李 華

(河南城建學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南 平頂山 467036)

非負(fù)矩陣Hadamard積譜半徑的界值*

李 華

(河南城建學(xué)院數(shù)理學(xué)院,河南 平頂山 467036)

給出兩個(gè)n階非負(fù)矩陣A與B的Hadamard積的譜半徑上界的一個(gè)新估計(jì)式, 并且與以往的結(jié)果進(jìn)行比較, 說(shuō)明所得的估計(jì)結(jié)果在一定條件下更為精確.

非負(fù)矩陣;Hadamard積;譜半徑

用A≥0(aij≥0)來(lái)表示A是非負(fù)矩陣, 用Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實(shí))矩陣集,矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合為矩陣的譜, 記為σ(A). 矩陣A的n個(gè)特征值的模的最大值為矩陣的譜半徑, 記為ρ(A). 若A為非負(fù)矩陣, 則由Perron-Frobenius定理知:ρ(A)∈σ(A),且有非負(fù)特征向量與之對(duì)應(yīng).

對(duì)非負(fù)矩陣譜半徑的研究是矩陣?yán)碚摰闹匾芯空n題之一，在這方面較為重要的結(jié)論有：

引理1[1](Frobenius界值) 如果非負(fù)矩陣A=(aij)n×n的行和分別為r1,r2,…,rn, 則有

r≤ρ(A)≤R.

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,B=(bij)∈Cn×n, 記C=A°B=(aijbij)為矩陣A與B的Hadamard積.

引理 2[3]設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0, 則有

1 非負(fù)矩陣的Hadamard積的譜半徑的上界估計(jì)

對(duì)于ρ(A°B)的上界估計(jì), 1985年R.A.Horn等在文獻(xiàn)[2]中給出了結(jié)論:若矩陣A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,A≥0,B≥0, 則ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B).

本文在文獻(xiàn)[3]～[5]的基礎(chǔ)上，給出非負(fù)矩陣Hadamard積譜半徑上界的新估計(jì)式.

定理1 設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,A≥0,B≥0, 則有

其中k=1,2.

設(shè)U=diag(u1,u2,…,un),V=diag(v1,v2,…,vn), W=UV=diag(u1v1,u2v2,…,unvn), 則

由引理2知:

即

即上式對(duì)k=1,2時(shí)成立.

若A°B為可約矩陣, 設(shè)D=(dij)為置換矩陣,d12=d23=…=dn-1,n=dn1=1,其余的dij=0,則對(duì)任何正實(shí)數(shù)t,A+tD、B+tD為非負(fù)不可約矩陣,用A+tD、B+tD分別代替A、B，令t→0由連續(xù)性,可得到相同的結(jié)果.

特別: 當(dāng)?i∈Naii=0,bii=0,k=1時(shí), 則有ρ(A°B)≤ρ(JA)ρ(JB).

2 數(shù)值例子

在文獻(xiàn)[2]中，ρ(A)=4,ρ(B)=2,ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B)=8.

在定理1中，令k=1,ρ(A°B)≤4.2248.

實(shí)際上,ρ(A°B)=4. 由此可知, 定理1的結(jié)果在一定條件下比以前的結(jié)果更為精確.

[1]Frobenius. Uber matrizen aus nicht negativen elementen[M]. Akad.Wiss.(Berlin) S. B. Press, 1912.

[2]Horn R A, Johnson C R. Topics in Matrix Analusis[M]. Cambridge University Press, 1985.

[3]杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值界的界[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2008(5):45-50.

[4]Liu Qingbing, Chen Guoliang. On two inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Lin. Alg. Appl., 2009 (431):974-984.

[5]Fang M Z. Bounds on the eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices [J]. Lin. Alg. Appl., 2007(425):7-15.

New bounds on Perron root of Hadamard product of nonnegative matrices

LI Hua

(SchoolofMathematicalandPhysicalScience,HenanUniversityofUrbanConstruction,Pingdingshan467036,China)

A new type upper bound of spectral radius of Hadamard product for nonnegative matrices is given. We comparde the new bounds with the previous results, which shows that the bounds are better than the previous results.

nonnegative matrices; Hadamard product; spectral radius

河南省科技計(jì)劃項(xiàng)目(112300410191)；河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(13B520945).

2013-03-16

李 華(1978-),女,河南南陽(yáng)人,河南城建學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師。

1674-7046(2014)01-0085-03

O151.21

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