王晨，樊養(yǎng)余，熊磊

1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710072

2.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038

改進(jìn)的二維最小卡方散度圖像分割方法

王晨1，2，樊養(yǎng)余1，熊磊2

1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安 710072

2.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038

1 引言

圖像分割作為圖像分析和圖像理解的基礎(chǔ)，其性能關(guān)系到圖像處理任務(wù)的成敗，因此是圖像處理領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容之一[1-3]。然而由于自然界的復(fù)雜性，目前還沒有一種較為通用的圖像分割技術(shù)。針對(duì)不同應(yīng)用背景，相關(guān)研究人員先后提出了種類繁多的圖像分割方法。在這些方法中，基于圖像直方圖信息的閾值化方法由于它的簡(jiǎn)潔有效性得到了眾多研究人員的青睞[4]。在圖像閾值化方法中，最為經(jīng)典的方法如Otsu提出的最大類間方差法[5]、最小誤差閾值化[6]、基于圖像熵的方法[7-9]等。由于熵方法有著堅(jiān)實(shí)的物理學(xué)背景，因此在圖像處理領(lǐng)域得到了成功的關(guān)注。在熵方法中有一類稱為交叉熵的方法是該類方法的一個(gè)強(qiáng)力分支，在圖像閾值化分割中得到了成功的應(yīng)用[10-12]。

但是，交叉熵閾值法因存在對(duì)數(shù)運(yùn)算，導(dǎo)致其計(jì)算量較大，不便于許多實(shí)時(shí)場(chǎng)合的廣泛應(yīng)用。本文引入卡方散度來度量?jī)蓚€(gè)概率分布的差異程度，提出了新的基于卡方散度的圖像閾值化分割準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于卡方散度的圖像閾值化分割準(zhǔn)則是可行的，且計(jì)算所需時(shí)間量比交叉熵值法有了明顯的減少。因此，在實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合比較適宜。另外，基于卡方散度的閾值化分割方法在處理受到噪聲干擾的圖像時(shí)，可以比交叉熵法獲得更好的分割結(jié)果。

2 基于卡方散度的分割方法

交叉熵[10]，又稱為相對(duì)熵或有向散度，用來度量?jī)筛怕氏蛄恐g差異性?？ǚ缴⒍萚13]也可以用來度量?jī)蓚€(gè)概率分布的差異性程度。因此，本文將卡方散度用于圖像閾值化問題。

2.1 卡方散度

在交叉熵的求取過程中含有對(duì)數(shù)運(yùn)算，其計(jì)算量大，不利于實(shí)時(shí)性要求高的場(chǎng)合。本文利用卡方散度來度量?jī)蓚€(gè)概率分布間的差異程度[12-13]：

文獻(xiàn)[12]說明了簡(jiǎn)單的基于卡方散度的圖像分割會(huì)出現(xiàn)較多錯(cuò)分部分，丟失一部分圖像原有的有用信息。因此本文提出一種基于改進(jìn)的卡方散度的圖像分割方法。

2.2 基于對(duì)稱卡方散度的閾值化原理

設(shè)I是大小為M×N，灰度級(jí)為L(zhǎng)的數(shù)字圖像，I={f(x，y)|x∈{1，2，…，M}，y∈{1，2，…，N}，f(x，y)表示圖像坐標(biāo)(x，y)處的像素值。圖像的歸一化直方圖可表示為H={h0，h1，….，hL-1}，且0≤hi≤1。

圖像進(jìn)行閾值分割時(shí)，假設(shè)t是分割閾值，t把圖像分割為兩部分，其中灰度級(jí){0，1，…，t}的像素值表示背景，{t+1，t+2，…，L-1}表示目標(biāo)。

對(duì)于卡方散度而言，一般χ2(P|Q)不具有對(duì)稱性，因此定義它的對(duì)稱版本為：

在式（3）的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)造了一種更為有效的圖像閾值化方法。為了敘述方便，首先令：

