王碩，王萍，趙志勝，王興華

（1．中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙 410083；2．懷德第一中學(xué)，吉林 公主嶺，136100）

確定性極化W態(tài)的糾纏提純

王碩1，王萍1，趙志勝1，王興華2

（1．中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙 410083；2．懷德第一中學(xué)，吉林 公主嶺，136100）

本文針對(duì)W糾纏態(tài)提出了一種確定性糾纏提純方案.本文通過線性光學(xué)技術(shù)作為基礎(chǔ)例如PBS、HWP等，同時(shí)利用交叉卡爾非線性技術(shù)檢測量子數(shù)，并借助組合多種自由度，克服了普通方案共有單一極化自由度的缺陷，實(shí)現(xiàn)了W態(tài)的提純，又在理論上計(jì)算出成功率為百分之百，具有高效可行性.

W態(tài)；糾纏；極化提純；自由度

量子糾纏態(tài)是量子信息處理中的一大重要資源，并廣泛應(yīng)用于量子通信的各個(gè)領(lǐng)域，然而量子在傳輸過程中由于量子系統(tǒng)受到環(huán)境噪聲的影響，最大糾纏態(tài)將會(huì)減弱，無法高效傳輸信息.為此早在1996年，Bennett等人[1]提出了一個(gè)最早的糾纏純化協(xié)議(Entanglement Purification Protocol,即EPP)來對(duì)Werner態(tài)進(jìn)行提純[2],協(xié)議中主要采用量子受控非門(CNOT)與雙向幺正操作來實(shí)現(xiàn)提純.然而這只是一種理論上的提純方案，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)的科技水平下，量子控制非門無法完美的實(shí)現(xiàn)，甚至直到現(xiàn)在也無法做到.隨后,Deutsh等人[3]利用兩個(gè)附加的特定酉性操作進(jìn)一步完善了之前的糾纏純化協(xié)議.在2000年，史保森等人[4]提出了一種基于糾纏交換的提純方法，該方法主要通過將兩個(gè)糾纏對(duì)中的粒子進(jìn)行糾纏交換，來實(shí)現(xiàn)提純.2002年,Simmon等人[5]提出一種新的EPP協(xié)議，該協(xié)議采用了一種目前可用的參量下轉(zhuǎn)換(PDC)源,而不是一個(gè)理想的糾纏源.該協(xié)議利用了量子的空間糾纏特性來實(shí)現(xiàn)對(duì)極化糾纏的提純，這似乎也是第一個(gè)使用空間模來對(duì)極化態(tài)進(jìn)行提純的協(xié)議.2003年,潘教授帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)[6]在實(shí)驗(yàn)中證明了Simmon所提出協(xié)議的可行性.2008年，鄧富國等人提出了一種基于PDC源的高效EPP協(xié)議[7].然而,交叉卡爾非線性結(jié)構(gòu)太細(xì)微的性質(zhì),增加了困難實(shí)施這EPP協(xié)議的難度.2008年,肖立等人[8]提出了一種基于頻率糾纏的EPP方案.2010年，D.Salart,O.Landry,N. Sangouard等人[9]提出了一種基于線性光學(xué)組件的雙空間模式間共享的單光子糾纏提純方案，2011年，Denis Gont，Peter van Loock等人[10]創(chuàng)新的利用原子與光子腔鏈的方式，實(shí)現(xiàn)了對(duì)W態(tài)的提純.

本文中我們提出了一種針對(duì)W態(tài)的高效可行的確定性糾纏提純方案，該方案以PBS、HWP等線性光學(xué)技術(shù)為框架，并輔以交叉卡爾非線性技術(shù)實(shí)現(xiàn)量子數(shù)檢測，同時(shí)借助空間自由度等多種自由度的組合，克服了單一極化自由度的缺陷，實(shí)現(xiàn)了W態(tài)的高效提純，并且理論上成功率為百分之百.

1 W態(tài)基本狀態(tài)與傳輸分析

三粒子極化糾纏W態(tài)可以表述如下：

其中H，V分別代表水平與垂直極化，ABC則代表通信中的三方Alice，Bob，Charlie.而|Φ±〉1就是人們在各種量子技術(shù)中所需要的的最大糾纏態(tài).

