聶衛(wèi)科， 朱從光， 房鼎益， 陳曉江，馮大政

(1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.中國電子科技集團(tuán)公司 第三十九研究所，陜西 西安 710065；3.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

隨機(jī)布署平面?zhèn)鞲衅麝嚵袑崿F(xiàn)色噪聲下運動節(jié)點跟蹤算法*

聶衛(wèi)科1， 朱從光2， 房鼎益1， 陳曉江1，馮大政3

(1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.中國電子科技集團(tuán)公司 第三十九研究所，陜西 西安 710065；3.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

針對色噪聲下的空間運動節(jié)點跟蹤問題，提出一種新的輔助變量子空間跟蹤算法。該算法采用秩1更新，構(gòu)造兩個無約束代價函數(shù)，求其遞歸最小二乘解跟蹤信號子空間。得到信號子空間后，構(gòu)造矩陣方程，通過最小二乘解實現(xiàn)空間運動節(jié)點的方向跟蹤，所得空間二維角度能自動配對。在任意的平面?zhèn)鞲衅麝嚵邢?，所提算法和著名EIV—PAST算法均具有較好的節(jié)點跟蹤性能，跟蹤的信號子空間夾角和信號子空間誤差較小，所提算法的正交性能顯著優(yōu)于EIV—PAST算法。

節(jié)點定位； 輔助變量； 傳感器陣列

0 引 言

很多高分辨的方向估計算法具有優(yōu)異的參數(shù)估計精度[1～3]，但大多是處理空間靜止目標(biāo)。在實際應(yīng)用中，探測傳感器陣列和目標(biāo)一般存在相對運動，信號入射方向必然會或快或慢地變化，因此,對目標(biāo)節(jié)點的方向信息實時跟蹤顯得尤為重要。

子空間跟蹤方法[4]可以實現(xiàn)運動目標(biāo)的方向估計，在自適應(yīng)子空間跟蹤算法中，備受關(guān)注的是Yang Bin提出投影逼近子空間跟蹤[5](PAST) 算法，該算法在將子空間跟蹤視為最優(yōu)化問題求解，并利用投影逼近簡化最優(yōu)化問題，然后使用遞歸最小二乘法(RLS)對信號子空間的任意基底進(jìn)行跟蹤。由于PAST算法跟蹤的子空間誤差小、正交性好且性能穩(wěn)健，此后很多優(yōu)秀的算法都是在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展來的。然而，PAST算法只適用于白噪聲,如果確知噪聲的相關(guān)矩陣，則可以通過白化的方法使色噪聲變成白噪聲。白化處理復(fù)雜度高，且陣元之間噪聲相關(guān)矩陣通常是未知的，故白化不是一個實用的方法。輔助變量(IV)方法可以解決色噪聲環(huán)境下的跟蹤問題[6]。文獻(xiàn)[7]利用IV提出IV—PAST算法。該算法中IV的長度受到限制，而信號子空間估計的準(zhǔn)確性是隨著輔助變量長度的增加而增加[8,9]，這使得IV—PAST算法的跟蹤精度受到制約。文獻(xiàn)[7]同時提出EIV—PAST算法，該算法中IV的長度可根據(jù)具體情況進(jìn)行擴(kuò)展，跟蹤性能比IV—PAST算法得到突破性提高。

本文提出一種新的IV子空間跟蹤算法，基于秩1更新構(gòu)造兩個無約束代價函數(shù)，求其遞歸最小二乘解得到信號子空間，利用得到的信號子空間構(gòu)造矩陣方程，通過最小二乘反解空間方向信息，所得二維角度能自動配對。仿真分析中，在任意拓?fù)洳际鸬钠矫鎮(zhèn)鞲衅麝嚵邢?，?jié)點方向快慢兩種變化情況下，仿真分析了所提算法和著名的EIV—PAST算法跟蹤的二維角度，對所跟蹤的信號子空間夾角、信號子空間的誤差、正交性誤差進(jìn)行了比較。

1 信號模型

考慮P個以窄帶信號調(diào)制的運動節(jié)點，發(fā)射信號入射到含M個陣元的任意布署平面?zhèn)鞲衅麝嚒ＴO(shè)第p個信源的二維方向為(αp,βp)，αp和βp分別為方位和俯仰角。陣元m(m=1,2,…,M)在XOY面上的坐標(biāo)為(xm,ym)，則陣元m的位置矢量為

lm=[xm,ym,0].

(1)

陣元m接收信源p時的波程差為

Δmp=xmcosαpsinβp+ymsinαpsinβp.

(2)

陣元m接收信源p時的相位差為

amp=exp(-j2πΔmp/λ).