把式（4）、（5）代入式（3），可以得到關(guān)于圖像閾值化前后背景與目標(biāo)的散度，即

定義閾值化前后圖像總的散度為：

要獲得最佳閾值，可對(duì)式（7）求極小值，即

其中t*表示最佳閾值。求出t*后，可用下式對(duì)原圖像進(jìn)行閾值化：

其中，f(x，y)、f′(x，y)分別表示原始圖像、閾值圖像坐標(biāo)(x，y)處的像素值。

2.3 計(jì)算復(fù)雜性分析

假設(shè)計(jì)算機(jī)每次執(zhí)行加法（減法）運(yùn)算一次所需時(shí)間（單位：s）為t1，執(zhí)行一次乘法或除法運(yùn)算所需時(shí)間（單位：s）為t2，且t1＜t2。文獻(xiàn)[14]中詳細(xì)分析了原始卡方散度與交叉熵的計(jì)算復(fù)雜性。因此，本文計(jì)算其對(duì)稱卡方散度J(P|Q)所用的時(shí)間（單位：s）為4nt2+2(n-1)t1+t1。

所以，交叉熵比對(duì)稱卡方散度的計(jì)算多花費(fèi)時(shí)間（單位：s）為：(4kn+2n-1)t1+(k2n+4kn)t2。

3 改進(jìn)的二維卡方散度分割方法

3.1 二維直方圖的構(gòu)建

假設(shè)一幅圖像大小為M×N，灰度級(jí)為L(zhǎng)，用f(x，y)表示原始圖像，g(x，y)表示原始圖像的均值濾波結(jié)果。設(shè)l(i，j)表示f(x，y)中灰度級(jí)為i且g(x，y)中灰度級(jí)為j的像素對(duì)個(gè)數(shù)，那么定義二元組(i，j)在圖像和其鄰域?yàn)V波圖像中出現(xiàn)的聯(lián)合概率：

其中，i=0，1，…，L-1;j=0，1，…，L-1。以上就是在二維直方圖構(gòu)建中出現(xiàn)最多的一種構(gòu)建方法，即均值二維直方圖[15]，它是一個(gè)L×L的矩陣，如圖1（a）所示。其中區(qū)域1和2代表目標(biāo)和背景，區(qū)域3和4表示邊緣點(diǎn)及噪聲。

由于圖像的均值濾波屬于一種平滑處理，即低通濾波方式，一般被用來處理高斯噪聲。均值濾波在平滑圖像得到鄰域平均灰度的同時(shí)，使圖像變得模糊，而且濾波效果不佳，尤其對(duì)椒鹽噪聲濾波效果不如中值濾波。中值濾波法[1]則是一種非線性平滑技術(shù)，它是通過從圖像中的某個(gè)采樣窗口取出n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后用排序后的中值取代要處理的數(shù)據(jù)來實(shí)現(xiàn)抑制圖像噪聲的目的。這種方法在濾除噪聲點(diǎn)的同時(shí)能夠較好地保存圖像的細(xì)節(jié)和邊緣。

中值濾波和均值濾波通常被分別用來處理脈沖噪聲和高斯噪聲，當(dāng)圖像同時(shí)存在高斯噪聲和脈沖噪聲時(shí)，單獨(dú)用哪種濾波方法都不會(huì)達(dá)到好的去噪效果。因此，本文選擇文獻(xiàn)[16]中采用的改進(jìn)中值濾波方法對(duì)圖像進(jìn)行濾波，然后再利用濾波圖像和原始圖像構(gòu)建新的二維直方圖。

令w(x，y)表示新的原始圖像濾波結(jié)果，又令g(x，y)= |f(x，y)-w(x，y)|，本文構(gòu)建了如圖1（b）所示的新的中值二維直方圖。這種構(gòu)建方法不僅使區(qū)域1，區(qū)域2盡可能地包含了所有目標(biāo)點(diǎn)和背景點(diǎn)，同時(shí)也避免了常用的均值二維直方圖及其區(qū)域劃分方法中區(qū)域1和區(qū)域2可能存在邊緣點(diǎn)和噪聲點(diǎn)導(dǎo)致分割結(jié)果不準(zhǔn)確的問題。

圖1 二維直方圖的構(gòu)建方式

從圖1（b）可看出，對(duì)于中值二維直方圖，由于圖像中目標(biāo)和背景內(nèi)像素點(diǎn)的鄰域灰度絕對(duì)差較小，所占比例很大，因此，概率分布高峰主要集中在區(qū)域1和區(qū)域2。而位于區(qū)域3和區(qū)域4的邊緣點(diǎn)和噪聲點(diǎn)的灰度絕對(duì)差較大，在圖像中所占比例較小。

