石市委，王佩紅，楊群，張苗，劉泉，孫兆奇

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039）

球?qū)ΨQ梯度折射率介質(zhì)中光線傳輸軌跡的計算

石市委，王佩紅，楊群，張苗，劉泉，孫兆奇

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039）

通過將二階的光線微分方程降階為一階微分方程組，并用四階的Runge-Kutta方法對微分方程組進(jìn)行迭代求解，從而求出球梯度折射率介質(zhì)中的光線傳輸軌跡.該方法精確度高，適用于任意梯度分布的球梯度介質(zhì)中的光線傳輸軌跡的計算.

梯度折射率；光線方程；光線軌跡

梯度折射率光學(xué)介質(zhì)因其具有均勻折射率光學(xué)介質(zhì)不能比擬的優(yōu)異性能，近幾十年來受到廣泛關(guān)注[1].在折射率梯度分布的介質(zhì)中，光線的傳輸軌跡不再是直線，而是按照光線微分方程的約束沿曲線軌跡傳輸[2].光線微分方程是二階的矢量微分方程，通常只有極少數(shù)的幾種梯度折射率分布曲線才有此方程的解析解，如Maxwell魚眼透鏡模型、Lunerburg透鏡模型等[1-3].對于任意梯度的折射率分布介質(zhì)，很難通過求解解析解的方法獲得，通常是通過將微分方程降階為兩個一階的微分方程組，然后通過嚴(yán)格的數(shù)值計算來求解[4].此過程在光學(xué)設(shè)計中被稱為光線追跡，該過程的具體實施是較為復(fù)雜的.在通常的光學(xué)教材中，往往只是給出非常簡單的過程框架，學(xué)生很難通過這些框架自行推導(dǎo)出整個迭代計算的過程.為彌補(bǔ)教材中的不足，本文將這種計算過程具體化，以球梯度介質(zhì)為計算對象，使用四階的Runge-Kutta（R-K）方法對微分方程組進(jìn)行迭代求解，從而計算球梯度折射率介質(zhì)中的光線傳輸軌跡.該方法精確度高，適用于對任意梯度分布的球梯度介質(zhì)進(jìn)行光線傳輸軌跡的計算，對本科生和研究生在光學(xué)課程學(xué)習(xí)或梯度折射率器件的研究時進(jìn)行簡單的梯度折射率器件性能的計算也有幫助.

1 光線追跡迭代公式的推導(dǎo)

光線在梯度折射率介質(zhì)中傳輸必須依照光線微分方程進(jìn)行，光線方程為[1]：

這是一個二階微分方程，式中r?為描述光線軌跡的位置矢量，s為光線路程，n為光線所到達(dá)位置的折射率值.對球?qū)ΨQ梯度折射率介質(zhì)，n可表示為r的函數(shù)，即n(r).目前已知的球?qū)ΨQ梯度折射率介質(zhì)模型中，僅有Maxwell魚眼模型和Luneburg介質(zhì)模型有上述光線方程的解析解，其他的球?qū)ΨQ梯度折射率分布模型均不具備解析解，必須通過對光線方程進(jìn)行數(shù)值計算求解才能得到光線的傳輸軌跡.在對光線方程的數(shù)值計算過程中，通常的做法是將其降階為一階的微分方程，然后通過迭代計算進(jìn)行求解.

(i)光線方程的降階

光線方程可等價寫成如下形式：

引入光學(xué)光線矢量T?，以及參量t和D?，它們被定義為：

利用這些參量可將（2）式改寫為

由幾何光學(xué)理論可知，在球?qū)ΨQ梯度分布介質(zhì)中，光線的傳輸軌跡分布在一個確定的平面內(nèi)，如圖1所示.

圖1 光線在球?qū)ΨQ梯度分布介質(zhì)中的傳輸

因此，在球?qū)ΨQ梯度分布介質(zhì)中傳輸?shù)墓饩€可以定義在一個二維平面內(nèi)，這里取x-o-y平面，則上述矢量均存在兩個分量，它們可以用二元數(shù)組表示，即：

經(jīng)前述過程，二階的光線微分方程被轉(zhuǎn)化為一階的微分方程組[1]：

(ii)光線追跡的迭代關(guān)系式

前面得到的式（6）為存在迭代關(guān)系的一階微分方程組，需聯(lián)合求解.考慮到計算精度，采用Runge-Kutta（R-K）方法對式（6）進(jìn)行展開.四階的標(biāo)準(zhǔn)R-K方法形式為[5]：