為提純出最大糾纏態(tài)，引入空間自由度，則同時(shí)包含空間與極化自由度的量子糾纏系統(tǒng)初始態(tài)可表示為，

其中a,b,c分別表示三粒子系統(tǒng)的空間模.則有極化自由度上糾纏系統(tǒng)為，

實(shí)際傳輸中，由于與環(huán)境的相互作用，極化態(tài)會(huì)受到一些影響，出現(xiàn)相反轉(zhuǎn)與位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤，因此傳輸后的狀態(tài)將會(huì)一種混合的雜亂的狀況.然而對(duì)于空間自由度來講，不存在位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤，而相反轉(zhuǎn)錯(cuò)誤也可以通過嚴(yán)格控制信道長度來消除.用測量基在極化態(tài)上對(duì)傳輸態(tài)進(jìn)行測量后得到結(jié)果可以表述如下，

其中系數(shù)Fi表示各種量子態(tài)所占比率.此時(shí)包含兩種自由的系統(tǒng)密度矩陣為其|.則量子系統(tǒng)成為八種態(tài)的概率混合，比如處于的概率為F0，處于的概率為F4.

2 W態(tài)提純方案設(shè)計(jì)

該方案利用PBS和HWP兩種線性光學(xué)組件，通過各種反射等作用將不同的輸入引入不同的出口，實(shí)現(xiàn)了不同情況的區(qū)別對(duì)待.同時(shí)對(duì)出口處流出的粒子進(jìn)行進(jìn)一步處理，得到所需要的最大糾纏態(tài).方案基本結(jié)構(gòu)圖如下，

圖1 確定性極化W態(tài)糾纏提純方案示意圖

方案分Alice，Bob，Charlie三端設(shè)計(jì)了相似的提純結(jié)構(gòu)，主要區(qū)別在于每一端針對(duì)單獨(dú)處理的量子空間模.每一空間模對(duì)應(yīng)的粒子都至少要經(jīng)歷兩個(gè)PBS的處理，個(gè)別還需經(jīng)由一個(gè)HWP處理.下面就以態(tài)|HHH〉?|ψs〉的提純?yōu)槔齺砻枋鲆幌戮唧w的提純流程.

當(dāng)處于空間模{a2，b3，c1}的光子通過PBS與HWP之后上述狀態(tài)變?yōu)?/p>

而處于空間模{a1&d1,b2&e1,f1&c3}的光子通過PBS之后，結(jié)果為

最后，由空間模{D1&a3,b1&D3,c2&D5}處得到的結(jié)果經(jīng)過上圖中（b）部分處理，結(jié)果如下，

由上式可見由輸出端口D1’&D3’&D5’處得到的結(jié)果即為最大糾纏態(tài)，這說明方案針對(duì)|HHH>態(tài)是可行的，類似的針對(duì)其它的七種狀態(tài)，經(jīng)驗(yàn)證該方案也是可行的，只不過不同狀態(tài)提純出口不同.

根據(jù)該方案，對(duì)于混合態(tài)中的各種狀態(tài)都可以有效提純，使得Alice，Bob，Charlie三方均能獲得最大極化W糾纏態(tài).理論上，該方案提純成功率為百分之百.

然而，這個(gè)方案卻有著一個(gè)很大的問題，即在當(dāng)今技術(shù)條件下，對(duì)于出口處得到的粒子，很難通過復(fù)雜的單光子檢測技術(shù)實(shí)現(xiàn)重選(Postselection)，最終達(dá)到檢測量子數(shù)的目的.針對(duì)這一問題，本文采用交叉卡爾非線性方法來構(gòu)造量子非破壞檢測門（Quantum nondemolition,簡稱QND）（圖2）[11]，并以此替代出口處的PBS，從而改善這種情況.

如果相干態(tài)|?〉與單光子|ψ〉=|α〉+β|1〉通過交叉卡爾非線性結(jié)構(gòu)發(fā)生相互之間的作用，則單光子系統(tǒng)會(huì)變成以下狀態(tài)：

Uck|ψ〉|?〉=(α|0〉+β|1〉)|?〉=α|0〉|?〉+β|1〉|?eiθ〉（9）

其中0，1為?？藨B(tài)，分別表示沒有光子和一個(gè)光子，而θ=χt，t表示作用時(shí)間.很明顯粒子數(shù)的檢測就直接轉(zhuǎn)移到了相干態(tài)的相移上.

