劉 鑫， 孫大軍， 滕婷婷， 張 宇

(哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

一種基于二階錐規(guī)劃的浮點(diǎn)分?jǐn)?shù)時延濾波器

劉 鑫， 孫大軍， 滕婷婷， 張 宇

(哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

寬帶圖像聲納通常采用分?jǐn)?shù)時延濾波器來提高時延精度。傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)時延濾波器基本采用Fa-rrow定點(diǎn)結(jié)構(gòu)，但其動態(tài)范圍窄并且需要占用較多的硬件資源。為克服上述不足，提出了一種采用二階錐規(guī)劃(SOCP)算法進(jìn)行分?jǐn)?shù)時延濾波器系數(shù)設(shè)計，并以分布式算法為基礎(chǔ)的浮點(diǎn)分布式時延濾波器。該濾波器具有計算精度高、動態(tài)范圍大等優(yōu)點(diǎn)，適于在FPGA上進(jìn)行規(guī)?；瘧?yīng)用。

分?jǐn)?shù)時延濾波器； 二階錐規(guī)劃； 浮點(diǎn)運(yùn)算

0 引 言

寬帶圖像聲納的波束形成可采用時域處理方式，為了解決時域波束形成中的精確時延問題，人們提出很多方法，如過密采樣法、時域內(nèi)插法[1]、頻域加權(quán)法[2]等。但這些方法均具有較大的缺陷，如數(shù)據(jù)量過大或時延精度不高等。而分?jǐn)?shù)時延濾波器[3～6]由于時延精度較高且實現(xiàn)相對簡單，被廣泛應(yīng)用在數(shù)字通信、語音處理、寬帶雷達(dá)波束形成中。

在工程實現(xiàn)方面，F(xiàn)arrow C W于1988年提出的經(jīng)典Farrow分?jǐn)?shù)時延濾波器結(jié)構(gòu)[7]。該濾波器無需對每個時延值單獨(dú)存儲濾波器系數(shù)，只要改變輸入時延量就可改變整個濾波器的時延值。Pun C K S等人針對Farrow濾波器結(jié)構(gòu)的乘法器、加法器個數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，通過將濾波器系數(shù)表達(dá)為多項式和的形式，利用簡單移位加法來替代硬件乘法器[8],該方法是目前使用較廣泛的分?jǐn)?shù)時延濾波器工程實現(xiàn)方法。但對于寬帶圖像聲納的多通道高速時延需求來說，其FPGA資源占用仍然過多，因此，進(jìn)一步研究適合寬帶波束形成的分?jǐn)?shù)時延濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)是很有必要的。

1 二階錐規(guī)劃系數(shù)設(shè)計

二階錐規(guī)劃(SOCP)是非線性凸優(yōu)化，線性規(guī)劃、凸二次規(guī)劃都屬于二階錐問題的特例，它解決某線性函數(shù)在仿射集與二階錐空間的交集上達(dá)到最小化的問題。SOCP問題常表述為下式

minimizefTx,

(1)

(2)

式(1)稱為目標(biāo)函數(shù)，其中，x∈Cn是優(yōu)化變量，問題參數(shù)為f∈Cn，Ai∈C(ni-1)×n，bi∈Cni-1，ci∈Cn，di∈R。其中,C為復(fù)數(shù)集，R為實數(shù)集。式中的范數(shù)‖·‖為標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得范數(shù)，即‖u‖=(uTu)1/2。由滿足二階錐約束的點(diǎn)集構(gòu)成了單位二階錐通過仿射映射形成的反向圖像，因此,有

(3)

式中l(wèi)ni為復(fù)空間的ni維二階錐。因此,若能將約束函數(shù)寫為式(2)所示，就可以將其轉(zhuǎn)換為SOCP問題，并通過Matlab的二階錐工具箱SeDuMi或CVX等進(jìn)行求解。

若分?jǐn)?shù)時延濾波器階數(shù)為L，采樣頻率為fs，關(guān)注的離散歸一化頻率范圍為f=[fL∶Δf∶fH]/fs，設(shè)分?jǐn)?shù)時延為p=τ/fs，其中，τ∈[-0.5,0.5],則分?jǐn)?shù)時延對應(yīng)的復(fù)頻率響應(yīng)為

Hτ(f)=e-j2πfτ.

(4)

若加上L階FIR濾波器的固有時延，則期望的理想時延濾波器復(fù)頻率響應(yīng)為

Hd(f)=e-j2πf((L-1)/2+τ).

(5)

設(shè)FIR時延濾波器具有沖擊響應(yīng)h=[h(0),h(1),…,h(L)]T，則濾波器的復(fù)頻率響應(yīng)可表示為

(6)

其中，e(f)=[1,ej2πf,…，ej2πLf]T，H(f)為(L+1)×1維向量,則期望的復(fù)頻率響應(yīng)與理想復(fù)頻率響應(yīng)的差ε為

ε=‖Hd(f)-H(f)‖2.

(7)

因此，時延濾波器系數(shù)的設(shè)計變化為尋找一組沖擊響應(yīng)h，使設(shè)計頻率響應(yīng)誤差與理想頻率響應(yīng)誤差的L2范數(shù)，即均方誤差達(dá)到最小。設(shè)誤差加權(quán)系數(shù)λk對濾波器K各個頻點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)，則有

(8)

于是，在均方誤差達(dá)到最小的準(zhǔn)則下，時延濾波器系數(shù)設(shè)計可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題

(9)

令εk≥0，且k=1,2,…，K，上式可表示為

subject to |Hd(fk)-eTh|2≤εk,k=1,2,…,K,

(10)

|Hd(fk)-eTh|2≤εk?|2Hd(fk)-2eTh|2≤4εk?

