映射。從而定義4是定義3的一個(gè)推廣。

文獻(xiàn)[7]給出了關(guān)于ε-近似保正交線性映射的結(jié)論：

定理1[7]設(shè)ε∈[0，1),T：H→K是ε-近似保正交線性映射，則T有界且滿足本文主要得到以下結(jié)論：

定理2設(shè)c∈[0，1],ε∈[0，1],T：H→K是ε-近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值線性映射，則T有界且滿足

注2因?yàn)橛勺?可知當(dāng)c=0時(shí)，ε-近似保內(nèi)積的某個(gè)特定值的線性映射就是ε-近似保正交線性映射，所以在定理2中令c=0,即得定理1。即定理2是定理1的一個(gè)推廣。

2 結(jié)論的證明

為了完成定理2的證明,先給出2個(gè)引理。

引理1設(shè)x,y∈H，c∈[0,1],ε∈[0,1),若

定理2的證明對(duì)于H中的任意單位向量u,v，

[1]Roberts B D.On the geometry of abstract vector space[J].Tohoku Math J,1934,39：42-59.

[2]Birkhoff G.Orthogonality in linear metric space[J].Duck Math J,1935,1(2)：169-172.

[3]James R C.Orthogonality in normed linear space[J].Duck Math J,1945,12(2)：291-302.

[4]Chmieliński J.Linear mappings approximately preserving orthogonality[J].J Math Anal Appl,2005,301(1)：158-169.

[5]Chmieliński J.Stability of the orthogonality preserving property in finite-dimensional inner product spaces [J].J Math Anal Appl,2006,318(2)：433-443.

[6]Blanco A,Turns'ek A.On maps that preserve orthogonality in normed spaces[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 2006,136(4)：709-716.

[7]Turns'ek A.On mappings approximately preserving orthogonality[J].J Math Anal Appl,2007,336(1)：625-631.

[8]Chmieliński J.Remarks on orthogonality preserving mappings in normed spaces and some stability problems[J].Banach J Math Anal,2007,1(1)：117-124.

[9]孔 亮,曹懷信.保正交映射與正交性方程的穩(wěn)定性[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008,36(5)：10-14.

[10]Ilis'evic D,Turn s'ek A.Approximately orthogonality preserving mappings on C*-modules[J].J Math Anal Appl,2006,318(2)：433-443.

[11]孔 亮,曹懷信.ε-近似保正交映射的穩(wěn)定性與擾動(dòng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,53(1)：61-66.

[12]Chmieliński J,Wójcik P.Isosceles-orthogonality preserving property and its stability[J].Nonlinear Anal,2010,72(8)：1445-1453.

[14]Kong L,Cao H X.On linear mappings approximately preserving orthogonality[M]//Proceeding of the seventh international conference of matrices and operators.Edgbaston：World Academic Press,2012：20-23.

[15]Wójcik P.Linear mappings preserving ρ-orthogonality [J].J Math Anal Appl,2012,386(1)：171-176.

[16]Burgos M.Orthogonality preserving linear maps on C*-algebras with non-zero socles[J].J Math Anal Appl,2013,401(2)：479-487.

[17]孔 亮.ε-近似保等腰正交線性映射的刻畫[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào),2013,31(3)：193-198.

(責(zé)任編輯：李堆淑）

On Mappings Approximately Preserving a Particular Value of Inner Product

KONG Liang
(College of Mathematics and Computer Application,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi)

In complex Hilbert spaces,the definition of mapping approximately preserving a particular value of the inner product is given.Then the properties of linear mapping approximately preserving a particular value of the inner product are studied.Finally,it is proved that the nonzero linear mapping approximately preserving a particular value of the inner product is bounded and bounded below by parallelogram law.The result is a generalization of approximate orthogonality preserving linear mappings.

Hilbert space;orthogonality;approximate orthogonality;particular value of the inner product

O177.1

：A

：1674-0033(2014)06-0013-03

10.13440/j.slxy.1674-0033.2014.06.005

2014-04-29

商洛學(xué)院科研基金項(xiàng)目（14SKY016）

孔 亮，男，陜西商州人，碩士，講師