圖2 交叉卡爾非線性技術(shù)構(gòu)造的QND示意圖

假設(shè)Alice擁有處于空間模a1a2的態(tài)|Φ〉2與相干態(tài)|α〉作用結(jié)果如下，

上式可見|HH>與|VV>態(tài)分別有2θ的相移和0相移，而其他兩態(tài)|HV>與|VH>都有著θ的相移.通過零差檢測，Alice可以保留有著2θ和0相移的|HH>與|VV>態(tài)，同時(shí)舍棄|HV>與|VH>態(tài).根據(jù)圖2.3結(jié)構(gòu)，Alice可以從D1獲得|HH>態(tài)，而從D2處獲得|VV>態(tài).同理，Bob和Charlie均可從對(duì)應(yīng)出口處獲得|HH>與|VV>態(tài).假設(shè)初態(tài)是|HHH〉?×ψs〉，則可從空間模{D1&a3，b1&D3,c2&D5}處獲得結(jié)果態(tài)，再經(jīng)圖3中(b)部分的HWP與PBS結(jié)構(gòu)加以處理，通信三方則可在{D1’，D3’，D5’}處獲得如上式(9)所示的最大糾纏態(tài).對(duì)于初態(tài)處于其他狀態(tài)的情況，該方案同樣可以有效地實(shí)現(xiàn)提純.

圖3 使用QND結(jié)構(gòu)代替尾端PBS之后的提純方案示意圖

3 結(jié)論

方案以PBS+HWP等線性光學(xué)技術(shù)為基本框架，采用交叉卡爾非線性技術(shù)加以輔助，同時(shí)利用多種自由度對(duì)信道噪聲抗干擾性能的不同，有效地彌補(bǔ)了單一極化自由度易受噪聲干擾的不足，實(shí)現(xiàn)了有效的提純.最終成功實(shí)現(xiàn)GHZ態(tài)以及Cluster態(tài)的確定性極化糾纏提純，根據(jù)理論分析能高效的完成兩種糾纏態(tài)的提純，并且理論成功率均為100%.

〔1〕Bennett C.H,Brassard G,Popescu S,Schumacher B,Smolin J.A,and Wootters W.K,Purification of Noisy Entanglement and Faithful Teleportation via Noisy Channels[J],Phys.Rev.Lett.1996,76(5),722～725.

〔2〕Werner R.F,Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden variable model[J],Phys.Rev.A,1989,40(8),4277～4281.

〔3〕Deutsch D,Ekert A,Jozsa R,Macchiavello C,Popescu S,and Sanpera A,Quantum Privacy Amplification and theSecurity ofQuantum Cryptography overNoisy Channels[J],Phys.Rev.Lett.1996,77(13),2818–2821.

〔4〕Shi Bao-Sen,Jiang Yun-Kun,and Guo Guang-Can,Optimal entanglement purification via entanglement swapping[J],Phys.Rev.A,2000,62(5),054301.

〔5〕Simon C and Pan J.W,Polarization Entanglement Purification using Spatial Entanglement[J],Phys.Rev.Lett.2002,89(25),257901.

〔6〕Pan J.W,S.Gasparonl,R.Ursin,G.Weihs,and A.zellinger,Experimental entanglement purification of arbitrary unknown states[J],Nature 2003,423,417～422.

〔7〕Sheng Y.B,Deng F.G,and Zhou H.Y,Efficient polarization-entanglement purification based on parametric down-conversion sources with cross-Kerr nonlinearity[J],Phys.Rev.A,2008,77(4),042308.

〔8〕Xiao L,Wang C,Zhang W,Huang Y.D,Peng J.D,and Long G. L,Efficient strategy for sharing entanglement via noisy channels with doubly entangled photon pairs[J],Phys.Rev.A,2008,77(4),042315.

〔9〕SalartD,Landry O,Sangouard N,Purification of single-photon entanglement[J],Phys.Rev.Lett.2010,104(18),180504.

〔10〕Denis Gont,Peter van Loock,Dynamical entanglement purification using chains of atoms and optical cavities[J],Phys.Rev.A,2011,84(4),042303.

〔11〕趙春然.Cross-Kerr介質(zhì)在量子信息中的應(yīng)用[D].安徽：安徽大學(xué),2011.

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1673-260X（2014）07-0019-03