(3)

在第t(t=1,2,…,T)次快拍下所有p個信源在第m個陣元上的總響應(yīng)為

(4)

式中sp為第p個信源復(fù)包絡(luò)，nm為第m個陣元上與信號獨立的色噪聲。第t次快拍下陣列接收的數(shù)據(jù)矢量為

x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=As(t)+n(t).

(5)

設(shè)ap∈CM×1，其第m個元素為式(3)中amp，則

A=[a1,a2,…,ap],

(6)

s(t)=[s1(t),s2(t),…,sp(t)]T,

(7)

n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T.

(8)

利用傳感器陣元的輸出延遲構(gòu)造輔助變量y(t)

y(t)=[xT(t-f),…,xT(t-f-g+1)]T,

(9)

式中 延遲數(shù)f和參數(shù)g是設(shè)定常數(shù)，輔助變量y(t)和觀測向量x(t)的相關(guān)矩陣定義為C(t)=E[y(t)xH(t)]，常用迭代形式進(jìn)行運算

C(t)=βC(t-1)+y(t)xH(t),

(10)

式中 0<β<1是遺忘因子。C(t)的奇異值分解為

(11)

式中 ∑和∑0分別為大小奇異值組成的對角陣，U和V分別為大奇異值對應(yīng)的左右奇異主分量。

2 本文算法

根據(jù)信號模型中所述的觀測向量x(t)、輔助向量y(t)、前一時刻的U(t-1)和V(t-1)估計當(dāng)前時刻的U(t)和V(t)。采用秩1更新模型

U(t)=U(t-1)+ex(t)gH(t),

(12)

V(t)=V(t-1)+ey(t)hH(t).

(13)

觀測向量x(t)在U(t-1)張成的信號子空間的投影為

fx(t)=UH(t-1)x(t).

(14)

輔助向量y(t)在V(t-1)張成的信號空間投影為

fy(t)=VH(t-1)y(t).

(15)

式(12)和式(13)中的g(t)和h(t)為輔助運算引入的變量;ex(t)和ey(t)稱為新息，分別定義為

ex(t)=x(t)-U(t-1)fx(t),

(16)

ey(t)=y(t)-V(t-1)fy(t).

(17)

(18)

(19)

C(t)=βC(t-1)+y(t)xH(t).

(20)

(21)

令導(dǎo)數(shù)為0得到Rx(t)=UH(t)CH(t)V(t-1)，本算法每次運算后對U(t)做正交化，所以UH(t-1)U(t-1)=I，而U(t-1)UH(t)≈I，則Rx(t)可寫為

Rx(t)=UH(t-1)CH(t)V(t-1).

(22)

這樣做的目的是用前一時刻的估計U(t-1)和V(t-1)表示Rx(t)。函數(shù)J1對g(t)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0進(jìn)而求得

(23)

同理,可得Ry(t)和hH(t)分別為

Ry(t)=VH(t-1)C(t)U(t-1),

(24)

(25)

(26)

(27)

將式(27)代入式(26)，gH(t)可以簡化為

(28)

同理,hH(t)可以簡化為

(29)

(30)

運用矩陣求逆引理[10]知

(31)

(32)

(33)

同理,得到

(34)

V(t)的正交化過程同理可得。設(shè)W1=[ex(t)+aU(t-1)g(t)+a‖g(t)‖2ex(t)],W2=[ey(t)+bV(t-1)h(t)+b‖h(t)‖2ey(t)],于是得到信號子空間的估計

U(t)=U(t-1)+W1gH(t),

(35)

V(t)=V(t-1)+W2hH(t),

(36)

式(35)所得U(t)即式(5)中A的估計。由于噪聲等的影響，估計的導(dǎo)向矢量矩陣固有存在排列和尺度不定性[11,12]，各列排列順序的不定性并不影響參數(shù)估計，而尺度不定可通過求解相鄰陣元的相位差消除，設(shè)為1的第(m,p)元素，則

(37)

復(fù)常數(shù)gp為第p列的尺度因子，1第p列第m個陣元與第m+1個陣元的相位差為，設(shè)b=則

(38)

XYp=Zp.

(39)

其中

Yp的最小二乘解為

Yp=(XHX)-1XHZp.