3.2 閾值選擇

利用新的二維直立圖和對(duì)稱卡方散度設(shè)計(jì)改進(jìn)的二維最小卡方散度閾值選擇方法。

令原始圖像F離散概率分布為：

分割后圖像G的離散概率分布為：

為了提高抗噪性效果，本文采用了關(guān)鍵閾值分割，即在進(jìn)行分割時(shí)閾值向量中起決定作用的那個(gè)分量，依據(jù)式（20），就是閾值向量的差。然后用此閾值對(duì)鄰域圖像，即濾波后的圖像進(jìn)行分割：

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)選取文獻(xiàn)[5]中的Otsu法和文獻(xiàn)[10]中Li和Lee提出的最小交叉熵法結(jié)合傳統(tǒng)均值二維直方圖，構(gòu)成二維的Otsu和二維最小交叉熵方法，并用這兩種方法與本文的方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)是Pentium?CPU2.66 GHz，2 GB內(nèi)存，編程工具是Matlab7.0。

形象生動(dòng)的比喻手法能將事物寫得更具體，給人留下深刻的印象。如《臺(tái)灣的蝴蝶谷》中“有的山谷里有幾種蝴蝶，上下翻飛，五彩繽紛，就像誰在空中撒了一把把五顏六色的花瓣，隨風(fēng)飄來，又隨風(fēng)飄去?！薄耙话寻盐孱伭幕ò辍敝傅氖巧焦壤铩吧舷路w，五彩繽紛”的幾種蝴蝶，寫出了蝴蝶飄飄悠悠的柔美姿態(tài)，加上多種多樣的絢麗色彩，這美麗的畫面就像電影一樣呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。

4.1 性能評(píng)估

對(duì)于圖像分割方法性能的評(píng)估，目前沒有一種絕對(duì)有效的客觀標(biāo)準(zhǔn)。為了對(duì)各方法分割性能作定量分析，本文選用文獻(xiàn)[10]中使用的誤分類誤差（Misclassification Error，ME）作為客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。定義如下：

其中，Bo、Fo分別表示圖像的真實(shí)背景及前景，BT、FT分別表示分割圖像的背景及前景，|·|表示集合·的勢(shì)。

為了測(cè)試各方法性能，首先在一幅合成圖像上對(duì)各方法進(jìn)行對(duì)比。圖2（a）列出的是該合成圖像的原始圖像，該圖像前景由漢字“國(guó)”字構(gòu)成，其像素灰度級(jí)為60，背景灰度級(jí)為200，圖像大小為170×170。圖2（b）為原始圖像的真實(shí)分割圖。圖2（c）～（e）列出了原始圖像分別疊加了密度為0.1的椒鹽噪聲和均值為0，方差為0.01的高斯噪聲以及同時(shí)含有以上兩種噪聲的噪聲圖像。圖2（f）～（h）為幾種二維分割方法對(duì)圖2（c）處理的結(jié)果。圖2（i）～（k）是對(duì)圖2（d）處理的結(jié)果，圖2（l）～（n）是對(duì)圖2（e）處理的結(jié)果。

圖2 合成噪聲圖像的二維直方圖法閾值結(jié)果

從圖2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，用本文方法得到的結(jié)果清晰地把目標(biāo)“國(guó)”字分離出來了，且殘留的噪聲點(diǎn)也較少?？梢姳疚姆椒ǚ指罱Y(jié)果是幾種二維方法中最好的。

表1列出的是圖2中不同分割方法對(duì)幾種噪聲圖像進(jìn)行分割時(shí)獲得的最佳閾值、誤分類誤差及運(yùn)行時(shí)間。

表1 噪聲圖像二維分割結(jié)果

由式（24）可知，ME值越小，算法的分割性能應(yīng)該越好。從圖2和表1的結(jié)果可看出，不管對(duì)于單一噪聲還是混合噪聲，本文的方法都可以獲得比其他方法明顯更小的分割誤差。又由于卡方散度本身計(jì)算過程相對(duì)簡(jiǎn)單，因此本文方法也是以上各組實(shí)驗(yàn)中用時(shí)最少的一種。

圖3 混合噪聲圖像分割的ME與時(shí)間

圖4 測(cè)試圖像與其直方圖

由圖3可知，在處理混合噪聲圖像時(shí)，本文的方法不管在誤分類誤差還是運(yùn)行時(shí)間上都明顯優(yōu)于二維Otsu法和交叉熵法。

4.2 真實(shí)圖像上的實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法在真實(shí)圖像上的有效性，在大量對(duì)比實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文選取四幅具有不同直方圖特點(diǎn)的圖像。圖4列出了這些原始測(cè)試圖像及其相應(yīng)的一維直方圖和二維直方圖。不同二維方法的圖像分割結(jié)果如圖5所示。