其中h為步長，各系數(shù)K1、K2、K3及K4為：

將式(6)寫為如下形式：

代入R-K方法的標(biāo)準(zhǔn)形式中，則有：

為了能與式（7）明顯的對應(yīng)起來，步長仍用h表示，這里h=Δt.其中各系數(shù)K的表達(dá)式如下，

將以上K11，K12，K13，K14的結(jié)果代入式(8)中去，可以得到

以上各式中的矢量可在直角坐標(biāo)系中分解為分量形式，即：

從(9)、(10)兩式可以看出，如果已知光線在第n點處的坐標(biāo)和光線方向，可以計算出、、和值，將其代入到(9)、(10)兩式中，即可得到光線傳播到的下一點的坐標(biāo)和光線方向，重復(fù)此步驟，直到光線走出球梯度介質(zhì)所在的范圍.前述迭代方程組可使用C語言、Fortran語言或MATLAB軟件編程進(jìn)行迭代計算，從而計算出光線傳輸軌跡.

2 采用Luneburg透鏡模型驗證迭代公式的準(zhǔn)確性

采用Luneburg透鏡模型來檢驗前面所得到的光線追跡迭代公式的正確性和準(zhǔn)確性.光線在Luneburg透鏡模型中的傳輸軌跡存在解析解.因此，將由數(shù)值計算的結(jié)果同解析計算結(jié)果進(jìn)行比較，可以知道前述光線追跡迭代公式的正確性和準(zhǔn)確性.

Luneburg透鏡模型的折射率分布公式為[1]：

采用前面給出的數(shù)值計算過程所得到的計算結(jié)果如圖2所示.高度不同的幾條平行光線平行主軸入射，在球內(nèi)光線彎曲，然后相交與球面上的一點，此點同時也是球面與主軸的焦點.這個結(jié)果與Luneburg透鏡的光學(xué)特性是吻合的.對具體數(shù)值進(jìn)行分析，各光線與主軸的交點理論上應(yīng)該是(1,0)點，實際的數(shù)值計算結(jié)果見表1.這里各條光線與主軸的交點位置與理論值相差只有10-6數(shù)量級，說明該計算方法完全滿足一般光學(xué)設(shè)計的要求.

圖2 Luneburg透鏡模型的光線追跡結(jié)果

表1 對Luneburg透鏡的光線追跡計算結(jié)果(單位：mm)

3 結(jié)論

給出一種在球?qū)ΨQ梯度折射率介質(zhì)中進(jìn)行光線追跡的具體方法，并采用Luneburg透鏡模型驗證了該計算方法的正確性和準(zhǔn)確性.該方法準(zhǔn)確度高，且便于光學(xué)教學(xué)時使用.

[1]喬亞天.梯度折射率光學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

[2]劉德森.變折射率介質(zhì)理論及其技術(shù)實踐[M].成都:西南師范大學(xué)出版社,2005.

[3]Gomez-Reino C,PerezM V,Bao C.Gradient-index Optics:Fundamentals and Applications[M].Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH&Co.K,2002:98-121.

[4]易佑民,章于川,夏茹,等.梯度折射率微球回歸反射材料的研究[J].光子學(xué)報,2003(32):425-428.

[5]呂同富,康兆敏,方秀男.數(shù)值計算方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008:278-283.

【編校：許潔】

The Ray Tracing in Medium w ith Spherical Symmetry Gradient Refractive Index

SHIShiwei,WANGPeihong,YANGQun,ZHANGMiao,LIUQuan,SUN Zhaoqi
(SchoolofPhysics&Material Science,AnhuiUniversity,Hefei,Anhui230039,China)

By reducing the ray differential equation to lower order equations and using the fourth-order Runge-Kutta method,a ray tracingmethod was obtained for calculating the light trace inmedium with spherical symmetry gradient refractive index.Thismethod hashigh precision and can be used for ray tracing in any spherical symmetry gradient refractive index distribution.

gradient refractive index;ray differentialequation;ray tracing

O439

A

1671-5365(2014)12-0030-03

2014-08-13修回：2014-09-19

國家自然科學(xué)基金(51272001,51472003);安徽大學(xué)本科教育質(zhì)量提升計劃項目(xjtszy1401);安徽省教學(xué)研究項目(2012jyxm089);安徽大學(xué)校級本科教學(xué)工程教研項目(JYXM201330,XJJYXM14029,JYXM201234,JYXM201328,JYXM201204)

石市委（1978-），男，副教授，博士，研究方向為光電功能材料

時間：2014-09-23 14:11

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140923.1411.001.html