(40)

可得到二維方向的估計為

(41)

(42)

3 仿真實驗

1)慢變化節(jié)點的跟蹤性能

信噪比為5 dB的慢變化信號，方位角從65°線性變化到85°；俯仰角以[50°+10°sin(2kπ/K)]形式變化，其中,k=1,2,…,K為第k次離散時間點，這里取總時間采樣點K=1 000。

由于輔助向量y(t)=[xT(t-f),…,xT(t-f-g+1)]T的建立要求t-f-g+1≥0，所以,在初始一段t<16離散時間內(nèi)無法實現(xiàn)跟蹤。由圖1和圖2可見，本文算法的對慢變化信號的跟蹤效果和EIV—PAST算法基本一致。

圖1 本文算法對慢變化信號的跟蹤Fig 1 Slow varying signals tracking by proposed algorithm

圖2 EIV—PAST算法對慢變化信號的跟蹤Fig 2 Slow varying signals tracking by EIV—PAST algorithm

圖3和圖4分別為跟蹤的信號子空間的誤差和信號子空間夾角。圖5為跟蹤的信號子空間正交性的誤差。由于本文所提算法每步都做了正交化處理，正交性誤差相對EIV—PAST算法顯著減小。

圖3 慢變化跟蹤的信號子空間誤差Fig 3 Subspace error of slow varying tracking signals

圖4 慢變化跟蹤的信號子空間夾角Fig 4 Subspace angle of slow varying tracking signals

圖5 慢變化正交性誤差Fig 5 Orthogonal error of slow varying signals

2)快變化節(jié)點的跟蹤性能

信噪比為5 dB的快變化信號，方位角在500次采樣點從75°突變到60°；俯仰角在500次采樣點從50°突變到30°。兩種算法的跟蹤效果見圖6和圖7所示。由圖8、圖9、圖10可見，在500次采樣點處，信號角度發(fā)生突變，相應(yīng)點上的信號子空間誤差和信號子空間夾角突然增大，而EIV—PAST算法的正交性誤差增大不明顯，說明該算法正交性良好。而本文算法即使在突變點，正交性誤差仍為-300 dB左右，可以認(rèn)為是完全正交的。

圖6 本文算法對快變化信號的跟蹤Fig 6 Sudden varying signals tracking by proposed algorithm

圖7 EIV—PAST算法對快變化信號的跟蹤Fig 7 Sudden varying signals tracking by EIV—PAST algorithm

圖8 快變化跟蹤的信號子空間誤差Fig 8 Subspace error of sudden varying tracking signals

圖9 快變化跟蹤的信號子空間夾角Fig 9 Subspace angle of sudden varying tracking signals

圖10 快變化正交性誤差Fig 10 Orthogonal error of sudden varying signals

4 結(jié) 論

本文提出一種可用于任意平面?zhèn)鞲衅魍負(fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間節(jié)點方向跟蹤算法。構(gòu)造兩個無約束代價函數(shù)，求其遞歸最小二乘解得到信號子空間，進(jìn)而求解空間方向。由于采用了輔助變量，使得本文算法可用于色噪聲下的方向跟蹤。在慢變化和快變化情況下對所提算法的跟蹤性能進(jìn)行了仿真實驗，結(jié)果表明：所提算法能很好地跟蹤空間信號的二維角度，性能和經(jīng)典的EIV—PAST算法相當(dāng),所得到的信號子空間誤差和子空間夾角誤差較小，尤其是正交性誤差顯著減小。

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Moving nodes tracking algorithm realized in colored noise by randomly deployed planar sensor array*

NIE Wei-ke1, ZHU Cong-guang2, FANG Ding-yi1, CHEN Xiao-jiang1, FENG Da-zheng3

(1.School of Information Science and Technology,Northwest University,Xi’an 710127,China;2.No.39 Research Institute,China Electronics Technology Group Corporation,Xi’an 710065,China;3.National Key Laboratory of Radar Signal Processing,Xidian University,Xi’an 710071,China)

A new subspace tracking algorithm based on instrumental variable is proposed to estimate the two dimension (2D) localization of aiming at tracking problem of spacial moving nodes in colored noise.By using the rank-one update model,two unconstrained cost functions are established,and signal subspace is derived through the recursive least square solution of the cost functions.Using this derived signal subspace,construct matrix equation and through lease square solution realize direction tracking of spacial moving node,the obtained 2D spacial angle can be paired automatically.In the case of arbitrary planar sensor array,the proposed algorithm and the well known EIV—PAST have good node tracking characteristics,signal subspace angle,signal subspace error are small,the orthonormality performance of proposed algorithm is much better than EIV—PAST algorithms.

node localization; instrumental variable; sensor array

10.13873/J.1000—9787(2014)12—0141—05

2014—08—25

國家自然科學(xué)基金資助項目(61373177)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2013JM8008)；陜西省科技廳專項科研計劃資助項目(11JK0903)

TP 393

A

1000—9787(2014)12—0141—05

聶衛(wèi)科(1972-)，男，陜西渭南人，博士，講師，主要研究領(lǐng)域為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位與跟蹤。