李亮，岳紀(jì)東，張煒，劉良勇，馬小梅

(洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司， 河南 洛陽(yáng) 471039)

接觸和接觸摩擦問(wèn)題在工程中處處可見(jiàn)，如齒輪嚙合、螺栓連接、摩擦以及滑動(dòng)過(guò)程等。目前，有限元法是分析接觸和接觸摩擦問(wèn)題的最有效方法之一，已廣泛應(yīng)用于航空航天、核能電站、地下建筑等結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，成效顯著[1]。文獻(xiàn)[2]在接觸和接觸摩擦方面做了大量的研究工作；文獻(xiàn)[3]研究的接觸和接觸摩擦問(wèn)題主要集中在巖土等固體力學(xué)方面；文獻(xiàn)[4]在對(duì)雙轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析時(shí)，僅將其簡(jiǎn)化為彈簧和阻尼，計(jì)算收斂性較好，取得了滿(mǎn)意的結(jié)果，但未考慮支承軸承的接觸和接觸摩擦對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響；而且國(guó)內(nèi)在進(jìn)行軸承組件動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，未曾報(bào)道對(duì)其支承軸承的接觸和接觸摩擦方面的研究。下文基于軸承組件中軸承外圈與軸承座的接觸和球與內(nèi)、外圈溝道的接觸摩擦均呈現(xiàn)高度非線性的特點(diǎn)，利用接觸單元和兩節(jié)點(diǎn)接觸摩擦單元分別構(gòu)建了接觸和接觸摩擦數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上建立了軸承組件的有限元非線性數(shù)學(xué)模型，并利用開(kāi)發(fā)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析軟件，對(duì)不同工況條件下軸承組件支承軸頂端內(nèi)環(huán)某頂點(diǎn)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行計(jì)算分析和試驗(yàn)驗(yàn)證，以驗(yàn)證所建模型的正確性。

1 軸承組件模型

1.1 軸承組件結(jié)構(gòu)

軸承組件如圖1所示，由支承軸、碟形彈簧、軸承、軸承座、供油器、鎖緊螺母等組成，其中A為支承軸頂端內(nèi)環(huán)某頂點(diǎn)。

1—軸承；2—供油器；3—軸承座；4—鎖緊螺母；5—碟形彈簧;6—支撐軸；

1.2 數(shù)學(xué)模型

因軸承組件的幾何形狀、邊界、材料具有軸對(duì)稱(chēng)等特點(diǎn)，所以建立了軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)有限元分析模型[1]。任一節(jié)點(diǎn)的位移有2個(gè)方向的分量，即沿徑向的位移分量u和沿軸向的位移分量w。不考慮阻尼因素的影響，利用有限元方法建立的軸承組件數(shù)學(xué)模型為

(1)

1.3 接觸和接觸摩擦模型分析

軸承組件中的球軸承是關(guān)鍵零件之一，其外圈與軸承座的接觸以及球與內(nèi)、外圈的接觸摩擦以邊界非線性來(lái)考慮，呈現(xiàn)高度非線性，主要表現(xiàn)在2個(gè)方面[1,3]：

(1) 接觸表面的改變，即自由表面邊界的一部分轉(zhuǎn)變?yōu)榻佑|面邊界；或反之，由接觸面邊界放松接觸而蛻變?yōu)樽杂蛇吔纭?/p>

(2)由于接觸面的變形、摩擦和滑移，可能表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性。從而導(dǎo)致接觸問(wèn)題和摩擦問(wèn)題耦合的高度非線性，可以從數(shù)學(xué)角度將其抽象為一種數(shù)學(xué)模型。

1.3.1 接觸的高度非線性

對(duì)接觸或?qū)⒁佑|的2個(gè)物體，其接觸狀態(tài)有分離、粘結(jié)接觸和滑動(dòng)接觸3種狀態(tài)，其接觸面力學(xué)模型如下：

分離狀態(tài)時(shí)

Pi=-Pj=0；

(2)

滑動(dòng)接觸狀態(tài)時(shí)

Pi=-Pj<0；

(3)

粘結(jié)接觸狀態(tài)時(shí)

Pi=-Pj=μFr，

(4)

式中：Pi和Pj分別為2個(gè)接觸物體間接觸摩擦力；μ為摩擦因數(shù)；Fr為法向力。

2個(gè)接觸物體示意圖如圖2所示，其接觸狀態(tài)間的轉(zhuǎn)化條件如下：

圖2 2個(gè)接觸物體示意圖

分離狀態(tài)時(shí)

n(ui-uj)+dij>0；

(5)

滑動(dòng)接觸狀態(tài)時(shí)

n(ui-uj)+dij>0，

ns(ui-uj)=0 ；

(6)

粘結(jié)接觸狀態(tài)時(shí)

n(ui-uj)+dij=0，

(7)

式中：n為法向單位矢量(徑向r)；ns為切向單位矢量(軸向a)；dij為接觸對(duì)初始間距。當(dāng)3種接觸狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)化[3]時(shí)，接觸界面的位移和力發(fā)生相應(yīng)的變化，導(dǎo)致接觸狀態(tài)的高度非線性。

考慮軸承組件中軸承外圈與軸承座的接觸狀態(tài)，利用有限元離散接觸界面方法[5-8]在2個(gè)物體接觸界面上同一位置兩側(cè)設(shè)1個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)ij，將這一節(jié)點(diǎn)對(duì)連接即可組成1個(gè)單元(即接觸單元)。其力學(xué)模型采用一個(gè)沿法向的彈簧和一片沿切向的彈簧連接2個(gè)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)發(fā)生相對(duì)位移時(shí)就產(chǎn)生相互作用力。接觸面上節(jié)點(diǎn)對(duì)ij如圖3所示。