(11)

(12)

若圖像聲納A/D芯片的采樣率fs=200 kHz，歸一化工作頻帶為f∈[0.05,0.2]，時延范圍p∈[-0.5,0.5]，通過使用Matlab的二階錐工具箱CVX求解濾波器階數(shù)L分別為5,7,9,11下的頻率響應(yīng)誤差，如圖1所示。

圖1 二階錐L=5,7,9,11時的頻率響應(yīng)誤差Fig 1 Frequency response error designed by SOCP(L=5,7,9,11)

由上圖可見，采用SOCP方法設(shè)計的分?jǐn)?shù)時延濾波器系數(shù)可以以較小的階數(shù)在關(guān)注頻帶內(nèi)達(dá)到較理想的時延結(jié)果：當(dāng)L=5,7,9,11時的最大頻響誤差分為-50，-71，-91,-111 dB。但缺點(diǎn)是需要針對每個時延量產(chǎn)生濾波器響應(yīng)的系數(shù)，需要占據(jù)一定的存儲空間。

2 浮點(diǎn)分布式時延濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

圖2 浮點(diǎn)分布式濾波器結(jié)構(gòu)L=5Fig 2 Structure of float-point distributed filter(L=5)

輸入的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)入輸入處理模塊后被分解為指數(shù)E與尾數(shù)M兩部分,其中尾數(shù)長度為24，指數(shù)長度為8。在通過移位寄存器緩存后，各個輸入數(shù)據(jù)的指數(shù)會進(jìn)行比較，輸出最大指數(shù)并給出指數(shù)調(diào)整值，右移模塊FSR會根據(jù)該調(diào)整值對尾數(shù)M進(jìn)行移位。由于未采用時間優(yōu)化算法，因此,分布式輸出模塊中只有一個ROM，它每次輸出1個浮點(diǎn)分布式結(jié)果，將分布式結(jié)果相加就可以得到完整的濾波結(jié)果。

3 系統(tǒng)測試

為測試浮點(diǎn)分布式時延濾波器的計算精度與動態(tài)范圍，特設(shè)計了蒙特—卡洛浮點(diǎn)隨機(jī)數(shù)實驗。輸入時延量p∈[-0.5,0.5]，步長Δp=0.01，每個p值對應(yīng)產(chǎn)生N=10 000點(diǎn)隨機(jī)測試數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)幅度為data∈[-2L-1,2L-1-1]，L=1,…,32 bits。將浮點(diǎn)分布式時延濾波器輸出結(jié)果res與Matlab的雙精度運(yùn)算結(jié)果Matlab_res進(jìn)行歸一化均方根誤差統(tǒng)計，其計算公式為

(14)

通過對5階和7階浮點(diǎn)分布式時延濾波器的測試，得到如圖3所示的濾波器歸一化均方根誤差圖。

圖3 浮點(diǎn)分布式時延濾波器歸一化均方根誤差，L=5,7Fig 3 NRMSE of fractional distributed time-delay filter when L=5,7

可以看出，濾波器階數(shù)對計算誤差的影響不大，采用浮點(diǎn)運(yùn)算可以在整個輸入范圍內(nèi)得到小于-140 dB的計算誤差，在輸入數(shù)據(jù)寬度有效值超過3 bits后其誤差約為-150 dB，反映出浮點(diǎn)運(yùn)算在計算精度與動態(tài)范圍等方面的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文對分?jǐn)?shù)時延濾波器的系數(shù)設(shè)計方法進(jìn)行了討論。通過分析可見，采用SOCP的設(shè)計方法后，可以對關(guān)注頻帶進(jìn)行精確設(shè)定，并用較小濾波器階數(shù)實現(xiàn)較理想的時延效果。雖然需要針對不同的時延量計算不同的系數(shù)，但其濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)更為簡單。針對傳統(tǒng)時延濾波器的缺點(diǎn)，借鑒定點(diǎn)分布式算法，本文提出并設(shè)計了浮點(diǎn)分布式時延濾波器，并對計算誤差進(jìn)行了仿真研究。結(jié)果表明：該浮點(diǎn)分布式時延濾波器與SOCP設(shè)計的系數(shù)相配合，取得了較高的計算精度和較大的動態(tài)范圍，具有一定實用價值。

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A floating-point fractional time-delay filter based on SOCP

LIU Xin, SUN Da-jun, TENG Ting-ting, ZHANG Yu

(1.Science and Technology on Underwater Acoustic Laboratory,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Fractional time-delay filter is the common implementation to promote time-delay precision of broadband sonar.Traditional fixed-point Farrow structure filter has narrow frequency band and requires more hardware resources.A kind of floating-point distributed time-delay filter based on SOCP is raised to overcome these shortages.It has advantages of high precision,wide dynamic range and more suitable for FPGA applications.

fraction time-delay filter; SOCP; floating-point processing

10.13873/J.1000—9787(2014)12—0101—03

2014—04—25

TN 911.7

A

1000—9787(2014)12—0101—03

劉 鑫(1981-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士研究生，講師，主要研究方向為圖像聲納技術(shù)、FPGA數(shù)字信號處理等。