表2和表3列出了幾種方法對(duì)這四幅不同類型測(cè)試圖像進(jìn)行分割時(shí)的運(yùn)行時(shí)間和獲得的分類誤差。

圖5 不同二維方法的圖像分割結(jié)果

表2 測(cè)試圖像分割算法的處理時(shí)間s

表3 測(cè)試圖像分割結(jié)果的誤分類誤差（ME）

由以上結(jié)果來看，對(duì)不同直方圖特點(diǎn)的測(cè)試圖像，基于改進(jìn)卡方散度在運(yùn)行時(shí)間和分割誤差方面都比Otsu和交叉熵閾值法都有所改善。

5 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)的卡方散度圖像閾值化分割方法。在該方法中，通過對(duì)稱卡方散度公式并利用新的二維直方圖設(shè)計(jì)了一種適合圖像閾值化問題的準(zhǔn)則函數(shù)，最后用關(guān)鍵閾值對(duì)濾波圖像進(jìn)行閾值分割。與現(xiàn)有的閾值化方法相比，在合成圖像的仿真實(shí)驗(yàn)中，得到的誤分類誤差指標(biāo)說明了提出方法的優(yōu)越性，本文方法能夠得到更好的分割結(jié)果。在真實(shí)圖像上的實(shí)驗(yàn)也表明方法對(duì)紛繁復(fù)雜的圖像進(jìn)行閾值化時(shí)具有更好的適應(yīng)性。值得提出的是，本文方法還大大提高了算法的處理所需時(shí)間。然而作為交叉熵的外延處理方法，并沒有研究它在處理圖像系統(tǒng)時(shí)的非廣延性。因此，對(duì)算法的進(jìn)一步優(yōu)化也是下一步需要做的工作。

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WANG Chen1，2,FAN Yangyu1,XIONG Lei2

1.School of Electronics&Information,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China
2.School of Aeronautics and Astronautics Engineering,Air Force Engineering University,Xi’an 710038,China

Traditional cross-entropy thresholding method is sensitive to noise and with much longer computation time.In order to improve the performance of this algorithm,a novel image thresholding segmentation criteria based on 2-D minimum chi-square divergence is proposed.A novel 2-D histogram based on improved median filter is structured.The difference between the segmented image and the original one is measured by the symmetric chi-square divergence.The neighborhood image is segmented with the key threshold to obtain better segmentation effects.Experimental results demonstrate that the proposed method’s computing time is much less,and its segmentation effect and anti-noise are better than 2-D minimum cross entropy and 2-D Otsu.

image segmentation;thresholding method;cross entropy;chi-square divergence;key threshold

傳統(tǒng)的交叉熵閾值法具有抗噪性能差，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等問題。為了改進(jìn)算法的性能，提出了一種二維最小卡方散度圖像閾值化分割新準(zhǔn)則，構(gòu)建了基于改進(jìn)中值濾波的新型二維直方圖。利用對(duì)稱卡方散度描述分割前后圖像之間的差異程度。使用關(guān)鍵閾值對(duì)濾波圖像進(jìn)行分割，達(dá)到最佳的分割效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與二維Otsu和二維最小交叉熵法相比，提出的方法不僅大大縮短了分割時(shí)間，而且分割性能與抗噪性能更強(qiáng)。

圖像分割；閾值法；交叉熵；卡方散度；關(guān)鍵閾值

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1310-0221

WANG Chen,FAN Yangyu,XIONG Lei.Improved image segmentation based on 2-D minimum chi-square-divergence.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：8-13.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61379104）。

王晨（1977—），女，博士研究生，講師，主要研究領(lǐng)域：圖像分割、特征檢測(cè)；樊養(yǎng)余（1960—），男，博士（后），教授，博導(dǎo)，主要研究領(lǐng)域：數(shù)字圖像處理、信號(hào)處理、虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)；熊磊（1976—），男，博士，副教授，主要研究領(lǐng)域：數(shù)字圖像處理、模式識(shí)別。E-mail：wwangchen77@163.com

2013-10-21

2014-03-10

1002-8331（2014）18-0008-06

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-04-01，http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1310-0221.html