圖3 接觸單元模型

法向和切向剛度系數(shù)分別表示為Kn(與徑向位移分量u相對(duì)應(yīng))和Ks(與軸向位移分量w相對(duì)應(yīng))。節(jié)點(diǎn)力和位移關(guān)系為

(8)

式中：ui，wi分別為軸承外圈接觸面上i節(jié)點(diǎn)的徑向和軸向位移變量；uj，wj分別為軸承座接觸面上j節(jié)點(diǎn)的徑向和軸向位移變量；Fri，F(xiàn)rj分別為軸承外圈接觸面上節(jié)點(diǎn)i和軸承座接觸面上節(jié)點(diǎn)j處所受徑向載荷；Fai，F(xiàn)aj分別為軸承外圈接觸面上節(jié)點(diǎn)i和軸承座接觸面上節(jié)點(diǎn)j處所受軸向載荷。

接觸狀態(tài)下剛度系數(shù)的取值：當(dāng)接觸粘連時(shí)，Kn取很大的值；當(dāng)接觸面未接觸時(shí)，Kn取很小的值。由于接觸狀態(tài)事先未知，即Kn，Ks的值不確定和非線性，求解過(guò)程需要作增量迭代[2]，在接觸與分離狀態(tài)通過(guò)輸入接觸單元不同的剛度值來(lái)求解和修正模型。

1.3.2 接觸摩擦的高度非線性

軸承組件中的球軸承在工作狀況下，鋼球與溝道之間的滑動(dòng)和滾動(dòng)是典型的接觸和接觸摩擦問(wèn)題[3]。從力學(xué)角度分析接觸前、后球的接觸狀態(tài)來(lái)模擬摩擦，由于球的運(yùn)動(dòng)，使接觸點(diǎn)的位置不斷變化，導(dǎo)致接觸邊界條件高度非線性，采用Katona的兩節(jié)點(diǎn)接觸摩擦單元。接觸摩擦單元的等效剛度矩陣——約束矩陣Kc和等效載荷向量fc分別表示為[3]

(9)

(10)

?*由外載荷摩擦力矩矢量[9]給定，固定狀態(tài)時(shí)

?*=[0,0,0,0]T，

自由狀態(tài)時(shí)

?*=[0,0,0,0]T，

滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)

?*=[0,f,0,f]T，

f=M0/Dpw,

圖4 軸承組件數(shù)學(xué)模型集成及動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算圖

2 軸承組件動(dòng)態(tài)性能分析

2.1 有限元分析

將軸承組件裝上驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)后，在軸承座與軸承配合間隙為2 μm，載荷為40 N，轉(zhuǎn)速分別為3 000，4 800，6 000 r/min的3種工況下，對(duì)支承軸頂端內(nèi)環(huán)A點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)頻譜分析。響應(yīng)分析時(shí)取時(shí)間步長(zhǎng)為0.000 33 s，響應(yīng)時(shí)間歷程為0.66 s，通過(guò)快速Fourier變換(FFT)，將得到的時(shí)域位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號(hào)。在進(jìn)行FFT時(shí)，可將輸入的時(shí)域序列和輸出的頻域序列按照自然順序排列。輸入數(shù)據(jù)量的長(zhǎng)度是2的整數(shù)次冪，頻譜具有周期性，采樣頻率f=1/Δt，頻率間隔Δf=1/(NΔt)，Δt為采樣時(shí)間，N為采樣點(diǎn)數(shù)。最終得到的幅頻曲線如圖5所示，圖中振動(dòng)峰值對(duì)應(yīng)的頻率分別為4 180，4 220 ，4 225 Hz。

圖5 FFT后的幅頻特性曲線

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

軸承組件的基頻由組件的材料和結(jié)構(gòu)決定。與有限元分析相同的工況條件(配合間隙2 μm，載荷40 N，轉(zhuǎn)速分別為3 000，4 800，6 000 r/min)下分別對(duì)軸承組件支承軸內(nèi)環(huán)A點(diǎn)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)性能試驗(yàn)，并通過(guò)FFT和功率譜密度分析，得到了幅頻特性曲線，如圖6所示, 圖中振動(dòng)峰值對(duì)應(yīng)的頻率分別為4 375，4 336，4 316 Hz。

圖6 功率譜密度分析后幅頻特性曲線

2.3 分析與討論

(1)有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果均表明，不同轉(zhuǎn)速下振動(dòng)峰值處的頻率較為接近，不隨轉(zhuǎn)速變化，顯然是軸承組件系統(tǒng)的基頻。

(2)有限元分析的基頻均值(4 208 Hz)與試驗(yàn)的基頻均值(4 342 Hz)吻合較好，相對(duì)誤差約為3.1%，說(shuō)明建立的軸承組件的接觸和接觸摩擦非線性數(shù)學(xué)模型是正確合理的。

(3)計(jì)算值與試驗(yàn)值的差異，可能是未考慮外圈與軸承座以及球與內(nèi)、外圈的振動(dòng)因素，使構(gòu)建的模型與真實(shí)狀況存在差異引起的。因此，如需得到更為精確的接觸和接觸摩擦非線性數(shù)學(xué)模型，需進(jìn)一步優(yōu)化、修正該模型的參數(shù)。

3 結(jié)論

(1)軸承組件系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析應(yīng)考慮接觸和接觸摩擦非線性因素。

(2)在軸承組件動(dòng)態(tài)性能分析中，利用所建立的軸承組件的接觸和接觸摩擦非線性數(shù)學(xué)模型得到的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差約為3.1%，在誤差允許的范圍內(nèi)。這表明文中所建的軸承組件的接觸和接觸摩擦非線性數(shù)學(xué)模型是正確合理的。